Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная механика. Теория механизмов и машин. Учебное пособие
.pdf
скоростей. На отрезке bc плана как на основании строится Δbсе, подобный ΔВСЕ и сходственно с ним расположенный. Вектор скорости точки Е – это линия vPe плана, модуль которой
()
Угловую скорость шатуна 2 находим по линейной скорости v
vPeμ= . (3.5)
Evv
CB
относительного движения точки С вокруг точки В:
v
Направление угловой скорости ω
CB
ω = . (3.6)
2
l
BC
определяется вектором vCB,
2
если этот вектор перенести с плана скоростей в точку С.
Угловая скорость звена 3:
v
Направление угловых скоростей ω
CD
ω = . (3.7)
3
l
CD
и ω3 показано на рис. 3.3 кру-
2
говыми стрелками. Построим план ускорений механизма. Пусть
ω1 = const, тогда
Из произвольной точки р
aa lω== . (3.8)
BBA AB
(рис. 3.4) проводим прямую раv║АВ и
α
1
2
n
откладываем на ней отрезок раb, равный аВ в выбранном масштабе:
a
μ
B
. (3.9)
а
=
l
np
Рис. 3.4. План ускорений
В структурой группе 2 – 3 известны абсолютные ускорения точек
В и D. Найдем ускорение точки С, имея в виду, что а
С
= а
2
= аС. От-
С
3
нося точку С сначала к звену 2, а затем к звену 3, имеем
41
n
aaa a
=+ + ;
C B CB CB
τ
aaa a
=+ + . (3.10)
C D CD CD
n
τ
Отсюда
nn
aa a aa a
++=++ . (3.11)
BCBCB DCDCD
ττ
Получилось исходное векторное уравнение для построения плана
ускорений. В этом уравнении
2
v
n
al
CB
CB BC
l
BC
На плане ускорений вектор
2
ω==
2
;
al
n
a изображен отрезком (bn1), про-
CB
2
v
n
CD
CD DC
l
DC
2
ω==
3
. (3.12)
веденным параллельно шатуну ВC в направлении от С к В. Длина
отрезка
laμ= . Линия y – y действия вектора CBaτ проходит
bn
()
через точку n1 перпендикулярно ВС. Поскольку ускорение точки D
равно нулю, то отрезок pan2 плана изображает вектор
n
/
CB a
1
n
a , а линия zz
CD
действия вектора CDaτ проведена через точку n2. Точка пересечения
прямых yy и zz определяет положение конца вектора ускорения точки С механизма. Следовательно, aC = μa pac; CBaτ = μa n1c; CDaτ = μa n2c.
На основании свойства подобия плана ускорений положение
конца вектора абсолютного ускорения точки Е шатуна найдем, если
на отрезке bc плана построим bce, подобный BCE и сходственно с
ним расположенный. Тогда аЕ = μa рае.
Угловые ускорения ε2 шатуна и ε3 коромысла определим по касательным ускорениям CBaτ и CDaτ:
τ
anc
εμ==
2
lBC
μ
CB a
BC l
1
;
()
τ
anc
εμ==
3
lCD
CD l
μ
CD a
()
2
. (3.13)
3.4. Аналитический метод кинематического анализа
рычажных механизмов
Аналитический метод кинематического анализа рассмотрим на
примерах анализа кривошипно-ползунного и кривошипно-коромыслового механизмов.
Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма
Мгновенное положение звена 2 определяется углом γ. Для его
определения спроецируем звенья 1 и 2 на ось у (рис. 3.5).
42
r sinϕ + e = l sin (90° – γ ); ϕ = ω1t; (3.14)
откуда γ = arccos [(r sinω
t +e)/ l].
1
Угловая скорость шатуна в его относительном вращательном дви-
жении
ω
= dγ /dt. (3.15)
2
Угловое ускорение шатуна
ε
= dω2 /dt = d2 γ /dt2. (3.16)
2
Скорость ползуна
= r ω1 – скорость точки В;
где v
B
v
= l ω2 – скорость движения точки С относительно точки В.
CB
vvv=+ , (3.17)
CBCB
Рис. 3.5. Кривошипно-ползунный механизм
Найдем проекции этих скоростей на координатные оси:
v
vСУ = v BУ + v
= vBX + v
CX
= – vB sin ϕ + vCB cos γ; (3.18)
CBX
= vB cos ϕ + v
CBУ
sin γ. (3.19)
CB
Так как ползун перемещается вдоль направляющей, параллель-
ной оси Х, то v
= vCX, а vСУ = 0.
