Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Планирование и организация научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

а) б)

Рис. 3.6. Расположение точек спектра плана

однофакторного эксперимента:

а – n = 2; б – n = 3

Матрицы спектров плана обладают свойствами симметрии, нор-

мировки и ортогональности.

Свойство симметрии заключается в том, что все уровни факторов,

т. е. точки плана, расположены симметрично относительно центра плана. Таким образом, сумма элементов любого столбца матрицы спектра плана равна нулю:

;,...,2,1,0 ;0







nNX







, (3.5)

где N – общее количество строк матрицы.

Свойство нормировки заключается в том, что сумма квадратов

любого столбца равна количеству строк:

;,...,2,1 ;2

niX







NnХ







(3.6)

Свойство ортогональности заключается в том, что сумма произве-

дений любых двух столбцов равна нулю:

 

.,...,1,0 ; ;0

njjiXX







(3.7)

Однофакторный эксперимент применяется в настоящее время

весьма редко, что связано с высокой трудоемкостью его реализации, а иногда и невозможностью при большом числе факторов.

3.2.2. Полный факторный эксперимент

При планировании полного факторного эксперимента число

уровней для каждого из факторов не может быть меньше двух. Если в процессе исследования каждый фактор имеет два уровня (нижний и верхний), то такой эксперимент называется двухуровневым. Также возможна реализация трехуровневых экспериментов, когда каждый фактор изменяется на трех уровнях (нижнем, верхнем, основном). Полный факторный эксперимент позволяет получить все возможнее комбинации n факторов для всех их уровней. Для двухуровневого эксперимента общее число комбинаций и, соответственно, суммарное количество опытов в эксперименте равно N = 2n. Полный факторный эксперимент обозначают ПФЭ 2n.

Для записи матрицы спектра плана ПФЭ 2n используют следую-

щее правило: знаки в столбце при первом факторе изменяются поочередно, а в каждом последующем столбце частота изменения знака в два раза меньше, для последующих столбцов соответственно в четыре и восемь раз меньше. Причем на первой строке матрицы все факторы должны находиться на нижнем уровне, а на последней – на верхнем. Матрица спектра плана ПФЭ 22 в матричном и табличном виде для нормированных факторов X1 и X2 показана на рис. 3.7, а план – на рис. 3.8.

а) б)

Рис. 3.7. Матрица спектра плана ПФЭ 22:

а – в матричной форме; б – в табличной форме

Рис. 3.8. План ПФЭ 2

–1

Y2 3 +1

–1

Точки спектра плана ПФЭ 2n располагаются в вершинах квадрата

или куба (рис. 3.9) в зависимости от принятого числа факторов.

а) б)

Рис. 3.9. Расположение точек спектра плана:

а – ПФЭ 22; б – ПФЭ 23

Для матриц планов типа ПФЭ 2n и их графического изображения справедливы рассмотренные ранее свойства (3.5)–(3.7). ПФЭ позволяет оценить эффект парного взаимодействия различных факторов. Для получения его оценки пользуются правилом перемножения столбцов.

Они не могут участвовать в эксперименте, а только позволяют осуществить статистическую обработку результатов эксперимента и уточнить регрессионную модель, так как в нее вводятся новые слагаемые, например для плана ПФЭ 22 вводится слагаемое B12X1X2. Произведение факторов X1X2 называется эффектом взаимодействия факторов, а уточненная регрессионная модель имеет вид

211222110

ХXBXBXBBY 

(3.8)

Уравнение регрессии, составленное по результатам эксперимента,

проведенного по плану ПФЭ23, с учетом взаимодействий факторов будет иметь вид

32112332233113

33211222110

XХXBХXBХXB

XBХXBXBXBBY





(3.9)

Матрицы спектра планов ПФЭ 22 и ПФЭ 23 с учетом парного взаимодействия факторов представлены на рис. 3.10.

а) б)

Рис. 3.10. Матрица спектра плана

с учетом парного взаимодействия факторов для плана:

а – ПФЭ 22; б – ПФЭ 23

Наряду с имеющимися преимуществами ПФЭ 2n обладает одним существенным недостатком – при увеличении числа факторов n резко возрастает объем опытов. Чаще всего ПФЭ используют при n < 5.

