Планирование и организация научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ. Учебное пособие

71

V. Обработка данных, которая проводится в следующем порядке:

1. Вычисляют построчные дисперсии

2

k

S

каждого из N опытов и

дисперсию шума

2

e

S

:

 

1

2











m

l

k

Y

ki

Y

k

S

; (3.18)

N

m

i

k

S

e

S



1

2

, (3.19)

где m – число параллельных опытов;

ki

Y

– значения функций отклика в

параллельных опытах;

k

Y

– среднее значение функции отклика:

m

l

ki

Y

k

Y





1

. (3.20)

2. Проверяют воспроизводимость эксперимента. Подобная про-

верка может быть проведена при числе параллельных опытов

 m

2,

т. е. для проведения регрессионного анализа необходимо, чтобы дисперсии воспроизводимости в каждой из серий параллельных опытов были однородны. Однородность дисперсий воспроизводимости может быть проверена с помощью критерия Фишера:

2

min

max

k

S

F 

, (3.21)

где

2

,

2

minmax kk

SS

– наибольшее и наименьшее значения построчных дис-

персий.

Полученное значение критерия Фишера сравнивают с табличным

(прил. 1) для 5%-ного уровня значимости и числа степеней свободы

dN 

1



и

 

1

2

 mN



. Если рассчитанное значение критерия Фишера

меньше табличного значения, то гипотеза о равенстве дисперсий воспроизводимости принимается. Также воспроизводимость эксперимента возможно проверить с помощью критерия Кохрена. Статистика G этого критерия в данном случае имеет вид





N

k

S

G

1

2

max

, (3.22)

где

2

max

S

– наибольшее значение построчных дисперсий.

72

Полученное значение критерия Кохрена сравнивается с таблич-

ным (прил. 2) для 5%-ного уровня значимости и числа степеней свободы V1 = m – 1, V2 = N. Если рассчитанное значение критерия Кохрена меньше табличного значения, то гипотеза о равенстве дисперсий воспроизводимости принимается.

3. Используя метод наименьших квадратов, вычисляют коэффи-

циенты уравнения регрессии при кодированных значениях факторов:

– для однофакторного плана:

n

k

ki

Y

b

2

1

0





;

2

1





n

k

Y

ki

x

i

b

; (3.23)

– для планов ПФЭ 2n, ДФЭ 2

n–p

:

N

k

Y

b





1

0

;

N

g

k

Y

ik

x

i

b





1

;

N

k

Y

jk

x

ik

x

ij

b





1

;

ni ,...,2,1

;

1 ij

, (3.24)

где n – число факторов; N– число опытов;

ik

x

,

jk

x

– значения факторов

из строк матрицы спектра;

– для симплекс-планов:











n

i

x

i

bbb

1

00

;

)1(

1

0











n

n g

k

Y

b

;





)1(

1 1

2

Г













n

n k

k

Y

i

x

ik

x

n

i

b

, (3.25)

где

i

x

– центрированная переменная (для центрированных планов

0

i

x

):

N

k

ik

i

x





1

; (3.26)

n

Г

– коэффициент, значение которого приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значение коэффициента

n

Г

n

Тип плана

a

x

б

x

a

x



б

x



2

1,414

1,183

1,225

1,366 3 1,732

1,333

1,414

1,667

73

4. Вычисляют коэффициенты уравнения регрессии при натураль-

ных значениях факторов:

i

h

i

b

i

B 

;

j

h

i

h

ij

b

ij

B 

;





2 1

0

00

i

X

i

BbB

. (3.27)

5. Вычисляют дисперсии оценок коэффициентов регрессии: – для однофакторного плана:

nm

e

S

B

S

2

0



;

m

e

S

Bi

S

2



; (3.28)

– для планов ПФЭ 2n:

m

S

n

e

B

2

0



;

ni ,...,2,1,0

; (3.29)

– для планов ДФЭ 2

n–p

:

m

рn

e

S

B

S





2

0

;

12,...,1,0 





pn

i

; (3.30)

– для симплекс-планов:

 

 



 











 



n

i

x

n

nm

e

S

n

i

bi

S

i

x

B

S

B

S

1

2

Г1

)1(

2

1

22

)(

2

/

2

0

; (3.31)

)1(

2

0

/





nm

S

e

B

;

)1(

22

2







nm

e

S

n

Bi

S

;

ni ,...,2,1

. (3.32)

6. Проверяют значимость коэффициентов регрессии (проводится

по t-распределению Стьюдента):

Bj

S

j

B

j

t 

. (3.33)

Затем необходимо сравнить вычисленное значение с табличным

критическим значением, найденным по таблицам t-распределения Стьюдента (прил. 3) при уровне значимости критерия (как правило, 5 %) и числе степеней свободы

 

1mN

. Если вычисленное значение крите-

рия больше табличного, то гипотеза значимости коэффициентов регрессии принимается.