С
Ускорение точки С
n
aaa a
=+ + , (3.20)
C B CB CB
τ
43
n
CB
2
– ускорение точки В;
1B
2
2
где
arω=
alω= – нормальная составляющая ускорения точки С в дви-
жении относительно точки В;
τ
al
ε=
– тангенциальная составляющая ускорения точки С в
2CB
движении относительно точки В:
aa a aϕγ=- =- ;
sin ; cos
Bx B CBx CB
aa a a
By B CBx CB
aa a a a
C Cx B CB CB
cos ; sin
cos sin cos
nn
τ
ϕγ=- =- ;
n
ϕγ γ==- - + .
n
τ
Ускорения центров масс звеньев и их проекции на координатные оси:
aa aaϕϕ=- =- ;
11 11
aaa a a aa a
S x Bx S Bx S Bx S By By S By S By
2222 22
Sx S Sy S
n
alal
SB SB
nn nn
aa aaγγ=- ;
SBx SB SBySB
22 22
ττ ττ
aa aa
22 22
SBx SB SBy SB
=- + =+ + ;
nn
arω= ; (3.21)
cos ; sin
aaa a
=+ + ;
222
S B SB SB
2
ωε==;
22 22
cos ; sin
ττ
2
11
S
2; 2
2
n
τ
τ
sin ; cos
γγ==
;
;
aa= .
3sC
Кинематический анализ кривошипно-коромыслового механизма
Для аналитического определения угловых скоростей звеньев необходимо найти аналитическую связь углов β и δ с углом поворота входного звена ϕ. Для этого соединим точки В и D и обозначим
BDA γ=,
BDC ν=
, BCD α= (рис. 3.6).
Из ΔАВD по теореме косинусов
222
22
2cos;BD AD AB AB AD ϕ=+-⋅⋅ (3.22)
2cos.BD L r Lr ϕ=+-
Из этого же треугольника по теореме синусов
44
rBD
=
sin sin
γϕ
sin ,
,
γ =
sin
rBDϕ
Рис. 3.6. Определение углов в механизме
arcsin .
γϕ=
Из Δ ВСD по теореме косинусов
sin
r
ϕ
22
Lr Lr
2cos
+-
(3.23)
222
222 2
RLr Lr l
cos ;
ν
arccos .
ν
=
++- -
=
22cos
RL r Lr
222 2
RLr Lr l
++- -
22cos
RL r Lr
2cosBC BD CD BD CD ν=++⋅⋅;
2cos
22
+-
2cos
22
+-
ϕ
ϕ
ϕ
(3.24)
ϕ
Из рис. 3.6 видно, что
180 .βγν=-+ (3.25)
()
Подставив формулы (3.23) и (3.24) в выражение (3.25), получим
sin 2 cos
rRLrlLr
180 arcsin arccos .
β
=- -
22
Lr Lr
+-
ϕϕ
2cos
ϕ
2222
++--
22
22cos
RL r Lr
+-
(3.26)
ϕ
Из рис. 3.6 имеем
180 .δβα=+- (3.27)
45
Из Δ ВСD по теореме синусов
lBD
=
sin sin
sin 2 cos
sin sin ,
éù
22 2222
L r Lr R L r l Lr
+- + +--
êú
arcsin sin arccos .
α
=
êú
êú
êú
ëû
BD L r Lr
αν
==
ll
2cos 2cos
l
να
22
νϕ
æö
ç
ϕϕ
ç
ç
ç
ç
ç
èø
,
+-
22
Lr Lr
2cos
+-
÷
÷
÷
(3.28)
÷
÷
÷
ϕ
Подставляя формулы (3.4) и (3.6) в выражение (3.5), получим
2222
φϕ
rRLrlLr
=- - -
δ
360 arcsin arccos
éù
22
+-
Lr Lr
-
êú
arcsin sin arccos .
êú
êú
êú
ëû
Определяем угловые скорости и угловые ускорения звеньев 2 и 3,
учитывая, что
Тогда
sin 2 cos
22 22
+- +-
Lr Lr Lr Lr
ϕ
2cos
l
tϕω= , где
1
ϕϕ
2cos 2cos
æö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
èø
= – время одного оборота кривошипа.
ddtδ
ω = ;
2
2222
RLrl Lr
2tπ
ω
1
ε = ;
ddtβ
;
ω =
3
ε =
++--
++--
22
+-
Lr Lr
ddtδ
2
d
3
dt
2
2
2
β
2
2cos
.
ϕ
2cos
ϕ
÷
÷
÷
÷
÷
÷
(3.29)
Учитывая сложность функций δ(ϕ) и β(ϕ), для нахождения ω и ε,
необходимо применять методы численного дифференцирования,
приняв шаг дифференцирования
ttnΔ =
.
Линейные скорости точек и их проекции на оси координат:
vRω=
vrω=
B
;
C
1
vvβ=-
CC
x
vvϕ=-
BB
x
vvβ=- cos .
