Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Природа невоспроизводимости структуры и свойств материалов для микро- и наноэлектроники. Учебное пособие
.pdf
ветвь а), которая в некоторой конкретной точке Р1 разветвляется и об-
Рис. 2.2. Механическая иллюстрация явления бифуркации
P
1 b1 b2
a
разует две новые впадины (ветви b1 и b2), разделенные возвышением.
Следует сделать три важных замечания.
Первое. Можно создать условия, при которых при прохождении
через точку бифуркации всегда будет реализовано только кристаллическое состояние. Казалось бы, флуктуации не влияют на выбор конечного состояния. Однако как было показано, даже кристаллическая
структура различается от процесса к процессу. По крайней мере, эти
различия очевидны на уровне дефектов и других структурных неоднородностей.
Таким образом, в нашем случае после бифуркации возможна реализация множества потенциальных состояний. На самом деле для различных систем бифуркационные процессы могут развиваться по самым разнообразным сценариям. После первичной бифуркации может
следовать целый каскад бифуркаций, приводящий в конечном итоге к
очень сложному режиму, называемому динамическим хаосом. В этом
режиме в дальнейшем возможны перемежаемости – области с хаотическим поведением чередуются с высокоупорядоченными островками
и т.д.
Второе. Флуктуации в критических точках – это уже далеко не те
флуктуации, которые имеют место в равновесных условиях и носят
случайный характер. Их природа иная. Они возникают вследствие
аномальной чувствительности мод внутренних степеней свободы к
11
внешним возбуждениям. Между точками бифуркаций (если, конечно,
имеют место вторичные бифуркации) поведение системы может быть
описано относительно простыми детерминистическими законами.
Например, если рассматривается газ в равновесном состоянии, то этот
закон определяется уравнениями состояния газа. В точках же бифуркаций простое аналитическое представление состояния системы невозможно. В них поведение системы имеет чрезвычайно сложный непредсказуемый характер. Здесь правят неустойчивость и случайность.
Третье. Предположим, что некая новая структура возникла в ре-
зультате конечного возмущения в веществе, находящемся в критическом состоянии. Но сразу «одолеть» начальное состояние во всем объеме это возмущение не может. Новое состояние сначала должно установиться в некоторой конечной локальной области и лишь затем распространиться и «заполнить» все доступное пространство. Иначе говоря, существует механизм нуклеации. В зависимости от того, лежат
ли размеры начальной области флуктуаций ниже или выше критического значения (в случае химических диссипативных структур этот
порог зависит, в частности, от кинетических констант и коэффициента
диффузии), флуктуации в виде новой структуры либо затухают, либо
распространяются на всю систему. Явления нуклеации хорошо известны из классической теории фазового перехода: например, в газе непрестанно образуются и затем испаряются капельки конденсата. Когда
температура и давление достигают точки, в которой становится устойчивым жидкое состояние, может образоваться капелька критических
размеров (тем меньших, чем ниже температура и чем выше давление).
Если размеры капли превышают порог нуклеации, газ почти мгновенно превращается в жидкость. Другой аналогичный пример: процесс
протекания ядерной реакции. Когда масса вещества меньше критической, реакция не протекает. При превышении определенного порога
начинается взрывной процесс спонтанного деления. После того как
ресурсы оказываются исчерпанными, система “успокаивается”. С точки зрения технологий выращивания материалов такого рода критические процессы вызывают интерес при изучении свойств промежуточных слоев (ПС) (см. ниже).
Все развивающиеся открытые нелинейные системы с сильной не-
линейностью, скорее всего, пульсируют. Они подвержены естественным колебаниям развития: тенденции дифференциации сменяются
интеграцией, разбегание – сближением, ослабление – усилением [16].
Другой особенностью процесса отвердевания является наруше-
ние симметрии. Исходное высокосимметричное состояние газа или
расплава при отвердевании сохраняет лишь некоторые симметрии,
12
определяемые внешними условиями и типом вещества [17]. Это проявляется в возникновении различных структурно-химических неоднородностей. Они имеют размеры от макро- до наноструктур и обнаружены в упорядоченных и неупорядоченных материалах (в объемных
веществах, тонких пленках и на поверхностях). Так, например, в монокристаллах кремния, карбида кремния и других материалов обнаружены различные ростовые и деформационные розетки и макроспирали. В
кристаллах, легированных различными примесями, обнаружены продольные и поперечные квазипериодические неоднородности в виде
колец. Эти образования имеют макро- и микромасштабы и возникают
в материалах, выращенных по различным технологиям [17]. Неоднородности в аморфных материалах проявляются в виде столбов, пор,
пузырьков, правильных фигур отслоения аморфного материала от
подложки и т.д. [17].