7. Составляют уравнения регрессии со значениями факторов и коэф-

фициентов регрессии в кодированных и натуральных единицах, подставив в уравнения математической модели значимые коэффициенты регрессии.

8. Рассчитывают значения отклика

g

Y



, в точках спектра плана

с помощью уравнения регрессии. Необходимо провести проверку: значения отклика, рассчитанные по уравнению регрессии в кодированных

74

единицах, сравнить со значениями отклика, рассчитанными по уравнению регрессии в натуральных единицах. Они должны совпадать.

9. Определяют доверительные интервалы коэффициентов уравне-

ния регрессии:

 

2/

)

2/(



t

i

B

S

i

B

i

Bt

i

B

S

i

B 

, (3.34)

где  – уровень значимости (наиболее часто в расчетах используется



= 0,05).

10. Производят анализ точности предсказания регрессионной мо-

дели. Для этого необходимо вычислить выборочную дисперсию, оценивающую степень рассеяния предсказанных значений отклика относительно среднего значения функции отклика в параллельных опытах:

dN

d

j

bN

N

k

Y

dN

N

k

YY

S

k

gg

























 





 



)

2

1

_

(

1

2

_

2

, (3.35)

где

g

Y



– предсказанные по уравнению регрессии значения отклика.

11. Оценивают адекватность модели с помощью F-критерия Фишера:

2

e

S

mS

F 

. (3.36)

Полученное численное значение сравнивается с табличным кри-

тическим при уровне значимости 5 % и числах степеней свободы

dN 

1



и

 

1

2

 mN



.

Если вычисленное значение F-критерия меньше табличного, то

модель считается адекватной и расчет продолжается.

12. Проверяют работоспособность регрессионной модели:

 





 

























 





 



N

k

e

SmNy

k

ym

e

S

N

g

dNy

k

ym

N

k

e

SmNY

k

Ym

e

SmNSdNm

R

1

2

)1(

2

)(

2

1

)(

2

)((

1

2

1

2

1

2

1

2

, (3.37)

где Y– среднее значение отклика без учета влияния факторов на от-

клик:

N

k

Y





1

. (3.38)

Модель считается работоспособной, если значение коэффициента

детерминации R

2

≥ 0,75.

75

3.3. Планы второго порядка

Применение планов второго порядка обосновано в случае невоз-

можности получения адекватной модели с помощью планов первого порядка. То есть если исследуемый объект характеризуется значительной нелинейностью. Планы второго порядка имеют более сложную структуру по сравнению с планами первого порядка, требуют проведения большего числа опытов, а факторы варьируются минимум на трех уровнях. Все планы второго порядка разделены на симметричные и несимметричные (рис. 3.16). К первой группе относят планы, для которых выполняются условия:







N

k

ik

x

1

2

;







N

k

jkik

xx

1

22

;

i ≠ j; (3.39)







N

k

ik

x

1

4

;

    

   







N

k

N

k

N

k

N

k

N

fji

k

fkjkikjkikjkikikik

xxxxxxxxx

1 1 1 1 1

23

0,

(3.40)

где

i



– константы.

Для несимметричных планов условия (3.39) и (3.40) не соблюдаются.

Рис. 3.16. Классификация планов второго порядка

Симметричные

Ненасыщенные

Насыщенные

Симплекс-

суммируемые

Точные

D-оптимальные

Рехтшафнера

Композиционные

Хартли

Композиционные

Вестлейка

Несимметричные

квази-D-оптимальные

Центрально-

композиционные

Композиционные

типа Вп

Бокса - Бенкина

ПФЭ 3

n

Несимметричные

Планы

второго порядка

Симплекс-суммируемые

ротатабельные

ОЦК

Симметричные

квази-D-оптимальные

РЦКП

76

Среди симметричных планов можно выделить планы ротатабель-

ные и неротатабельные. План является ротатабельным в случае, если точки спектра плана будут лежать не менее чем на двух сферах (в общем случае, для k-мерного пространства – на двух гиперсферах). Несимметричные планы в зависимости от числа необходимых опытов разделяют на насыщенные и ненасыщенные.

Областью планирования для планов второго порядка может яв-

ляться гиперкуб и единичный гипершар. Также она может быть естественной, если осуществляется достройка планов первого порядка, как это происходит в случае ортогональных (ОЦКП) и ротатабельных центрально-композиционных планов (РЦКП).

