Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практические занятия по общей физике. Оптика. Учебное пособие
.pdf
Рис. 8. Построение изображения в вогнутом сферическом зеркале
Положение изображения и его размер можно также определить
с помощью формулы сферического зеркала:
.
dfF
111
Здесь
d – расстояние от предмета до зеркала, f – расстояние от зеркала
до изображения. Величины d и f подчиняются правилу знаков: d > 0
и f > 0 – для действительных предметов и изображений; d < 0 и f < 0 –
для мнимых предметов и изображений. Для случая, изображенного на
рис. 8, имеем: F > 0 (зеркало вогнутое); расстояние от зеркала до предмета d
ла получаем, что расстояние от зеркала до изображения f
3F > 0 (действительный предмет). По формуле сферического зерка-
=
(3/2)F > 0.
=
Следовательно, изображение действительное. Если бы вместо вогнутого
было выпуклое зеркало с тем же по модулю фокусным расстоянием, мы
получили бы f
– ¾ F < 0, а d
=
–3F > 0. Таким образом, в этом случае
=
изображение мнимое.
Линейное увеличение сферического зеркала Γ определяется как отношение линейных размеров изображения h' и предмета h. Величине
изображения h' обычно приписывается знак в зависимости от того, является изображение прямым (h' > 0) или перевернутым (h' < 0). Величина h всегда положительна. Линейное увеличение сферического
зеркала
находят по формуле
Г
.
hd
'hf
В рассмотренных примерах для первого случая Г
– ½ < 0, то есть
=
изображение перевернутое и уменьшенное вдвое. Во втором случае
¼ > 0, значит, изображение прямое и уменьшенное в 4 раза.
Г
=
11
Построение изображений в линзах
Линза – это оптическая система, состоящая из двух преломляющих
поверхностей, которые разделены оптически однородным промежутком. Линзу называют тонкой, если толщина этого промежутка много
меньше радиусов кривизны преломляющих поверхностей. Главные
и узловые плоскости тонкой линзы совпадают друг с другом, и пересечение этой плоскости с оптической осью
называется оптическим центром линзы. Линзы бывают собирающими и рассеивающими, они входят в состав практически всех оптических приборов. Основное свойство
линз – способность давать изображения предметов. Изображения бывают прямыми
ченными
но используется пара лучей, ход которых заранее известен.
и перевернутыми, действительными и мнимыми, увели-
и уменьшенными. Для построения изображения в линзе обыч-
Рис. 9. Преломление параллельного пучка лучей
в собирающей (a) и рассеивающей (b) линзах.
Точки O1 и O2 – центры сферических поверхностей,
O1O2 – главная оптическая ось, O – оптический центр, F – главный фокус,
F' – побочный фокус, OF' – побочная оптическая ось, Ф – фокальная плоскость
Рассмотрим основные элементы оптической системы, характерные
для тонких линз, они приведены на рис. 9. Прямая, проходящая через
центры кривизны O
и O2 сферических поверхностей, называется глав-
1
ной оптической осью линзы. Для тонких линз можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую называют оптическим центром линзы, это точка O. Световой луч проходит
через оптический центр, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический
центр, называются побочными оптическими осями. Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу
12
лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке F, которая называ-
ется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеется два главных фокуса, симметрично расположенных относительно линзы на главной оптической оси. Фокусы собирающих линз являются действительными,
а рассеивающих – мнимыми. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, также фокусируются
после прохождения через линзу в точку F', которая расположена при пересечении побочной
оси с фокальной плоскостью
Ф, то есть плоскостью перпендикулярной
главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 9).
Расстояние между оптическим центром линзы O и главным фокусом F
называется фокусным расстоянием. Оно обозначается той же буквой F.
Для построения изображений используют «стандартные» лучи,
ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр
или один из
фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или
одной из побочных оптических осей. Примеры таких построений представлены на рис. 10 и рис. 11. Некоторые из используемых здесь лучей
не проходят через линзу. То есть в создании изображения они не участвуют, но тем не менее могут быть использованы для построений.
