Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практические занятия по общей физике. Оптика. Учебное пособие
.pdf
При интерференции света в тонких плоскопараллельных пластинках в отраженном свете условия максимума и минимума интенсивности
света имеют вид:
условие максимума – Δ
условие минимума – Δ
Здесь
d – толщина пластинки, n – показатель преломления ее материала,
(2d·n·cosβ) – λ/2 = 2k · λ/2;
=
(2d·n·cosβ) – λ/2 = (2k +1) · λ/2.
=
β – угол преломления света в пластинке. Для тонких пленок и плоскопараллельных пластин при нормальном падении светового пучка на их
β
поверхность формулы упрощаются (можно считать cos
условие максимума – Δ
условие минимума – Δ
2d·n – λ/2 = 2k · λ/2;
=
2d·n – λ/2 = (2k +1) · λ/2.
=
=
1):
При интерференции в проходящем свете условия максимума и минимума меняются местами. Поэтому в приводимых ниже формулах
условия максимума и минимума для наблюдения в отраженном свете
соответствуют условиям минимума и максимума в проходящем. Эти
условия, воспользовавшись законом преломления света, можно выразить и через угол падения
α. Тогда, при наблюдении в отраженном све-
те, приведенные выше формулы имеют вид:
условие максимума – Δ
условие минимума – Δ
2d·(n2 – sin
=
2d·(n2 – sin
=
2α)1/2
– λ/2 = 2k · λ/2;
2α)1/2
– λ/2 = (2k +1) · λ/2.
Реально, в отраженном свете интерференция света проявляется в
том, что тонкая плоскопараллельная пластинка при освещении ее белым
светом выглядит окрашенной в те цвета, для которых выполняется
условие максимума. Если толщина пластинки не постоянна, но показатель преломления и угол падения лучей везде одинаковы, в монохроматическом свете можно наблюдать так
щины
. Это означает, что вдоль какой-либо темной или светлой
называемые полосы равной тол-
интерференционной полосы, возникающей на поверхности пластинки,
толщина этой пластинки одна и та же. Например, интерференционными
полосами равной толщины являются полосы, образующиеся на поверхности прозрачного клина параллельно его ребру (рис. 1,
a). Темные по-
лосы видны на тех участках, для которых при наблюдении в отраженном свете разность хода интерферирующих световых волн кратна
нечетному числу полуволн. Для
Δ
d
где
– толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, со-
k
ответствующая номеру
Δ
= 2dk
= 2dk
·(n2 – sin
k. Для k-й по счету светлой полосы будет
·(n2 – sin
k-й по счету темной полосы имеем
2α)1/2
– λ/2 = (2k +1) · λ/2,
2α)1/2
– λ/2 = 2k · λ/2 =
kλ.
41
Здесь все обозначения аналогичны приведенным выше, но соответствуют светлым полосам. Для света, падающего нормально к поверхности, выражение для разности хода упрощается:
Δ
= 2dk
·n – λ/2 =
(2k +1) · λ/2 и 2d
k·n = kλ +
λ.
Если последнее условие записать для двух соседних полос и вычесть из одного из них другое, получим:
2n·(d
Рис. 1. Схемы наблюдения интерференции:
а – полосы равной толщины на поверхности прозрачного клина;
b – кольца Ньютона
– dk) =
k+1
λ.
Обозначим через Х расстояние между темными или светлыми интерференционными полосами. Тогда можно утверждать, что малый угол γ при
вершине клина, измеренный в радианах, равен
γ
Угол
γ очень мал, поэтому полагаем sinγ
= (dk+1
– dk)/Х.
γ. Число приходящихся
≈
на единицу длины темных или светлых интерференционных полос
вдоль направления, перпендикулярного ребру клина, равно
N/l
1/Х = 1/(d
=
– dk) = 2γ·n/λ.
k+1
Интерференционные полосы могут возникать на воздушном или
заполненном прозрачным веществом клине между плосковыпуклой
линзой и пластинкой. При параллельности плоской поверхности линзы
и пластинки они имеют вид колец. Пучок света при этом направлен
вдоль главной оптической оси линзы. Подобное устройство называют
установкой для наблюдения колец Ньютона (рис. 1,
b). Результат ин-
терференции зависит от оптической разности хода, которая в случае
нормального падения лучей имеет вид:
Δ
В записанном соотношении
= 2dk
·n.
d
– толщина клина из вещества, за-
k
полняющего пространство между линзой и пластинкой в месте, где
42
наблюдается интерференция (k-е светлое или темное кольцо), n – абсолютный показатель преломления этого вещества. Для воздуха
Толщина клина в месте наблюдения
может быть найдена из геометрических соображений как
k-го светлого или темного кольца,
d
k = rk
n
=
2
/2R, R –
1.