3.3.1. Центрально-композиционные планы

Центрально-композиционные планы (ЦКП) состоят из трех ча-

стей. Первая часть называется «ядро» и представляет собой план первого порядка – ПФЭ 2n или ДФЭ 2

n–p

. Эта часть плана должна обеспечи-

вать раздельную оценку коэффициентов регрессии, в связи с чем накладывается ограничение на степень дробности ДФЭ. Например, при n ≤ 4 может применяться только ПФЭ 2n; если 5 ≤ n ≤ 7, то кроме ПФЭ 2n можно использовать и ДФЭ 2

n–1

, а для n > 7 допустим также

и ДФЭ 2

n–2

. Вторая часть ЦКП называется «звездные точки», она преду-

сматривает наличие в спектре плана дополнительных точек, количество которых равно 2n. Они располагаются на координатных осях, на расстоянии ±α от центра плана. Третья часть ЦКП называется «центральные точки» и предусматривает проведение опытов в центре плана. Количество таких опытов N ≥ 1. Симметричный ЦКП приведен в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Симметричный ЦКП

Состав ЦКП

k

Факторы

Число

точек

X1

X2

...

Xn

1 2 3 4 5 6 7

Ядро плана

1

–1

...

–1

2

n–p

p = 0;1;2

2

+1

–1

...

–1

3

–1

+1

...

–1

4

+1

...

–1

...

2

n–p

+1

...

+1

77

Окончание табл. 3.4

1 2 3 4 5 6 7

Звездные

точки

2

n–p

+ 1

–α 0 ...

0

2n

2

n–p

+ 2

+α 0 ...

0

2

n–p

+ 3

0

–α

...

0

2

n–p

+ 4

0

+α

...

0

...

2

n–p

+ 2n – 1

0 0 ...

–α

2

n–p

+ 2n

0 0 ...

+α

Центральные

точки

2

n–p

+ 2 n + 1

0 0 ...

0

N0

...

2

n–p

+ 2n + N0

0 0 ...

0

Общее количество опытов в плане равно N = 2

n–p

+ 2n + N0. Значе-

ния α и N0 принимаются исходя из принятых критериев оптимальности. В связи с этим различают ортогональные и ротатабельные ЦКП, их соответственно обозначают ОЦКП и РЦКП.

ОЦКП строится с учетом критерия ортогональности, т. е. обеспе-

чивая попарную ортогональность столбцов матрицы, отвечающих свободному члену B0 и квадратичным коэффициентам Bij, i = 1,2,...,n, а также столбцов, отвечающих квадратичным членам между собой.

С этой целью ищут регрессионную модель измененного вида:

)(

1

22

1

1 11

/

0







 



n

i

iiijj

n

i

iij

n

i

N

i

ii

xxBxxBxBBY

; (3.41)







n

i

iij

xBBB

1

2

0

/

0

;

Nx

N

x

pn

N

k

iki

/)22(

1

2

1

22











;

122 



nN

pn

. (3.42)

В (3.42) используются центрированные переменные α, значение

которых можно определить с помощью формулы

1

2)1 22(

2









pn

n

pnpn



. (3.43)

РЦКП строится исходя из требования критерия ротатабельности,

для соблюдения которого находится значение α по формуле

4/)(

2

pn





. (3.44)

Конкретные числовые значения α для ОЦКП и РЦКП при n = 2–8

сведены в табл. 3.5.

78

Таблица 3.5

Значения коэффициента α и число опытов N

для ортогональных и ротатабельных планов

Ядро плана

Тип плана

ортогональный

ротатабельный

α N α

N

ПФЭ 22

1,000

9

1,414

13

ПФЭ 23

1,215

15

1,682

20

ПФЭ 24

1,414

25

2,000

31

ДФЭ 2

5–1

1,547

27

2,000

32

ДФЭ 26

1,761

77

2,828

91

ДФЭ 2

6–1

1,724

45

2,378

53

а) б)

Рис. 3.17. Матрицы планирования для планов:

а – ОЦКП; б – РЦКП

а) б)

Рис. 3.18. Расположение точек спектра плана при n = 2:

а – ОЦКП; б – РЦКП

Таким образом можно построить матрицы планирования для пла-

нов ОЦКП и РЦКП при n = 2 (рис. 3.17) и их графическое представление (рис. 3.18).