Рис. 10. Построение изображения в собирающей линзе
Рис. 11. Построение изображения в рассеивающей линзе
Положение изображения можно также оценить с помощью формулы тонкой линзы. Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d, а расстояние от линзы до изображения через f, то формулу тонкой
линзы можно записать в виде
111
D
.
dfF
13
Величину D, обратную фокусному расстоянию, называют оптической
f
f
f
силой линзы. Единицей измерения оптической силы является диоптрия
(дптр). Линза с фокусным расстоянием F
в одну диоптрию, то есть 1 дптр
м–1. Формула тонкой линзы аналогична
=
1 м имеет оптическую силу
=
формуле сферического зеркала. Для параксиальных лучей ее можно получить из подобия треугольников на рис. 10 или рис. 11. Фокусным расстояниям линз приписывают знаки: у собирающей линзы F > 0, у рассеивающей
F < 0. Величины d и f также подчиняются правилу знаков: d > 0 и f > 0 –
для действительных предметов (реальных источников
света, а не продолжения лучей, сходящихся за линзой) и изображений; d < 0 и f < 0 – для
мнимых источников и изображений. Для случая, изображенного
на рис. 10, F > 0 (линза собирающая), d
3F > 0 (действительный пред-
=
мет). Таким образом, из формулы тонкой линзы следует, что
(3 2)
>0. Следовательно, изображение действительное. Для случая,
F
изображенного на рис. 11, F < 0 (линза рассеивающая), d
23
ствительный предмет),
F < 0, то есть изображение мнимое.
2|F| > 0 (дей-
=
От положения предмета по отношению к линзе зависят линейные
размеры изображения. Линейным увеличением линзы Γ называют отношение линейных размеров изображения h' к соответствующим линейным
размерам предмета h. Величине h', как и для сферического зеркала, приписывают знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или перевернутым. Величина h всегда считается положительной. В результате для прямых изображений Γ > 0, а для
перевернутых Γ < 0. Из подобия треугольников на рис. 10 и рис. 11 можно получить формулу для линейного увеличения тонкой линзы:
'hf
Г
.
hd
В примере с собирающей линзой (рис. 10)
следовательно, Г
– ½ < 0, изображение перевернутое и уменьшенное
=
(3 2)fF
в 2 раза. В примере с рассеивающей линзой (рис. 11): d
23 | |
F < 0; следовательно,
> 0. Изображение прямое
13Г
>
0 и d
3F > 0,
=
2|F| > 0,
=
и уменьшенное в 3 раза.
Оптическая сила D линзы зависит от радиусов кривизны R
и R2, ее
1
сферических поверхностей и от показателя преломления n материала по
отношению к окружающей среде. Эта зависимость определяется соотношением
111
FRR
1Dn
12
14
.
Радиус кривизны выпуклой поверхности считается положительным,
а вогнутой – отрицательным.
Если свет от предмета последовательно проходит через две или
более линз, изображение, даваемое первой линзой, служит предметом
(действительным или мнимым) для второй линзы, которая создает второе изображение предмета. Это второе изображение может быть как
действительным, так и мнимым. Расчет оптической
системы из двух
тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при
этом расстояние d
положить равным величине l – f
Рассчитанная по формуле линзы величина f
рого изображения и его характер (f
< 0 – мнимое изображение). Общее линейное увеличение Γ системы
f
2
от первого изображения до второй линзы следует
2
, где l – расстояние между линзами.
1
определяет положение вто-
2
> 0 – действительное изображение,
2
из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз:
Γ
= Γ1
· Γ
. Если предмет или его изображение находятся в бесконечно-
2
сти, то линейное увеличение утрачивает смысл.
Рассмотрим отдельно лучи, обычно используемые для построения
изображений. Для построения изображения точки, не лежащей на главной оптической оси, можно использовать любые два из трех указанных
ниже лучей.