Заметим, что структура получаемого материала до момента
отвердевания не заложена в объеме расплава или газа. Трудно предположить, что атомы газа или жидкости заранее «знают», где, когда и
какую конфигурацию образовать. Они не различимы в исходном состоянии. Однако благодаря нелинейностям и неравновесным условиям, создаваемым в технологических установках, атомы и молекулы
становятся чувствительными к окружающей среде и образуют различные структуры, которые затем «замерзают», в том числе и в виде различных неоднородностей [11].
Перечисленные особенности эволюции вещества в процессе
отвердевания являются сущностными ингредиентами сложного поведения, которое определяется как самоорганизация [10].
Идея о самоорганизации появилась как вариант объяснения воз-
никновения упорядоченных структур в разупорядоченных средах.
Именно возникновение когерентности в исходно хаотической среде
считается главным атрибутом самоорганизации. Система называется
самоорганизующейся, если она без специфического воздействия извне,
т.е. спонтанно, обретает какую-то пространственную, временную или
функциональную структуру [11]. В результате самоорганизации система приобретает новые коллективные свойства, которыми изначально не обладают ее элементы. Эти свойства проявляются в виде
корреляций, т.е. создаются и поддерживаются воспроизводимые взаимоотношения между удаленными частями системы. В кристаллах корреляции проявляются в виде среднего и дальнего порядка, структуры с
фрактальной размерностью системы уравнений, описывающей ее, и
др. В неупорядоченных материалах они существуют в виде небольшого, относительно числа атомов, множества мод - гармоник, формиру-
13
ющих хаотическую динамику. В общем случае коллективные свойства
атомов в твердых телах проявляются в виде различных структурных
неоднородностей. Напротив, в жидкости положение молекул и параметры межмолекулярных сил достаточны, чтобы определить вероятные местоположения других близлежащих молекул, но нет корреляций
вне нескольких молекулярных диаметров. Газ же беспорядочен в том
смысле, что нет никакой корреляции между местоположением двух
любых молекул.
Главная надежда нелинейной динамики состоит в том, что многие
сложные системы, возникшие в результате процессов самоорганизации, могут быть просто описаны с помощью нескольких переменных –
параметров порядка. Рассмотрим это подробнее.
Пусть первоначально система находится в состоянии, когда ее
элементы не зависят (слабо зависят) друг от друга. Примером может
служить вещество с полностью разупорядоченной структурой, находящееся в равновесных условиях (жидкость, газ), которое можно представить как множество слабо взаимодействующих подсистем атомов
или молекул. Масштабы корреляций между ними имеют порядок межатомного расстояния. Математическое описание такой системы на
уровне динамики отдельных частиц является бесконечно сложным.
При определенном соотношении потоков вещества и энергии из окружающей среды и внутренних диссипативных процессов система теряет
устойчивость и после перехода через точки бифуркаций возникает новый режим асимптотического поведения. Если решение, описывающее
поведение системы, разложить в ряд по гармоникам, то окажется, что
на этой стадии существенный вклад в него вносят лишь некоторые из
них [10]. По мере развития процесса число гармоник сокращается, и
при t оно достигает некого “равновесного” значения. Это значение
не превышает, как правило, 5-7 гармоник. Оставшиеся служат параметрами порядка, описывающими макроскопическую структуру. В то
же время они определяют поведение всех частей системы. Это явление
названо принципом подчинения [16].
Состояние системы, которого она достигает при времени процес-
са, стремящемся к бесконечности, определяемое небольшим числом
параметров порядка в динамике, называется аттрактором. Это название произошло от английского слова attractive – притягательный, т.е.
имеется в виду, что система как бы притягивается, скатывается к этому
состоянию. Аттрактор является в этом смысле относительно предсказуемым и воспроизводимым состоянием.