РЦКП

№ опыта

Х

1

Х

2

Структура

1

–1

Ядро плана

ПФЭ 22

2 1 –1 3 –1 1 4 1 1

5

1,414

0

Количество

звездных

точек

2n = 2·2 = 4

6

1,414 0 7

0

1,414

8

0

1,414

9 0 0

Центральные

точки

10

0 0 11

0 0 12

0 0 13

0

ОЦКП

№ опыта

Х

1

Х

2

Структура

1

–1

Ядро плана

ПФЭ 22

2

1

–1 3 –1 1 4

1 1 5

1

0

Количество

звездных

точек

2n = 2·2 = 4

6

1 0 7

0

1

8

0

1

9

0

Центральные

точки

Х1 Х1 Х2 Х

2

79

3.3.2. Симплекс-суммируемые ротатабельные планы

Эти планы строятся на базе насыщенных планов первого порядка

(симплекс-планов). Основная идея их получения состоит в следующем. Задается базовый правильный симплексный план для n факторов с матрицей спектра Х(1). Для получения второй конфигурации Х(2) исходной матрицы необходимо выполнить попарное сложение элементов исходной матрицы Х(1):

111

)1(









Х

;

0

2

0

2

0

000

002

020

)1(1

)1(1)1(1)1(1

)2(





























Х

;

111

)1()1(1)1()1(1)1()1(1

)3(



















Х

;

0000)4( Х

.

Матрица Х(2) получена всевозможными сочетаниями сумм эле-

ментов матрицы Х(1). Аналогичным образом третью конфигурацию Х(3) можно найти сложением элементов исходной матрицы Х(1) по три.

Все элементы четвертой конфигурации матрицы являются «центральными точками» и равны 0, так как исходный симплекс-план является правильным. Нетрудно убедиться в том, что произвольный n-мерный симплекс порождает (n + 1) конфигураций, включая исходный симплекс. Если предположить, что каждая из этих конфигураций встречается в плане только раз, то в целом матрица симплекс-суммируемого плана в табличной форме примет вид, показанный на рис. 3.19.

Рис. 3.19. Матрица симплекс-суммируемого плана

k

Х

1

X2

X3

k

Х

1

X2

X3 1 –1

–1

–1 9 +2 0 +2

2

+1

–1

+1

10 0 +2

0

3

–1

+1

11

–1

+1 4 +1

+1

–1

12

+2

–1

5 0 –2 0 13

+1

6

–2 0 0

14

–1

+1

–1 7 0 0 0

15 0 0

0

8 0 0

–2

80

Рис. 3.20. Расположение

точек симплекс-

суммируемого плана

Расположение точек спектра симплекс-суммируемого плана практически совпадает с расположением РЦКП, но имеет на две точки меньше (рис. 3.20). В общем виде можно отобразить матрицу симплекссуммируемого ротатабельного плана следующим образом:

)1(

)(

1,1

1









nXa

Х

knn

n

nkn

n

. (3.45)

Для удобства расчетов вводятся масштабные множители an и чис-

ло повторений конфигураций ks в плане. Варьируя значениями рассматриваемых коэффициентов, можно получить бесконечное множество планов. Принято различать следующие типы планов:

– симметризованные симплекс-суммируемые планы содержат не более одной S-конфигурации. Рассматриваемые планы подразделяются на стандартные, имеющие в своем составе все конфигурации с ненулевыми коэффициентами, и сокращенные, в которых коэффициенты могут быть равными нулю и, соответственно, какая-либо конфигурация отсутствовать;

– нессиметризованные симплекс-суммируемые планы, в которых рассмотренные ранее требования не соблюдаются.

В табл. 3.6 приведены данные, необходимые для построения раз-

личных симплекс-суммируемых планов при n = 2–4.

Таблица 3.6

Данные для построения симплекс-суммируемых планов

n

Х

1

Х

2

Х

3

Х

4

Тип

an

N, N0, Np

2

–0,866

+0,866

0

–0,5 –0,5

+1

– – Симметризованный

a

n1

= 1

a

n2

= 1

9, 3, 6

4

–0,791

+0,791

0 0 0

–0,456 –0,456

+0,913

0 0

–0,323 –0,323 –0,323

+0,968

0

–0,25 –0,25 –0,25 –0,25

+1

Симметризованный

a

n1

= 1

a

n2

= 0,76

a

n3

= 0,76

a

n4

= 1

39, 9, 30

Несимметризованный

a

n11

= 0,997

a

n12

= –0,765

a

n21

= –0,816

25, 5, 20

Несимметризованный

a

n11

= 0,851

a

n31

= –0,775

a

n22

= 0,6

57, 8, 49

Х

1

Х

2