3.2.3. Дробный факторный эксперимент

Для экономного планирования экспериментов, при которых число

факторов n > 5, были разработаны дробные факторные эксперименты. Они так же, как и ПФЭ, позволяют учитывать парное взаимодействие факторов, однако при меньшем количестве опытов. Это достигается за счет первоначального анализа объекта исследований, выявления информации о существенных факторах и эффектах парного взаимодействия между факторами.

Дробный факторный эксперимент принято обозначать ДФЭ 2

n–p

где n характеризует число факторов, а p – так называемую степень дробности ДФЭ. Экономичность плана достигается главным образом за счет рассмотрения только влияния существенных факторов и абстрагирования от остальных.

Планы ДФЭ представляют собой отдельную часть планов ПФЭ, называемые репликами. Реплики могут иметь различную степень дробности. Например, имеются факторы X1, X2, X3, если оценивать их совместное воздействие на объект, то получим X1X2X3, тогда необходимо реализовать для ДФЭ 2

3–1

четыре опыта. Это составляет половину опы-

X1X2

X1X3

X2X3

X1X2

–1

X1X2

–1

тов плана ПФЭ3. То есть ДФЭ 2

3–1

это ½ реплика ПФЭ

. Вторую полу-

реплику можно получить при представлении X3 = X1X2. Таким образом, ДФЭ 2

n–1

– ½ реплика, ДФЭ 2

n–2

– ¼ реплика, ДФЭ 2

n–3

– ⅛ реплика

плана ПФЭ 2n и т. д.

В случае, если список существенных переменных содержит (d + 1) элемент, то для того чтобы оценить раздельно коэффициенты регрессии при каждой из них, необходимо выполнение условия

N = 2

n–p

≥ d + 1. (3.10)

Данное условие позволяет найти минимально допустимую сте-

пень дробности p, чем определяется общее число опытов ДФЭ.

Для практического применения следует придерживаться следующей методики построения ДФЭ, состоящей из трех этапов:

1. Из общего числа факторов Х1, Х2,..., Хn выбирается k ведущих, где

k = n – p. Для выбранных факторов записывается спектр плана ПФЭ 2k.

2. Для остальных n – k = p факторов формируются столбцы, соответствующие произведению столбцов ведущих факторов – Хi и Хj, которое называется генерирующим соотношением. Вектор-столбцы взаимодействий fi называются базисными функциями. Генерирующие соотношения не должны дублировать произведения факторов, принятых за существенные. В общем случае для получения генерирующих соотношений произведения факторов могут браться со знаком плюс или минус.

3. Проверка пригодности найденного спектра плана на отсутствие полностью совпадающих или полностью противоположных столбцов. Если же такие имеются, план необходимо построить заново, выбрав новый набор существенных факторов и генерирующие соотношения.

Например, для списка существенных факторов Х0, Х1, Х2, Х3 общее количество элементов согласно (3.10) равно 3 + 1 = 4. Тогда можно попробовать использовать, например, ДФЭ 2

3–1

, подразумевающий прове-

дение четырех опытов. Выберем в качестве ведущих факторы Х1 и Х2, тогда генерирующее соотношение можно представить в виде

= Х

1Х2

или Х3 = –Х

1Х2

. Как видно из рис. 3.11, матрица базисных

функций (спектры плана показаны в рамках) не имеет полностью одинаковых или полностью противоположных столбцов и в первом, и во втором варианте. Они могут быть использованы в дальнейшем для получения регрессионной модели.

Первый вариант

Второй вариант

Список существенных

переменных

Список существенных

переменных

X3 1 +1

–1

+1 1 +1

–1

–1 2 +1

–1

–1 3 +1

–1

+1 4 +1

–1

Рис. 3.11. Базисные функции плана ДФЭ 2

3-1

Точки спектра ДФЭ 2

n–p

лежат в вершинах куба, образованного точками спектра ПФЭ 2n. Геометрически они образуют правильный тетраэдр (рис. 3.12). Крестиками и кружками показаны на рисунке два

варианта плана ДФЭ 2

3–1

. Соответственно,

совокупность всех точек образуют план ПФЭ 23.