радиус кривизны линзы. При наблюдении в проходящем свете условие
максимума интерференции (светлое кольцо) соответствует разности хода лучей Δ, кратной четному числу полуволн:
Δ
= 2dk·n =
2k·λ/2 =
k·λ.
Условие минимума (темное кольцо), соответствующее кратности Δ нечетному числу полуволн, в проходящем свете оно имеет вид:
Δ
k
Здесь
0, 1, 2,…. При наблюдении в отраженном свете условия мак-
=
= 2dk·n =
(2k+1)λ/2.
симума и минимума меняются местами. Центральное светлое пятно в
проходящем свете и центральное темное в отраженном свете считаем
k
нулевыми (
0). В проходящем свете радиусы светлых колец Ньютона
=
находятся по формуле
r
k
1, 2,…. Радиусы темных колец находятся по формуле
=
r
k =
(2d
k =
1/2
k
R)
(k·n·R·λ)
=
[(2k – 1)·n·R·λ]
1/2
1/2
.
,
В опыте с кольцами Ньютона возможно определение показателя
преломления вещества, заполняющего пространство между линзой
и пластинкой. По наблюдениям в проходящем свете можно найти
n
r
где
кольцо с радиусом
n
– радиус светлого кольца с номером k. Если наблюдается темное
k
r
, то
k
=
k·λ·R/r
=
(2k – 1)·λ·R/r
2
,
k
2
.
k
Наблюдения можно проводить и в отраженном свете. Но формулы
для светлого и темного колец следует поменять местами.
При решении некоторых задач, в которых рассматривается установка для получения колец Ньютона, можно использовать формулу
для тонкой плосковыпуклой линзы
(nл – 1)/R
Здесь
расстояние,
R – радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, F – фокусное
D – оптическая сила линзы, n
=
1/F
D.
=
– относительный показатель
л
преломления материала линзы.
«Просветление» оптики связано с нанесением на поверхность линз
тонких пленок. Чтобы оценить необходимую толщину пленки для максимального ослабления отражения света с длиной волны
λ, рассмотрим
малый участок пленки, нанесенной на поверхность стекла (рис. 2).
43
Рис. 2. Интерференция света в тонких пленках
Абсолютные показатели преломления соответственно равны: воздуха
выделим узкий луч
ется и частично преломляется. Отраженные лучи
n
1, стекла n1, пленки n2. Причем, n
=
SA. В точках А и В падающий луч частично отража-
1
> n
> n. Из световой волны
2
AS
и CS2 могут ин-
1
терферировать между собой. Поскольку показатель преломления воздуха меньше показателя преломления пленки, который, в свою очередь,
меньше показателя преломления стекла, в обоих случаях происходит
отражение от оптически более плотных сред. В результате изменение
фазы колебаний, связанное с отражением от границ раздела сред, оказывается одинаковым для обоих интерферирующих
лучей. В этом случае условие интерференции для максимального ослабления отраженного света имеет вид Δ
(2k+1)λ/2. Из схемы, представленной на рис. 2,
=
следует, что оптическая разность хода Δ может быть найдена из соотношения Δ
= l2·n2
·n. Здесь l
1
2 = АВ +
ВС, а l
AD. Если свет падает
1 =
– l
почти нормально к поверхности пленки (угол падения α очень мал), тогда
АВ
+ ВС =
2d, здесь d – толщина пленки. Тогда Δ
2d·n2 = (2k+1)λ/2.
=
Необходимая толщина пленки может быть найдена из соотношения
d
Минимальная толщина пленки
Полученный результат означает, что свет с длиной волны
(2k+1)λ/4n2.
=
d
min
соответствует k
0; d
=
min =
λ будет пол-
λ/4n
2
ностью «гаситься» на просветляющей пленке с оптической толщиной
d
опт = n2·dmin = n2
λ/4. Для света с длиной волны λ', отличной от λ, полного
гашения наблюдаться не будет. Это связано с тем, что кроме разности
хода
ская разность хода Δ
суммируемых световых колебаний Δ
сивность
интенсивность
λ'/2 у интерферирующих волн возникает дополнительная оптиче-
λ/4
(λ – λ')/4, которая соответствует разности фаз
=
φ
π[1+(λ – λ')/2λ']. Считая интен-
=
I интерферирующих волн одинаковой, найдем относительную
I
/I суммарных колебаний через отношение квадратов
s
44
.