1. Луч, проходящий через оптический центр, после прохождения че
-
рез линзу не изменяет направления.
Рис. 12. Луч, проходящий через оптический центр
2. Луч, параллельный главной оптической оси, после прохождения
через собирающую линзу идет через фокус, расположенный по
другую сторону линзы. После прохождения через рассеивающую
линзу, через фокус, расположенный по ту же сторону линзы, откуда падает луч, проходит продолжение луча.
Рис. 13. Луч, параллельный главной оптической оси собирающей линзы
15
Рис. 14. Луч, параллельный главной оптической оси рассеивающей линзы
Луч, идущий через «ближний» фокус (для собирающей линзы)
или направленный так, что его продолжение проходит через «дальний»
фокус (для рассеивающей линзы), после прохождения через линзу идет
параллельно главной оптической оси.
Рис. 15. Лучи в собирающей и рассеивающей линзах,
после преломления идущие параллельно главной оптической оси
В собирающей линзе параллельный пучок лучей после прохождения через линзу становится сходящимся. Если падающий пучок параллелен главной оптической оси, лучи после прохождения линзы собираются в ее главном фокусе.
Рис. 16. Падающий пучок параллелен главной оптической оси,
лучи после прохождения линзы собираются в ее главном фокусе
В рассеивающей линзе параллельный пучок лучей после прохождения
через линзу становится расходящимся.
Рис. 17. Падающий пучок параллелен главной оптической оси,
продолжения лучей после прохождения линзы собираются в ее главном фокусе
16
Основные расчетные формулы
Закон Снеллиуса: n
·sinφ
1
1
=
n2·sinφ
, где n
2
1
и n
– абсолютные пока-
2
затели преломления сред.
Предельный угол полного внутреннего отражения α
arcsin (n2/n1).
=
111
Формула тонкой линзы и вогнутого зеркала
D
.
dfF
'hf
Линейное увеличение тонкой линзы:
Г
.
hd
Оптическая сила линзы
111
FRR
1Dn
12
.
Примеры решения задач
Пример 1.
1,5·10
8
Скорость распространения света в некоторой среде равна
м/с. Определить предельный угол полного внутреннего отраже-
ния при переходе луча света из данной среды в воздух.
Решение. Запишем закон преломления для границы двух сред с абсо-
лютными показателями преломления n
и n
1
: sinα/sinβ = n2/n1. (1)
2
Поскольку по условию задачи для данного угла падения α наблюдается
явление полного внутреннего отражения, то угол преломления β равен
90°, а sin90°
1, и уравнение примет вид: sinα
=
= n2/n1
. (2)
Абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз
скорость распространения света в вакууме больше скорости распространения света в данной среде, поэтому: n
Подставим (3) в (2): sinα
Так как свет в воздухе (n
= v1/v2
2 =
то уравнение запишется так: sinα
. (4)
1) распространяется со скоростью с
= v1/c =
0,5; α = 30°.
c/v1; n2 = c/v2. (3)
1 =
=
3·10
8
м/с,
Пример 2. При падении на плоскую границу двух сред с показателями
преломления n
и n2 свет частично отражается, частично преломляется.
1
При каком угле падения α отраженный луч перпендикулярен преломленному?
Решение. По закону преломления sinα/sinβ
чи α
+ β =
arctg n2/n1.
α
=
π/2, следовательно, cosα
sinβ. Окончательно получим,
=
= n2/n1
. По условию зада-
Пример 3. Сечение призмы представляет собой равносторонний тре-
угольник. Луч проходит сквозь призму, преломляясь в точках, равностоящих от вершины. Каково наибольшее допустимое значение показателя преломления n вещества линзы?
17
Решение. Из рисунка видно, что угол β
гда sinβ
0,5. Поскольку угол падения α может
=
30°, то-
=
меняться от нуля до 90°, его синус изменяется от
нуля до 1. Таким образом, наибольшее допустимое значение показателя преломления находится
из условия 1/sinβ
n; поэтому n
=
=
2.