Рассмотрим другой список существен-

ных факторов: Х0, Х1, Х2, Х3, Х4, Х1Х2, Х2Х3,

Х2Х

. Общее количество элементов согласно

(3.11) равно 7 + 1 = 8. Можно попробовать

использовать план ДФЭ 2

4–1

и реализовать

восемь опытов. В качестве ведущих примем

факторы Х1, Х2, Х3 и генерирующее соотношение для фактора

= Х

1Х2Х3

. Результаты анализа полученной матрицы спектра плана

(рис. 3.13) показывает отсутствие полностью одинаковых и полностью противоположных столбцов, что допускает ее использование.

Для упрощения способа проверки пригодности различных планов ДФЭ используют определяющие контрасты (ОК) и обобщенный определяющий контраст (ООК). ОК можно получить перемножением элементов, находящихся в правой и левой частях генерирующего соотношения. Для каждого плана ДФЭ количество ОК равно числу генерирую-

Рис. 3.12. Расположение

точек спектра плана ДФЭ 2

3-1

= Х

1Х2Х3

1 1 –1

–1

2 1 1

–1

3 1 –1 1 –1

4 1 1 1 –1

–1

5 1 –1

–1 1 1

6 1 1

–1 1 –1

7 1 –1 1 1

–1

8 1 1 1 1

Рис. 3.13. Матрица спектра

плана ДФЭ 2

4–1

Х3 Х2 Х

щих соотношений. Для рассматриваемого плана ДФЭ 2

4–1

ОК имеет вид

1 = Х

1Х2Х3Х4

. ООК получают почленным перемножением всех имею-

щихся ОК между собой с учетом правила

XXХ 

122

. (3.11)

Если имеется всего один ОК, то он является также ООК. Для рас-

сматриваемого плана ДФЭ 2

4–1

ООК имеет вид: 1 = Х

1Х2Х3Х4

Введение ОК и ООК необходимо для реализации системы смеши-

вания факторов. Для получения предварительных вариантов необходимо каждый существенный фактор умножить на ООК, учитывая (3.11). Если полученные равенства включают два и более существенных фактора, план необходимо переработать, если нет, то он пригоден для дальнейшего использования. Для рассматриваемого плана ДФЭ 2

4–1

си-

стема смешивания имеет вид X0 = Х

1Х2Х3Х4

; Х1 = Х

2Х3Х4

; Х2 = Х

1Х3Х4

;

= Х

1Х2Х4

; Х4 = Х

1Х2Х3

. Двух и более совпадений нет, следовательно

любое из равенств может быть использовано.

3.2.4. Симплекс-план

Симплекс-планы являются насыщенными и позволяют для n факторов получить спектр плана с (n + 1) точкой. Они являются предельно возможным минимальным случаем ДФЭ. Совокупность точек спектра плана образует в пространстве так называемые n-мерные симплексы. При n = 1 это прямая линия; при n = 2 это треугольник; при n = 3 это тетраэдр (рис. 3.14).

Симплексы вне зависимости от размерности можно разделить на несколько типов. Например, симплекс является центрированным, если для него справедливо соотношение

,1,2,..., ;0

1 1

n k

x 



 

(3.12)

Рис. 3.14. Симплексы

различных размерностей:

а – n = 1; б – n = 2; в – n = 3

а) б)

в)

т. е. сумма элементов любого столбца равна 0. Если условие (3.12) не выполняется, симплекс относится к нецентрированным. Если расстояние между любыми двумя вершинами симплекса является постоянной величиной, его относят к правильным симплексам, в противном случае – к неправильным. Существуют различные способы задания координат вершин симплексов, определяющие его тип. Спектр плана для правильного нецентрированного симплекс-плана имеет вид

1.../21/21/21

...............