соответствующих амплитуд. Амплитуду суммарных колебаний определим, воспользовавшись теоремой косинусов. В результате получаем:
(Is/I) = 2 +
2cos(Δφ)
= 2 +
2cos{π [1 + (λ – λ')/2λ']}.
Интерференция света используется в ряде точных измерительных
приборов, называемых
принципиальная схема
интерферометрами. На рис. 3, a изображена
интерферометра Жамена, применяемого для
точных измерений показателей преломления газов. Две одинаковые
толстые плоскопараллельные стеклянные пластины, обозначенные
на рис. 3,
луч от монохроматического источника
лом
а как А и В, установлены параллельно друг другу. Световой
S падает на пластину под уг-
α, равным 45°. В результате его отражения из пластины выходят
два когерентных луча. Пройдя через одинаковые кюветы, лучи после
отражения второй пластиной собираются линзой Л и интерферируют.
Если одна из кювет заполнена газом с известным абсолютным показателем преломления, а другая – с измеряемым, оптическую разность хода
между интерферирующими лучами можно найти как
Δ
= (n2
– n1)·l.
Рис. 3. Интерферометры:
а – Жамена; b – Майкельсона
Следовательно, n
2 = n1 +
симума. Изменение оптической разности хода на длину волны
k·λ/l, где k – порядок интерференционного мак-
λ вызы-
вает смещение интерференционной картины на одну полосу, а изменение на
Майкельсона
ского света от источника
k·λ – смещение на k полос. Упрощенная схема интерферометра
приведена на рис. 3, b. Вертикальный луч монохроматиче-
S падает под углом 45° на плоскопараллель-
ную полупрозрачную пластинку. Часть света проходит через нее к зеркалу З
, другая часть отражается и идет к зеркалу З1. Отразившиеся
2
от зеркал лучи 1' и 2' когерентны. Результат их интерференции зависит
45
от оптической разности хода. Смещение одного из зеркал или изменение оптической длины одного из плеч интерферометра на половину
длины волны
одну полосу, а изменение на
λ/2 приводит к смещению интерференционной картины на
k·(λ/2) – смещение на k полос.
Интерферометр Майкельсона также используется для точных измерений показателей преломления различных веществ.
Основные расчетные формулы
Условие максимумов Δ
Условие минимумов Δ
Оптическая длина пути
S
n·l.
=
Расстояние между светлыми интерференционными полосами Δ
2k(λ/2) =
=
(2k+1)(λ/2), где k
=
kλ.
0,1,2….
=
S связана с геометрической длиной l:
y
Условие максимума в плоскопараллельных пластинках –
Δ
(2d·n·cosβ) – λ/2 = 2k · λ/2.
=
Условие минимума в плоскопараллельных пластинках –
Δ
(2d·n·cosβ) – λ/2 =
=
тель преломления ее материала,
(2k +1) · λ/2, где d – толщина пластинки, n – показа-
β – угол преломления света в пластинке.
Для тонких пленок при нормальном падении:
условие максимума – Δ
условие минимума – Δ
2d·n – λ/2 = 2k · λ/2;
=
2d·n – λ/2 = (2k +1) · λ/2.
=
В отраженном свете:
условие максимума – Δ
условие минимума – Δ
2d·(n2 – sin
=
2d·(n2 – sin
=
В проходящем свете радиусы светлых колец Ньютона
(k·n·R·λ)
=
1/2
, k = 1, 2,….
Радиусы темных колец
r
[(2k – 1)·n·R·λ]
k =
2α)1/2
– λ/2 = 2k · λ/2;
2α)1/2
– λ/2 = (2k +1) · λ/2.
1/2
.
r
k =
(2d
λL/d.
=
R)
k
1/2
=
Примеры решения задач
Пример 1.
Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления
которой меньше показателя преломления стекла. Радиус восьмого тем-
ного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете (
r
2 мм. Радиус кривизны линзы R
8 =
1 м. Найти показатель преломле-
=
700 нм)
=
ния жидкости.
Решение. Параллельный пучок лучей падает нормально на плоскую по-
верхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных волн, возникают интерференционные кольца равной толщины.
46
Оптическая разность хода луча 1, отражен-
R
ного в точке А от выпуклой поверхности
линзы, и луча 2, отраженного от стеклянной
0
R
пластинки в точке В,
= 2dknж +
; где d
–
k
2
r
k
толщина зазора в том месте, где наблюдается
k-е кольцо; n
– показатель преломления
ж
d
k
A
В
жидкости, заполняющий пространство между линзой и стеклянной пластинкой;
– добавочная разность хода при
2
отражении луча 2 (в точке В) от оптически более плотной среды. Так
как кольцо темное
=
(2k + 1)
/2 или 2d
knж +
(2k + 1) /2;
=
2
k
2d
Из геометрии рисунка:
2
2
rRd , тогда
то
kk
; подставив dk в выражение для nж, получим:
d
k
k
knж =
rR Rd Rdd , так как
kkkk
r
k
, откуда
22 2
2
n
ж
2
.
d
2
k
2
dR
k
kR
, n
n
ж
1,4.
