Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение статистических методов в исследовании социально-экономических процессов региона. Учебное пособие.pdf
31
Параметры логнормального распределения:
mo – соответствует параметру m в формуле (1);
с – соответствует параметру в формуле (1).
Значение критерия Пирсона х2.
На вкладке «Квантили» содержится информация (рис. 7):
квинтели;
распределение доходов по квинтельным группам;
децили;
распределение доходов по децильным группам.
Рис. 7. Информация, содержащаяся на вкладке «Квантили»
На вкладке «Кривая Лоренца» содержатся (рис. 8):
графическая иллюстрация кривой Лоренца;
аналитическое уравнение кривой Лоренца;
значение коэффициента Джини, коэффициента фондов,
децильного коэффициента.
32
Рис. 8. Информация, содержащаяся на вкладке «Кривая Лоренца»
Рис. 9. Сохранение исходных данных в файле
33
Библиографический список
1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики.
М.: Финансы и статистика, 2000.
2. Общая теория статистики / Под ред. А.А.Спирина,
О.Э.Башиной. М.: Финансы и статистика, 1994.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. М.: Высшая школа, 1977.
4. Социальная статистика. / Под ред. И.И. Елисеевой. М.:
Финансы и статистика, 2003.
34
Работа № 3
Регрессионный анализ производительности труда
1. Цель работы
Целью работы являются построение регрессионной модели
производительности труда и её анализ.
2. Общие положения
Для оценки уровня производительности труда и его динамики
используют соотношение между количеством произведенной
продукции и затраченным на ее изготовление рабочим временем.
Показателями, характеризующими уровень
производительности живого труда, являются:
выработка продукции в единицу рабочего времени
P = Q / T; (1)
трудоемкость продукции
t = T / Q, (2)
где Q – объем произведенной продукции;
Т – затраты рабочего времени на производство продукции.
В промышленности применяется выработка продукции в
денежном выражении в сопоставимых ценах в расчете на одного
работающего
Р = Q / Ч
ппп
,
где Q – объем продукции;
Ч
ППП
– численность промышленно-производственного
персонала.
Под факторами производительности труда понимают
количественные и качественные изменения в производительных силах
общества, которые обеспечивают рост производительности труда.
Для качественной оценки факторов используются показатели:
уровень фондовооруженности;
уровень технологии;
коэффициент текучести;
удельный вес материальных затрат;
средний возраст оборудования;
индекс товарной продукции;
удельный вес новой продукции;
удельный вес продукции, сдаваемой с первого
предъявления;
уровень коэффициента ритмичности и другие.
35
При анализе влияния факторов на рост производительности
труда возможны разные методики: первая основана на изоляции
влияния данного фактора на другие факторы; вторая основана на
определении влияния данного фактора с учетом совместного влияния
группы рассматриваемых факторов.
Наибольший эффект во второй методике даёт применение
статистических методов: корреляционного, регрессионного и
дисперсионного анализа.
Схема построения регрессионных моделей включает в себя
следующие этапы:
1) постановка задачи;
2) сбор и систематизация статистической информации;
3) статистическая оценка значимости факторов;
4) построение эмпирических уравнений регрессии;
5) построение однофакторных моделей;
6) построение многофакторной модели;
7) оценка адекватности регрессионной модели.
Рассмотрим перечисленные этапы более подробно,
иллюстрируя их конкретным примером.
Постановка задачи
Постановка задачи – это четкое определение цели созданной
модели и определение объекта моделирования.
Например, необходимо составить план по производительности
труда на пять лет на одном из предприятий. При этом нужно
определить, от чего и в какой мере зависит производительность труда.
Сбор и систематизация статистической информации
Назовем производительность труда результативным признаком
и обозначим его Y, а показатели, от которых зависит
производительность труда (фондовооруженность,
энерговооруженность, коэффициент специализации и т.д.), факторными признаками и обозначим Х
j
(j=1,2,…,n). В общем случае
мы имеем набор признаков, каждый из которых может быть
результативным.
На первом этапе сбора и систематизации информации
производится экспертный анализ факторных признаков и формируется
их максимальный перечень, т.е. в модель первоначально включаются
все показатели, которые могут оказывать влияние на результативный
признак.