Пример 4. Определить смещение луча x при прохождении через стек-
лянную плоскопараллельную пластину толщиной d
падения луча α
70°. Показатель преломления стекла n
=
10 см, если угол
=
1,5.
=
Решение. Из рисунка видно, что ВС
OBsin(α–β); OB =
x
=
d
x
sin( )
d/cosβ. Таким образом,
6,65 см .
cos
=
х.
Пример 5. Расстояние от предмета до со-
бирающей линзы в 5 раз больше фокусного расстояния линзы. Во сколько раз
изображение будет меньше предмета?
Решение. Формула линзы 1/F
1/5F +
=
1/f. Тогда b
5F/4, Г =
=
0,25; раз-
меры изображения в 4 раза меньше размеров предмета.
Пример 6. Расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения
одинаковы и равны d
если сместить предмет на расстояние l
Решение. Используем формулу линзы: 1/F
Учитывая, что d
вого положения: 2/d
f, получаем: F
=
=
0,5 м. Во сколько раз увеличится изображение,
= f =
20 см по направлению к линзе?
=
1/d + 1/f.
=
d/2. Применим формулу линзы для но-
=
1/(d – l) + 1/f2; f2 = d(d – l)/(d – 2l); Г = d/(d – 2l) = 5.
Изображение увеличилось в 5 раз.
Пример 7. Расстояние между свечой и экраном L
3,75 м. Между ними по-
=
мещается собирающая линза, которая дает на экране резкое изображение
свечи при двух положениях линзы. Определить фокусное расстояние F
линзы, если расстояние между указанными положениями линзы l
Решение. Первое положение линзы 1/d
При втором положении линзы 1/d
1/d
тельно, F
1/(L – d1) = 1/(d1 – l) + 1/(L + l – d
1 +
(L2 – l2)/4L =
=
0,9 м.
1/f2 = 1/F, d2 + f2 = L, d1 – d2 =
2 +
Пример 8. Над озером взлетела красная ракета (λ
волны λ
этого света в воде? Какой цвет увидит аквалангист, плывущий под
1
водой? Показатель преломления красных лучей для воды n
Решение.
Так как λ
=
c/ν, n
c/v, то λ
=
1 =
18
1/f1 = 1/F, d1 + f1 = L.
1 +
), получим d
1
λ/n =
0,526 мкм;красный цвет.
1 = (L +
0,7 мкм). Какова длина
=
1,33.
=
0,75 м.
=
l. Тогда
l)/2. Оконча-
Задачи для самостоятельного решения
1. Лампочка находится в воде на глубине h
1 м. На поверхности во-
=
ды плавает диск так, что его центр находится над лампочкой.
Определить, при каком минимальном радиусе диска свет от лам-
почки не будет выходить из воды.
2.
Луч света падает под углом α
среды: воздух, стекло, вода. Толщина каждого слоя h
30° на поверхность трехслойной
=
5 см. Найти
=
боковое смещение луча после похождения среды.
Найти положение изображения объекта, расположенного на рас-
3.
стоянии l
3 см, задняя поверхность которой посеребрена.
h
=
Изображение предмета на светочувствительном слое фотоаппа-
4.
рата с расстояния l
стояния l
4 см от поверхности стеклянной пластины толщиной
=
1 =
6 м высотой h
2 =
10 м получилось высотой h
10,5 см. Найти фокусное расстоя-
2 =
6 см, а с рас-
1 =
ние объектива.
5. Расстояние от предмета до переднего фокуса втрое меньше, чем от
изображения до заднего фокуса. Определить, как изменится рас-
стояние между предметом и изображением, если предмет подви-
нуть на l
Высота изображения равна h
6.
1 м к линзе с фокусным расстоянием F
=
метом и изображением l
1 =
1,5 м и h
1 =
18 мм при расстоянии между пред-
40 мм при l
2 =
=
1 м.
4,5 м. Найти
2 =
фокус линзы и размер предмета.