ж =
2
r
k
,
Пример 2. На стеклянный клин нормально к его грани падает парал-
лельный пучок лучей (
полос, приходящихся на l
0,6 мкм). Число темных интерференционных
=
1 см равно 10. Найти угол клина.
=
Решение. В соответствии с условиями этой задачи наблюдаются полосы
равной толщины. Лучи, падая нормально к грани клина, отражаются как
от верхней, так и от нижней грани клина и интерферируют между собой.
Так как угол клина очень мал, то отраженные лучи (1 и 2) практически
параллельны. Темные полосы видны на тех участках клина, для
которых
разность хода лучей равна нечетному числу длин полуволн, то есть
∆
(2k + 1)λ/2, k = 0, 1,…. (1)
=
Первый луч претерпевает при отражении
«потерю»
/2, поэтому разность хода бу-
дет вычисляться по формуле
d
d
k
k+10
∆
2d(n2 – sin2φ
=
Так как по условию задачи φ
ражение для
примет вид:
пад
1/2
)
+ λ/2. (2)
0, то вы-
пад =
47
∆
2dn + λ/2. (3)
=
Приравнивая правые части (1) и (3) и преобразуя полученное выражение, окончательно получаем:
2dn = k. (4)
Для толщины пленки, где наблюдается k-я полоса, запишем 2d
откуда d
запишем: 2d
Как видно из рисунка, sin
k =
k
/2n. Для толщины пленки, где наблюдается (k
k+10
n(k
+
10)
, откуда d
(для малых углов).
k+10 = (k +
10)/2n, sinα = (d
10) полоса,
+
k+10
k,
kn =
– dk)/l.
Подставляя полученные выражения в формулу для угла, получим:
Пример 3.
Пучок белого света падает нормально на стеклянную пла-
стинку толщиной d
[(k + 10)
=
4 мкм. Показатель преломления стекла n
=
– k]/2nl
5λ/nl =
=
41,2.
1,5. Ка-
=
кие длины волн, лежащие в пределах видимого спектра (от 400 нм
до 700 нм), усилятся в отраженном пучке?
Решение. В отраженном пучке будут усиливаться волны, разность хода
которых пропорциональна половине длины волны:
2nd = (2k+1) λ/2, k = 0, 1, 2,….
4
Отсюда длина волны равна:
Условию задачи удовлетворяет значение λ
nd
21
k
.
=
480 нм при k
=
1.
Пример 4. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете
освещается светом λ
линзой и стеклянной пластинкой (n
532 нм, падающим нормально. Пространство между
=
1,5) заполнено водой (n
1 =
1,33). Найти
=
толщину слоя в том месте, где наблюдается 5-е светлое кольцо.
Решение. Кольца Ньютона возникают в результате интерференции лу-
чей, отраженных от нижней поверхности линзы и верхней поверхности
пластинки. Оптическая разность хода между этими лучами ∆
2dn + λ/2.
=
Поскольку по условию задачи d необходимо найти в том месте, где
наблюдается светлое кольцо, то ∆
=
Пример 5. Свет с длиной волны λ
лянного клина под углом α
угол при вершине клина γ
15°. Показатель преломления стекла n
=
1'. Определить расстояние между двумя со-
=
2dn + λ/2 = kλ; d = (2k – 1)λ/4n =
550 нм падает на поверхность стек-
=
90 мкм.
1,5,
=
седними минимумами при наблюдении интерференции в отраженном
свете. Как изменится интерференционная картина, если клин освещать
рассеянным светом той же длины волны? Найти расстояние от вершины
клина, на котором интерференционные полосы начнут исчезать, если
степень немонохроматичности света Δλ/λ
=
0,01.
48
Решение. По условию задачи, на стеклянный клин падает плоская све-
товая волна, которую можно считать почти монохроматической.
При попадании на любую прозрачную пленку свет частично проходит
через нее, а частично отражается как от верхней, так и от нижней границы. В результате световые пучки, отраженные от этих поверхностей
приобретают разность хода,
зависящую от толщины пленки, ее показателя преломления и угла падения света. Толщина пленки d и угол скоса
клина γ по условию задачи малы. Мал и угол падения лучей α. Это позволяет считать, что интерференционная картина, при регистрации ее
в отраженном свете, локализована на верхней поверхности клина.