На втором этапе производится сбор информации из
документации предприятия (годовых балансов, квартальных отчетов и
36
т.д.). При этом анализируется достоверность информации. Результаты
сбора оформляются в виде таблицы.
i=1,2,…,m - количество наблюдений (точек выборки);
j=1,2,…,m - количество факторных признаков.
Статистическая оценка значимости факторов
Максимальный перечень факторов, составленный экспертами на
предыдущем этапе, может содержать факторные признаки, которые
слабо влияют на результативный признак и которые нецелесообразно
включать в модель.
Для оценки степени влияния двух случайных величин Х и Y
друг на друга используется коэффициент парной корреляции
.
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1
m
i
m
i
ii
m
i
m
i
ii
m
i
m
i
m
i
iiii
ху
ууmxxm
уxуxm
r
(3)
Для определения факторов, включаемых в модель, составляется
матрица коэффициентов парной корреляции, оформляемая в виде
таблицы. Данная матрица является симметричной, т.е. r
ху
= r
ух
, и
элементы главной диагонали равны 1, т.е. r
хixj
=1, rуу=1. Коэффициенты
парной корреляции изменяются в пределах от –1 до +1. Если r
ху
>0, то с
ростом факторного признака результативный возрастает; если rху<0, то
с ростом факторного признака результативный убывает.
Квадрат коэффициента корреляции r
2
ху
называется
коэффициентом детерминации и показывает долю изменчивости
(дисперсии) результативного признака за счет изменения (дисперсии)
факторного.
Выбор факторов, включаемых в модель, проводится в два этапа.
На первом этапе рассматриваются коэффициенты корреляции между
результативным признаком и факторными r
ухj
. При этом задается
граничное значение коэффициента корреляции (обычно при 5 – 10
факторах граничное значение выбирается равным 0,2+0,3). Факторы,
для которых r
ухj
>0,2÷0,3, в модель включаются, остальные не
включаются.
На втором этапе для включенных в модель факторов
рассматриваются коэффициенты корреляции r
хjхк
и выбирается
граничное значение коэффициента корреляции (обычно 0,8÷0,9).
Если r
хjхк
>0,8÷0,9, то факторы тесно связаны между собой и
один из них в модель включать нецелесообразно. В модель включается
фактор, у которого больше коэффициент корреляции с
37
результативным признаком или который более значим для
практического применения модели.
Построение эмпирических уравнений регрессии
Для оценки характера влияния отобранных факторов на
результативный признак строятся эмпирические уравнения регрессии.
Для каждого факторного признака х
j
на графике (рис.) наносятся точки
с координатами (хij,у
i
). Для нашего примера строим зависимость у от
х
j.
0
Зависимость результативного признака от
факторного признака
Определяется min и max значение х
j
, и отрезок [ х
min, хmax
]
делится на несколько интервалов
,
H
xx
x
maxmax
где Н - число
интервалов. Для каждого интервала определяется точка,
соответствующая средним значениям
j
x
и у в данном интервале.
Соединив полученные точки прямыми, получим эмпирическую линию
регрессии, которая показывает характер влияния факторного признака
на результативный (линейная или нелинейная зависимость,
возрастающая или убывающая). Зная характер влияния, можно
адекватно выбрать форму сглаживающей кривой (уравнения
регрессии).
Построение однофакторных моделей
В некоторых случаях наряду с построением многофакторной
модели у=f(х,х1…,хn,) представляет интерес анализ парных
зависимостей у=f(x
j
).
Наиболее распространенной формой сравнения регрессии
является линейная зависимость в виде у=а0+а
1
х.
Построение модели заключается в определении а
0
и а
1
, которые
называются коэффициентами уравнения регрессии. Расчет уравнений
регрессии производится посредством метода наименьших квадратов.
Метод заключается в минимизации суммы квадратов отношений
х
min
6
4
Δ х
х
j
х
max
3
5
4
5
6
38
расчетных значений результативного признака от факторных, т.е. в
определении минимума функции
.min
m
i
iji
xaaуZ
2
1
10
minZ находим из условий
0
да
дZ
0
;
0
да
дZ
1
.
