Природа невоспроизводимости структуры и свойств материалов для микро- и наноэлектроники. Учебное пособие

Выберем две близкие точки x’(0) и x’’(0), лежащие на аттракторе, и посмотрим, как меняется расстояние d(t) = x’(t)-x”(t) с течением времени [x’(t) и x”(t) - это решения дифференциального уравнения n-го порядка, описывающего эволюцию пространственно-временной си­стемы с начальными данными x’(0) и x’’(0)]. Если аттрактор - особая точка, то d(t) = 0. Если аттрактор - предельный цикл, то d(t) будет пе­риодической функцией времени. Но у странного аттрактора d(t)

чениями процесса в соседние моменты времени ослабляется и много­мерные функции распределения распадаются на произведение одно­мерных. Существует несколько подходов к определению взаимосвязи между показателями Ляпунова и временем корреляций в нелинейной системе.

По аналогии с системами, эволюционирующими во времени, для мгновенных снимков пространственно-временной системы можно вве­сти понятие пространственных показателей Ляпунова r. Их число равно размерности пространства, в котором существует простран­ственный аттрактор.

аттрактору, а вторые позволяют извлечь информацию о локальном поведении траекторий. Однако поскольку аттракторы далеко неодно­родны в фазовом пространстве, то естественно возникает проблема изучения нестабильностей в различных частях фазового пространства. Более строго вопрос таков: если внести возмущение траектории вблизи некой точки, то как это возмущение поведет себя через конечное вре­мя. Этот вопрос непосредственно связан с реальной предсказуемостью систем, поскольку локальные показатели Ляпунова способны суще­ственно меняться по аттрактору, делая систему все более или менее предсказуемой в разных частях фазового пространства. Например, ес­ли мы занимаемся предсказанием погоды, то нам гораздо интереснее предсказать ее поведение в ближайшие шесть недель, чем через 2000 лет. Глобальные показатели помогут нам в последнем случае, но в первом предпочтительнее пользоваться локальными.

Принцип определения локальных показателей аналогичен опреде­лению глобальных. Разница в том, что первые определяются в весьма ограниченной окрестности конкретной точки фазового пространства, а глобальные – по всему доступному объему этого пространства.

В структуре материалов присутствуют неоднородности раз­личных размеров. Их можно рассматривать как неоднородные фрак­тальные множества, в разных частях которых при переходе к мень­шим масштабам элементы множеств уменьшаются по-разному. Для их описания будут полезными альфа- и гамма-спектры [23].

Процесс роста твердотельных материалов проходит через стадию пространственно-временного динамического хаоса. Установлена взаи­мосвязь между характеристиками структуры материалов и инвариант­ными параметрами динамики процесса ее формирования.

Предположение о существовании неких областей с аномальными свойствами, очевидно, следует из того факта, что все эксперименталь­но наблюдаемое в структуре твердого тела (дальний порядок, струк­турно-химические неоднородности и т.д.) должно где-то образовы­ваться [22]. При этом совершенно ясно, что особенности структуры материалов изначально не содержатся в рабочем объеме, куда достав­ляются компоненты для роста. Действительно, эти среды находятся в жидком или газообразном состоянии и подчиняются закону больших чисел. Это свидетельствует о том, что в них нет сильных взаимосвязей между атомами вне нескольких атомарных радиусов и изначально не заложена структура получаемого материала. Трудно предположить, что атомы газа или жидкости заранее "знают" где, когда и какую кон­фигурацию образовать. Они неразличимы в исходном состоянии. Од­нако в ПС, благодаря нелинейностям и неравновесным условиям, они становятся чувствительными к окружающей среде и спонтанно орга­низуют область пространства, т.е. собственно ПС со свойствами, от­личными от пограничных объемов. В ПС происходят процессы непо­средственного образования твердотельной структуры [6].