В данном случае
картина представляет собой чередование темных
и светлых полос, параллельных ребру клина. Для каждой полосы толщина стеклянного клина одинакова. Так как интерференционная картина
образуется в результате отражения света от обеих поверхностей клина, то
при освещении его пучком параллельных лучей наблюдение интерференции возможно только при рассматривании верхней поверхности клина
под определенным углом, зависящим от угла падения света α. Если
падающий свет рассеянный, то отражение будет происходить под разными углами. Глаз как бы выбирает интерференционные полосы, образованные лучами, падающими на клин под определенным углом α. Изменение угла зрения фактически соответствует изменению угла падения
α в уравнении для разности
граней клина: Δ
2d·(n2 – sin2α)
=
хода лучей, идущих от верхней и нижней
1/2
– λ/2.
При относительно большой толщине клина может сказываться
немонохроматичность света. Интерференционные картины, соответствующие различным длинам волн, будут накладываться друг на друга.
В результате интерференционная картина становится неразличимой. Интерференционная картина начнет исчезать, если расстояние между максимумами одного порядка для длин волн λ и λ' окажется больше половины ширины интерференционной полосы, для света с длиной волны λ.
Чтобы найти расстояния между соседними темными полосами,
определим разность соответствующих им толщин клина h. Это позволит
нам через угол γ при основании клина найти расстояние x между соседними интерференционными полосами. Условия минимума в отраженном свете для k-го и (k+1)-
2dk·(n2 – sin2α)
2d
k+1
го порядков запишем в виде:
1/2
– λ/2 = (2k +1) · λ/2,
·(n2 – sin2α)
1/2
– λ/2 = (2k +3) · λ/2,
где k
1, 2,…. При k
=
0 d0 =
=
0, т.е. темная полоса идет по ребру клина.
Вычтя из одного уравнения другое и разделив результат на 2(n
получим:
49
2
– sin2α)
1/2
,
d
– dk = h = λ /[2(n2 – sin2α)
k+1
1/2
].
Поскольку x
x
h/sinγ, окончательно получим
=
λ /[2sinγ(n2 – sin2α)
=
1/2
] =
0,64 мм.
Предельное условие различимости интерференционной картины состоит в том, что максимум k-го порядка для длины волны λ' совпадает
с минимумом того же порядка для длины волны λ. Приравнивая (d
и (d
[k – (1/2)](λ+Δλ)
Откуда k
ражение в уравнение 2d
, получим:
k)min
=
=
[(λ/Δλ)+1]/2. Если λ/Δλ >> 1, то k
·(n2 – sin2α)
k
1/2
– λ/2 =
kλ.
λ/(2Δλ). Подставив это вы-
=
(2k +1) · λ/2, найдем
k')max
наибольшую толщину клина, при которой интерференционная картина
еще различима:
d
(λ/2Δλ)[λ/(n
max ≈
2
– sin2α)
1/2
].
Это соответствует расстоянию от вершины клина
x
max ≈ dmax
/sinγ
λ/[4(Δλ/λ)sinγ(n
≈
2
– sin2α)
1/2
]
2 мм.
≈
Если падающий свет содержит длины волн, непрерывно меняющиеся
от λ до λ
Δλ, то такую сплошную полосу можно представить себе как
+
две линии шириной Δλ/2 каждая, смещенные друг относительно друга
на Δλ/2. Тогда полученный результат будет вдвое больше, т. е. 64 мм.
Пример 6. Между двумя плоскопараллельными пластинами лежит про-
волочка диаметром d
клин длиной L
73,3 мм. При рассмотрении пластин в отраженном све-
=
те с длиной волны λ
0,01 мм. В результате образовался воздушный
=
546 нм видны интерференционные полосы. Найти
=
ширину темных полос.
Решение. Запишем выражение для разности хода интерферирующих
лучей в месте наибольшей толщины воздушного клина:
2dncosβ = Nλ.
Здесь d – диаметр проволочки, равный наибольшей толщине клина, β –
угол преломления, N – число полос интерференции на длине клина L.
Т. к. клин воздушный, то показатель преломления n
дают нормально, поэтому cosβ
1. Тогда N
=
2d/λ. Ширина одной тем-
=
1. Лучи света па-
=
ной полосы равна расстоянию между двумя максимумами интерференции света:
x
L/N = Lλ/2d =
=
2 мм.
Пример 7. Для измерения показателя преломления аммиака в одно
из плеч интерферометра Майкельсона вставили трубку длиной l
14 см.
=
Торцы трубки герметично закрыты плоскопараллельными стеклянными
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]