Дифференцируя Z по а0 и по а1 и приравнивая к нулю, получаем
систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(4)
Система (4) называется системой нормальных уравнений. Решая
систему в общем виде, получаем
,
1
2
1
2
1 11
1
m
i
m
i
ijij
m
i
m
i
i
m
i
ijiij
xxm
yxyxm
a
(5)
jj
m
i
i
m
i
ij
yax
m
yx
a
1
11
0
(6)
Если эмпирическая линия регрессии имеет ярко выраженный
нелинейный характер, то необходимо подобрать форму нелинейной
зависимости:
у = а0 х
а1
; (7)
у = а0 е
а1* х
. (8)
Для примера рассмотрим, как приводится к линейной
зависимости степенная модель (7). Прологарифмируем левую и
правую части выражения (7)
ln у = ln а0 +a1 ln х. (9)
Введём обозначения y* =ln y , a*=ln a0 , x* =ln x и подставим
их в (7):
у* = а
0* +a1
* х
*
.
Построение многофакторной модели
Построение многофакторной модели начинается с выбора
формы сглаживающей зависимости. Наиболее часто используются
линейная зависимость
.
;
1
1
2
1
0
1
1
1
1
0
m
i
iji
m
i
ij
m
i
ij
m
i
i
m
i
ij
yxaxax
yaxna
39
(10)
мультистепенная зависимость
(11)
Мультистепенная зависимость при расчете приводится к
линейной путем логарифмирования:
Если большинство факторных признаков линейно влияет на
результативный признак, то выбирается линейный многочлен (10), а
иначе – мультистепенная функция (11).
Расчет коэффициентов уравнений регрессии a
0
, aj производится
методом наименьших квадратов. При этом функция Z имеет вид
.min
m
i
ij
n
j
ji
xaaуZ
2
1 1
0
(12)
Дифференцируя Z по а
0
и аj и приравнивая производные к нулю,
получаем систему нормальных уравнений в матричной форме
(X' X)A * X' Y, (13)
где X – матрица факторных признаков размером m(n+1);
;
Х' – транспонированная матрица х;
А – вектор коэффициентов регрессии; Y – вектор
результативного признака.
Решая систему линейных уравнений одним из известных
методов (Гаусса, Жордана-Гаусса и т.д.), получаем значения
коэффициентов уравнения регрессии а0, а
j.
Оценка адекватности и точности регрессионной модели
Точность модели, полученной по методу наименьших
квадратов, оценивается несколькими показателями.
Полноту учета всех факторов, влияющих на результативный
признак, характеризует коэффициент множественной корреляции
;
1
0 j
n
j
j
xaay
.*
1
0
aj
j
n
j
xay
.
1
0
n n n
j
n
j
j
xaay lll
mn2m
n222
n112
xx1
xx1
xx1
X
...
...
...
40
y
o
D
D
R 1
,
где D
o
– остаточная дисперсия, т.е. рассеяние случайной
величины у
i
относительно уравнения регрессии:
1
1
2
0
nm
yy
D
m
i
pii
.
.Здесь у
pj
– значение у, рассчитанное по уравнению регрессии
у
pj
=f(xij , …, xin);
(m-n-1) – число степеней свободы [на m независимых выборок
накладывается (n+1) связей: уравнение регрессии имеет (n+1)
коэффициентов];
D
y
– дисперсия у относительно среднего значения:
.
1
1
2
m
yy
D
m
i
i
y
Число степеней свободы уменьшено на единицу, так как одну
связь накладывает среднее значение.
Коэффициент детерминации R2 показывает долю изменчивости
результативного признака за счет всех факторных, включенных в
модель. Пусть R = 0,9, тогда R
2
= 0,81, т.е. 81 % дисперсии y
определяется изменчивостью всех включенных в модель факторов, а
19 % - дисперсией не включенных.
Точность модели также оценивает средняя относительная
ошибка
,
%100
1
1
i
y
m
i
piiсp
yy
m
S
которая показывает, на сколько процентов расчетные значения в
среднем отклоняются от фактических.
Доверительный интервал средних значений ук характеризует
пределы возможных значений у
к
.
Для однофакторной линейной модели доверительный интервал
определяется как
ук ± t(m-2,1-0,5)*,
где
,
1
1
2
*
m
i
i
k
y
xx
xx
m
(14)
- уровень риска;