В качестве физической характеристики появления аттрактора
процессов образования твердотельной структуры могут быть исполь-
14
зованы различные элементы ближнего порядка. Например, для процесса роста Si и Ge к ним можно отнести число ближайших соседей и
способ их компоновки, для Se - межатомные расстояния и т.д. В качестве альтернативного варианта можно использовать магнитные моменты, группы симметрии и т.д.
Характеристики аттрактора процесса отвердевания определяются
атомным составом вещества и законами «сборки», зависящими от технологических условий (окружающей среды). “Двойная природа” самоорганизации является фундаментальной чертой эволюции материи и
проявляется в виде двух известных в материаловедении фактов: изоморфизма и полиморфизма структуры материалов. Полиморфизм
означает гибкость форм в зависимости от условий окружающей среды.
Внешние условия являются таким же атрибутом структуры, как и составляющие ее атомы. Изоморфизм отражает идентичность кристаллических структур при различном химическом составе. Это является
результатом не случайного процесса, а выражением глубоко скрытого
сходства на атомарном уровне. В основе этого явления, по-видимому,
лежит определенный закон самоорганизации, по которому происходит
сжатие сложности, обусловленной разнообразием сочетаний элементов.
2.2. Методологический подход к изучению
эволюции вещества при отвердевании
Механизмы и динамика образования твердотельного состояния
являются объектом пристального внимания физиков и технологов,
поскольку знания о них позволяют предсказывать появление тех или
иных структур и целенаправленно управлять процессами выращивания
материалов. Можно выделить следующие основные способы получения информации о механизмах роста материалов и управления ими на
примерах конкретных технологий.
Для a-Si:H, получаемого по наиболее распространенной технологии – методом тлеющего разряда разложения силана, как правило,
прямым или косвенным образом определяются основные реакции,
происходящие в плазме и на поверхности растущей пленки, при этом
константы скоростей реакций остаются неизвестными. Затем эмпирическим путем вырабатываются способы управления ходом реакций с
целью выращивания пленок с нужными свойствами [18]. Однако такой
подход, как и другие методы исследования процессов роста a-Si:H in
situ (эллипсометрия, фотопроводимость [17]), не позволяют сформиро-
15
вать целостной картины процессов, происходящих во время роста. В
частности, не удается выявить механизмы формирования различных
структурно-химических неоднородностей и объяснить слабую воспроизводимость структуры и свойств от процесса к процессу.
При исследовании процессов роста кристаллов главное внимание
уделяется механизмам образования различных структурно-химических
неоднородностей. Для выявления причин их появления при выращивании кристаллов из расплава используются, как правило, уравнения
гидродинамики или модельные эксперименты, например, с водой. Однако часто оказывается, что существующие теоретические модели бывает трудно применить к реальным технологиям. Это происходит
главным образом из-за невозможности согласовать упрощенные граничные условия, используемые в теоретических моделях, с условиями
в реальных технологических установках для выращивания кристаллов.
Так что предсказания теории можно проверить в эксперименте для
очень небольшого числа случаев [17]. Подгонка параметров модели к
экспериментальным результатам тоже не дает нужных результатов.
Часто суждения о механизмах роста выносятся на основании анализа
формы выращенных образцов или распределения в них неоднородностей [17].
Следует отметить, что прямые эксперименты по исследованию
динамики перехода расплав – твердое тело методом рассеяния света
были проведены только на примере воды и соли [19]. Однако и они не
выявили динамических закономерностей процесса отвердевания, поскольку в качестве аналитического инструмента анализа использовалась автокорреляционная функция, которая оказывается полезной
только при исследовании линейных систем.
Таким образом, можно сделать вывод, что существующие методы
исследования и моделирования механизмов и динамики процессов
роста твердотельных полупроводниковых и диэлектрических материалов имеют серьезные недостатки. Это обусловливает необходимость
разработки альтернативных подходов. Одним из возможных вариантов
может стать использование методов нелинейной динамики. Это предположение представляется оправданным, поскольку, как было показано ранее, вещество в процессе отвердевания является нелинейной, самоорганизующейся системой.
Как уже упоминалось, в результате самоорганизации у системы
остается небольшое число параметров порядка, которые определяют ее
поведение. На этом базируется главная идея экспериментального изучения этих систем, т.е. нет необходимости исследовать динамику всего исходного бесконечномерного фазового пространства. Вполне до-
16
статочно наблюдать аттрактор системы, размерность которого при
математическом описании во многих исследованных физических системах оказалась довольно мала, например три, пять или около того
[20].