EE
x
sin ;
sin ;
sin ;
Скорости центров масс звеньев:
r
;
vvϕ=-
1
1
Sx S
11
2
46
v ω=
S
;
vRaω=+
3
E
vv β=
CC
у
vv ϕ=
BB
y
vvβ=
EE
y
sin ;
vvϕ=
Sy S
cos ;
;
()
3
cos ;
cos ;
11
vvωδ=+ -
Sx B
2
v ωβ
x
Sx
3
2
=-
l
sin 180 ;
()
2
Ra
+
()
3
2
vvωδ=+ -
Sy B
2
sin ;
v ωβ
=
Sy
3
l
cos 180 ;
()
2
y
2
Ra
+
()
3
cos .
2
Линейные ускорения точек и их проекции на оси координат:
n
sin ;
cos ;
τ
n
;
aRω=
CD
nn
aaβ=-
CD CD
x
β=
aa a
n
=+
CCDCD
xxx
2
τ
;
aR
3
CD
cos ;
τ
;
;
ε=
3
nn
aaβ=-
CD CD
y
aa a
n
=+
CCDCD
yyy
arω=
aaϕ=-
BB
aaτβ=-
CD CD
B
x
x
cos ;
n
2
1
sin ;
;
aa a
=+
CCDCD
aaϕ=-
BB
y
ττ
aa
CD CD
y
Ускорения центров масс звеньев и их проекции на координатные оси:
r
a ω=
n
a ω=
SB
a
2
2
2
τ
ε=
2
SB
2
aaaa
SSBSBBx
22 2
aa a
=+
SSDSD
33 3
nn
aaβ=-
SB SB
33
x
ττ
aa
SB SB
33
y
2
2
xxx
2
;
aaϕ=-
1
S
1
l
nn
;
aaδ=- -
SB SB
22
l
ττ
;
aa
SB SB
22
n
=++
n
cos ;
SS
11
2
x
x
cos ;
β=
x
aaaa
τ
τ
;
aaa
SB SB SB
n
=++
SSBSBB
22 2
cos 180 ;
()
sin 180 ;
δ=-
()
;
n
a ω+=
SD
3
nn
aaβ=-
SB SB
33
y
n
=+
333
xxx
cos ;
2
3
aaϕ=-
SS
11
y
τ
aaaa
SSBSBBy
22 2
Ra
()
;
nn
aaδ=- -
SB SB
22
ττ
aa
SB SB
22
y
n
=++
yyy
;
2
a
sin ;
τ
;
aaa
sin ;
y
τ
τ
SD
3
ττ
aa
SB SB
33
x
=+
SB SB SB
333
yyy
sin 180 ;
cos 180 ;
δ=-
()
Ra
()
ε+=
3
2
sin ;
n
()
;
;
β=
τ
.
sin ;
τ
.
Для реализации изложенных выше алгоритмов кинематического анализа кривошипно-ползунного и кривошипно-коромыслового
механизмов разработаны программы расчетов на ЭВМ. Программы
позволяют произвести расчет кинематических параметров движения
звеньев для n положений входного звена.
3.5. Пример кинематического анализа механизмов
Решения задачи кинематического анализа рычажных механизмов
рассмотрим на конкретном примере.
47
Для заданной кинематической схемы (рис. 3.7, а) с известными
геометрическими параметрами необходимо:
1. Вычертить план положений звеньев механизма (рис. 3.7, б) в
масштабе lμ (м/мм) для позиции, заданной углом 1ϕ поворота кривошипа, и найти углы 2ϕ
и 3ϕ
, определяющие положения звеньев 2 и 3.
2. Найти аналитические углы, определяющие положение звеньев
2 и 3, линейные скорости и ускорения точек А, В и С, а также угловые скорости и ускорения звеньев 2 и 3. При этом следует воспользоваться методом векторного замкнутого контура (метод Зиновьева).
3. Определить графическим методом планов линейные скорости
и ускорения всех точек механизма и угловые скорости и ускорения
звеньев 2 и 3.
Определить положения, угловые скорости и ускорения звеньев
механизма, а также линейные скорости и ускорения точек механизма
аналитическим методом при следующих данных: l
l3 = 0,4 м; l4 = 0,95 м; l
=0,333м; l
AD
= 0,1 м; ω1 = 12 c–1; ϕ
CD
= 0,2 м; l2 = 0,8 м;
1
= 330°.
1
Решение.
Представим схему механизма (рис. 3.7, а) в виде замкнутого векторного контура, для которого
ОО О А АВ О В++= или
12 1 2
Свяжем с точкой О
оси координат хО1у и спроецируем на них по-
1
llll++=.