/21.../211/21

/21.../21/211

1...111











nnn

ррр

, (3.13)

где

2/)11( nnn

р 

Для n = 2–8 значения могут быть найдены с помощью табл. 3.1.

Таблица 3.1

Численные значения коэффициентов p

n 2 3 4 5 6 7

0,966

0,943

0,926

0,912

0,901

0,892

0,886

Рассмотренный симплекс можно привести к центрированному, не

изменяя его ориентации. Для этого необходимо из каждого элемента матрицы Ха вычесть величину

)/21))(1/()1((=

pnnК 

, а затем полу-

ченные значения разделить на величину L = 1 – K. Полученный таким образом план Х

будет вписанным.

Спектр плана для правильного центрированного симплекс-плана имеет вид





















...000

...............

...3300

...3220

...321

, (3.14)

где

)1(/)1(  iinn



; i ≤ n.

Численные значения величины i,



в зависимости от i и n приве-

дены в табл. 3.2.

Рис. 3.15. Примеры симплексов

различных типов:

1–3 – симплекс Ха;

4–6 – симплекс Х

;

7–9 – симплекс Хб;

7, 10, 11 – симплекс Х

Таблица 3.2

Значения параметров

к расчету правильного центрированного симплекс-плана

1 2 3 4 5 6 7

1 1

0,866 1 3

0,816

0,943 1 4 0,791

0,913

0,968 1 5

0,775

0,894

0,949

0,98 1

0,764

0,882

0,935

0,966

0,986 1

0,756

0,873

0,926

0,966

0,976

0,99

1 8

0,75

0,866

0,919

0,949

0,968

0,982

0,992

Симплекс, соответствующий плану Хб, не является симплексом

максимального размера. Для получения максимального нецентрированного симплекса Х

необходимо каждый элемент матрицы Хб разде-

лить на μ1 и прибавить к полученному

)1/(21  ii

, (3.15)

где i – номер вектор столбца или номер факторов.

Матрицы спектров симплекс-планов при n = 2, рассмотренных ранее, с учетом значений



, представлены ниже:

1464,0

464,01







Х

;

1268,0

268,01

732,0732,0







Х

; (3.16)

1 0

5,0 866,0







Х

;

732,01







Х

. (3.17)

Графически рассматриваемые симплек-

сы представлены на рис. 3.15. Необходимо отметить, что матрица спектра плана представлена в кодированных единицах, а эксперимент проводится в натуральных, поэтому необходимо перейти от кодированных относительных величин к натуральным. Последовательность перехода заключается в следующем:

– определяются основной уровень фактора и интервал варьирования;

– интервал варьирования умножается на значение кодированной единицы, и полученное значение складывается (вычитается) с основным уровнем.

Симплекс-планы нашли широкое применение на предварительных этапах исследований и при поиске глобальных или локальных экстремумов.

3.2.5. Реализация экспериментальных планов первого порядка

Реализация планов первого порядка предусматривает выполнение

следующих действий:

I. Выбор факторов и определение их уровней. Этим определяется

центр плана. В значительной степени выбор центра плана зависит от цели эксперимента. При прогнозировании значений центр плана совмещается с центром области действия. Для поиска экстремума функции центр плана необходимо разместить в точке, где по результатам предыдущих измерений отклик был максимальным.

II. Выбор шага варьирования h для каждого фактора. На выбор

этого параметра влияет большое количество факторов, среди которых интенсивность помех, степень нелинейности функции отклика, вид решаемой задачи и т. д. Рекомендуется в качестве первоначального значения h принимать величину, равную 0,3–0,5 диапазона измерения фактора Хi.

III. Построение плана эксперимента и определение количества

дублирующих опытов. Построение планов осуществляется по методике, рассмотренной в предыдущих разделах, а число дублирующих опытов принимают в пределах m = 2–4. Общее число опытов при этом равно Nm.

IV. Определение порядка проведения опытов. Как правило, экспе-

римент проводится серией отдельных опытов, с количеством повторений, равным m. Отдельные опыты в каждой серии проводятся в случайном порядке. В результате проведения экспериментов должны появиться значения откликов Yi, необходимые для регрессионного анализа.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]