Основным способом анализа нелинейных систем является метод
вложения, основанный на результатах, полученных Ф. Такенсом. С его
помощью можно различать системы, демонстрирующие хаотическое
движение в пространстве небольшой размерности от систем с шумом,
а также выявлять простое регулярное движение. С другой стороны, с
помощью этого метода можно измерять инвариантные характеристики
хаотических систем.
Метод основан на идее, что любой сигнал от системы содержит в
себе информацию обо всех процессах внутри ее, поскольку все части
динамической системы взаимосвязаны и могут быть рассмотрены как
единое целое. Поэтому поведение системы можно расшифровать по
измерениям любой динамической характеристики. Эту идею удалось
сначала обосновать теоретически, а затем успешно использовать для
исследования многих физических, химических, биологических и иных
сложных систем.
Ф. Такенс доказал, что установить наличие детерминированного
хаоса можно, измеряя любую из динамических переменных в одной
точке почти при любом интервале измерения времени ( t).
Еще раз подчеркнем парадоксальность этого рецепта. Чтобы исследовать количество параметров порядка у сложной многомерной
системы, достаточно измерить одну величину в дискретные моменты
времени.
Следует отметить, что, несмотря на обширный набор алгоритмов,
разработанных для определения параметров реконструкции и инвариантных характеристик систем, многие проблемы остаются нерешенными [20].
Метод реконструкции был успешно использован для экспериментального исследования динамики различных течений в жидкости, режимов в лазерах и т.д. Однако при использовании его применительно к
процессам роста материалов существуют некоторые особенности.
Во-первых, вещество в процессе отвердевания является простран-
ственно-временной системой. Его эволюция протекает и во времени, и
в пространстве. Поэтому динамики процессов в различных точках и на
разных пространственных масштабах могут различаться. Это, в частности, подтверждается присутствием в структуре материалов различных неоднородностей, характеристики которых существенно отличаются от окружающих их областей. Поэтому одних только временных
17
серий (t-серий) измерений какой-либо характеристики вещества может
оказаться не достаточно для восстановления полной картины эволюции. Это обусловливает необходимость исследования методом t-серий
всех пространственных областей.
Первым шагом к реконструкции фазового пространства является
рассмотрение чисто пространственных серий. При этом методы, разработанные для t-серий, могут быть перенесены на систему, являющуюся “моментальным снимком” динамического двухмерного процесса. Нужно просто изменить координату измерения с t на x и y, которые являются пространственными координатами этого снимка, и
рассматривать переменные a(x,y) = a(x0 + ix, y0 + jy) с пространственными задержками x и y. В результате возникает Mx×Мy-мерное
”матричное” фазовое пространство. Все процедуры выбора параметров
реконструкции, разработанные для чисто временных серий, могут
быть использованы прямым образом для реконструкции пространственного распределения мгновенных снимков.
Полное описание эволюции пространственно-временной системы
может быть достигнуто, если реконструировать временную эволюцию
мгновенных снимков обычным путем. B соответствии с этим необходимо исследовать пространство Mx×Мy×Мt-размерности. Этот подход
возможен, но практически несовместим с современными вычислительными мощностями. Причиной является очень большая размерность системы, связанная с пространственной степенью свободы.
Возможным способом решения этой проблемы является проведение таких упрощений, которые привели бы к уменьшению размерности пространства. Это может быть сделано исходя из особенностей
процессов роста, выявляемых по структуре выращенного материала, а
также из практических соображений, связанных с потребительскими
свойствами материалов. Так, например, при изучении процессов возникновения периодических неоднородностей в кристаллах вдоль плоскости роста или вдоль направления роста можно пренебречь одной из
координат. При этом следует обращать внимание на выбор соответствующего пространственного масштаба измерения, поскольку, как
показано в [20], это оказывает весьма существенное влияние на результаты реконструкции. Выбор масштаба должен исходить из существующих правил реконструкции динамики нелинейных систем и размеров исследуемых структурных особенностей. Если стоит задача
изучения динамики системы в целом, т.е. на всех допустимых масштабах, то выбор пространственной области для измерения является более
искусством, основанным на физической интуиции исследователя,
нежели результатом алгоритмических решений.