412 3
лученные векторные уравнения:
х:
у:
Обозначим:
41 1
cos cos cosll l lϕϕ ϕ-+ + =
41 12 23 3
sin sin sinll lϕϕϕ+=
112 233
cosll aϕ-+ = и
sinlbϕ = .
11
;
. (3.30)
Тогда имеем
cos cosаl lϕϕ+=;
2233
sin sinbl lϕϕ+=. (3.31)
2233
Далее возведем в квадрат оба уравнения (3.31) и сложим их. Тогда
после преобразования получим
2232
labl
48
---
32
2
la a
2
cos sin
=+
b
ϕϕ
22
.
Обозначим левую часть этого уравнения А, а в правой части
b
ψ
== . Тогда
tg
a
Окончательно имеем
sin
cos
ψ
ψ
cos sin
A
ϕϕ
=+ .
22
arccos( cos )Aϕψψ=+.
2
sin
cos
ψ
ψ
Используя аналогичные преобразования, для чего в уравнениях
(3.31) поменяем местами члены, содержащие l
arccos( cos )Вϕψψ=+,
где
2222
++-
labl
32
=
В
2
la
3
3
.
и l3, получим
2
В рассматриваемом примере:
cos 0,95 0,2cos330 0,777аll ϕ=- + =- + =- ;
2232
labl
32
== =
А
2222
labl
32
== -
В
41 1
sin 0,2sin330 0,1bl ϕ== =-;
11
---
la
2 2 0,8 ( 0,777)
2
++-
la
2 2 0, 4 ( 0,777)
3
arctg arctg 0,1 0,777 7,33baψ ==--=;
() ( )( )
2222
-- -- -
0,4 ( 0, 777) ( 0,1) 0,8
⋅⋅-
2222
+- + -
0,4 ( 0,777) (0,1) 0,8
⋅⋅-
0,88
0,215
;
;
arccos(0,88cos7,33) 7,33 36,54ϕ =+=;
Для определения угловых скоростей ω
2
arccos[( 0,215)cos7,33] 7,33 109,6ϕ =- +=.
3
и ω3 продифференцируем
2
по времени уравнения (3.31) и произведем соответствующие преобразования, учитывая, что
ddtϕω= ;
11
sin sin sinll lωϕ ω ϕ ωϕ-- =- ;
11 1 2 2 2 33 3
cos cos cosll lωϕωϕ ωϕ+=. (3.32)
11 1 2 2 2 33 3
ddtϕω= ;
22
ddtϕω= .
33
Разделим друг на друга правые и левые части уравнений (3.32):
ϕ
ωϕ ωϕ
ll
11 1 22 2
ωϕωϕ ϕ
ll
11 1 2 2 2 3
+
sin sin
+
cos cos cos
sin
=
3
.
49
Отсюда после преобразования находим
sin
l
ω
11
ω
=⋅
2
l
()
sin
()
232
Аналогично находим
sin
l
ω
11
ω
=⋅
3
l
()
sin
()
332
В рассматриваемом примере:
ϕϕ
-
13
ϕϕ
-
ϕϕ
-
12
ϕϕ
-
.
.
sin 330 109,6
⋅
0,2 12
=⋅ =-
ω
2
ω
0,8 s in 10 9,6 36, 54
sin 330 36,54
⋅
0,2 12
=⋅ =-
2
0, 4 si n 109, 6 3 6,54
-
()
-
()
-
()
-
()
2, 033
5, 57 4
–1
с
;
–1
с
.
Знак «минус» указывает на то, что направление угловых скоростей ω
и ω3 имеет противоположное ω1 направление.
2
Скорость точки А:
Скорость точки В:
Vlω== ⋅= м/с.
BA
2,033 0,8 1,626
22
Vlω==⋅= м/с;
A
Vlω== ⋅= м/с;
B
12 0,2 2,4
11
5, 75 4 0 ,4 2, 3
33
Для определения угловых ускорений ε2 и ε3 продифференцируем по времени уравнения (3.32) и, учитывая, что
ddtωε= ;
22
ddtωε= , произведем соответствующие преобразо-
33
ddtωε= ;
11
вания:
22 2
cos cos sin cos sinll ll lωϕωϕεϕ ωϕεϕ++=+;
111222222333333
22 2
sin sin sin sin cosll l l lωϕωϕ εϕ ωϕ ε ϕ-- + =- + .
11 1 22 2 22 2 33 3 33 3
Обозначим
222
cos cos cosll lCωϕωϕωϕ+-=;
11 1 2 2 2 3 3 3
22 2
sin sin sinll l Dωϕωϕ ωϕ-- + =.
11 1 22 2 33 3
50
Тогда
Отсюда
εϕ
+
Сl
Dl
sin
22 2
εϕ ϕ
+
cos cos
22 2 3
ϕ
sin
=
3
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]