7. Из стеклянной пластины изготовлены три линзы. Фокусное рассто-
яние линз 1 и 2, сложенных вместе, равно F', а линз 2 и 3 – F''.
Найти фокусное расстояние каждой линзы.
Две собирающие линзы с F
8.
0,2 м и F
1 =
0,15 м, составленные
2 =
вместе, дают четкое изображение на экране. Определить, как надо
передвинуть экран для получения четкого изображения предмета,
если линзы раздвинуть на l
Система из двух линз – собирающей и рассеивающей с равными
9.
10 см.
=
фокусами – освещается параллельным пучком света, который со-
бирается в некоторой точке. Если линзы поменять местами, то эта
точка смещается на l
Собирающие линзы с F
10.
янии l
0,36 м. Определить, на каком расстоянии l2 от второй лин-
=
20 см. Найти фокусы линз.
=
0,12 м и F
1 =
0,15 м находятся на рассто-
2 =
зы получится изображение предмета, если он стоит на расстоянии
0,48 м от первой линзы.
l
1 =
Стеклянная линза имеет оптическую силу D
11.
в жидкость с показателем n
с F
1 м. Найти n
=
.
2
она действует как рассеивающая
2
5 дп, при погружении
=
19
12. Плосковыпуклая стеклянная линза с зеркальной плоской стороной
имеет фокусное расстояние F
1 м. Найти фокусное расстояние
1 =
линзы, если посеребрить выпуклую сторону.
Двояковыпуклая стеклянная линза с n
13.
Найти фокус линзы, если ее поместить в среду с n
На плоскую стеклянную пластину d
14.
60°. Первый луч отражается от верхней грани, а второй от ниж-
φ
=
1,6 имеет фокус F
=
1,5.
1 =
1 см падает луч под углом
=
10 см.
=
ней и выходит обратно в воздух параллельно первому лучу. Найти
расстояние между лучами.
Расстояние от предмета до переднего фокуса в три раза меньше,
15.
чем от изображения до заднего фокуса. Определить, как изменится
расстояние между предметом и изображением, если предмет при-
близить на l
Найти фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, сде-
16.
3 м к линзе с фокусным расстоянием F
=
=
2 м.
ланное из двояковыпуклой линзы с посеребренной поверхностью
и радиусом кривизны R
Определить, на каком расстоянии d от вогнутого зеркала с фокусом
17.
F
60 см надо поставить предмет, чтобы получить мнимое изобра-
=
40 см.
=
жение с увеличением в 4 раза.
Определить, на каком расстоянии d от вогнутого зеркала с фокусом
18.
F надо поставить предмет, чтобы получить действительное изоб-
ражение с увеличением в n раз.
Определить, на каком расстоянии d от выпуклого зеркала с фоку-
19.
сом F
20 см надо поставить предмет, чтобы получить мнимое
=
изображение с уменьшением в 2 раза.
Свеча находится на расстоянии d
20.
кало с F
0,3 м находится за свечой на расстоянии x и дает дей-
=
0,8 м от стены. Вогнутое зер-
=
ствительное увеличенное изображение свечи на стене. Найти рас-
стояние x.
Собирающая линза дает действительное увеличенное в три раза
21.
изображение предмета. Найти фокус линзы, если расстояние между
изображением и линзой равно b
Найти фокусное расстояние двояковыпуклой стеклянной линзы,
22.
помещенной в воду, если ее фокус в воздухе равен F
Изображение, получаемое при помощи вогнутого зеркала, в k
23.
больше предмета. При перемещении зеркала на расстояние l
по главной оптической оси увеличение изображения равно k
0,4 м.
=
0,2 м.
=
2 раза
=
=
1 м
=
2.
Найти радиус кривизны зеркала.
На краю бассейна глубиной h
24.
углом φ
60° монету, лежащую на дне. Определить, на каком рас-
=
3 м стоит человек и наблюдает под
=
стоянии от поверхности воды видно изображение монеты.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]