18
Другой особенностью при изучении динамики отвердевания с помощью метода вложения является то, что этот процесс, как и процессы
самоорганизации в других системах, локализован в определенной области пространства. Он протекают в промежуточном слое (ПС) (см.
п.3.3). Реконструкция динамики роста должна осуществляться по измерениям какой-либо характеристики ПС. Но такие измерения оказываются довольно сложными: ПС постоянно перемещается, он окружен
пограничными областями, толщины которых намного превосходят его
весьма незначительную толщину, что сужает круг методов, с помощью
которых можно вести измерения, и осложняет экспериментальные методики. Эту трудность можно частично устранить, если использовать
для исследований большие объемы вещества, помещенные в критические условия, соответствующие точке фазового перехода. Для наблюдения можно использовать те характеристики, экспериментальные
методы, измерения которых позволяют одновременно исследовать
достаточно большие объемы, например электропроводимость, оптическое поглощение и др.
Еще одной особенностью изучения динамики является выбор характеристики для измерения. Для наблюдения предпочтительно использовать те из них, изменения которых относительно велики и могут
быть уверенно зафиксированы в эксперименте. К ним можно отнести:
скорости атомов (молекул) в ПС, измеряемые методом рассеяния света, электропроводность и др.
Наконец, самой важной особенностью исследования процессов
роста является то, что их динамика может быть частично восстановлена по уже сформированной структуре, т.е. с помощью пространственных серий (r-серий). Это связано с тем, что структура “хранит” информацию о своей предыдущей эволюции на временах, меньших, чем
время корреляций [21].
Реконструкция динамики по r-сериям имеет принципиальные
преимущества по сравнению с t-сериями. Структура материала, являясь "замороженным" снимком динамических процессов, не подвержена шуму, и необходимость фильтрации шума отпадает. Что касается
определения фрактальной размерности пространственного распределения, то в некоторых случаях она может быть определена по физическим свойствам материала и процедуры встраивания не требуется вообще [22].
Использование r-серий более всего оправдано (целесообразно) для
технологий выращивания материала из газовой фазы или каким-либо
другим способом. В этом случае граница роста является поверхностью. Использование t-серий более предпочтительно для технологий, в
19
которых реализуется переход расплав – твердое тело, поскольку трудно определить пространственное распределение именно на границе
роста.
2.3. Определение фрактальной размерности аттрактора
по результатам измерений параметров системы
Для категоризации поведения систем удобной меткой является
фрактальная размерность соответствующего аттрактора. Существует
несколько различных фрактальных размерностей: хаусдорфова размерность, емкость множества, информационная размерность. Они
определяют геометрические свойства аттрактора. Практически оказывается, что эти размерности для типичных аттракторов близки
настолько, что с точки зрения анализа динамики их различение не дает
видимых преимуществ [20, 23]. Поэтому далее будем размерность аттрактора обозначать как D.
С помощью размерности можно оценить число параметров порядка n, к которым подстраиваются все остальные степени свободы системы, по следующей формуле:
n > 2D + 1. (2.1)
Наиболее распространенным методом определения размерности
является алгоритм Грассбергера-Прокаччиа [15, 20, 23]. Как уже отмечалось, траекторию в р-мерном фазовом пространстве можно восстановить, исходя из одной зависящей от времени (расстояния) переменной Х(t), выбирая в качестве координат величины X(t), X(t+T),
X(t+2T), ..., X(t+(p-1)T), где Т - надлежащим образом определенная
временная задержка. Поскольку время t дискретизируется, то в результате получим серию р-мерных векторов (N), представляющих фазовую
диаграмму динамической системы. Таким образом устанавливается
начало отсчета Хi для всех имеющихся данных и можно вычислить
расстояние от этой точки до остающихся N-1 точек: Хi - Хj . Это позволяет сосчитать число точек в фазовом пространстве, отстоящих от Хi
на расстояние, не превышающее некоторую заданную величину r. Повторяя этот процесс для всех значений i, можно вычислить величину
C(r), называемую корреляционным интегралом:
N
С(r) = lim (1/N2) (r - Хi - Хj ), (2.2)
N i,j=1 i j
где - функция Хевисайда, равная по определению единице при положительных Х и нулю при остальных значениях Х.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]