Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории управления. Учебное пособие
.pdf
7p2−=
;
1p3−=
0213111p
23
=+++ pp
1a0=
0a0>
11a1=
31
a2=
21
a2=
;06720
31
1
2111
21
21110
0311
0
2111
0
0
0
31
20
31
3
>=⋅=
==∆
aa
aa
aa
;0320
311
2111
20
31
2
>===∆
aa
aa
;011
11
>==∆ a
;
Необходимое условие устойчивости системы автоматического
управления: все корни характеристического уравнения должны быть
левыми (располагаться во второй или третьей четвертях координатной
плоскости). В данном случае необходимое условие выполняется.
Исследование устойчивости системы с помощью критерия
Гурвица:
Составим определители Гурвица:
;
;
;
;
;
;
Все определители Гурвица больше нуля, при этом предполагается,
что разомкнутая система устойчива.
Пример 2
Определить устойчивость системы, представленной на рис. 6.12 с
помощью критериев Найквиста и Михайлова.
71
Рис. 6.12. Структурная схема
1918
14
)16)(13(16713
2
)(
2
1
++
=
++
=
+
⋅
+
=
pp
pp
14
pp
p
W
0
1918
2
=
++ pp
ω
Решение
.
Находим корни характеристического уравнения
:
= -1/6;
p
1
p
= -1/3;
2
Оба корня лежат по левую сторону от мнимой оси, значит
разомкнутая система устойчива.
Критерий Найквиста
Строим АФЧХ разомкнутой системы в Matlab (рис. 6.13).
Рис. 6.13. АФЧХ
Вывод: чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении
от
нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1; j0).
72
На рис. 6.13 видно, что система не охватывает точку (-1; j0), значит,
;
WW
W
)p
(
W
рос
р
з
⋅
+
=
1
13718
14
19
18
28
1
19
18
14
2
2
2
++
=
++
+
+
+
=
pp
p
p
p
pp
)p(W
з
;013718
2
=++ pp
ω
jp =
)Im()Re()(
ωωω
jjjH +=
)(ωjH
система является устойчивой.
Критерий Михайлова
Берем характеристическое уравнение системы:
;
;
.
На комплексной плоскости график мнимой части (Im) от реальной
(Re) вектора
опишет при изменении ω от 0 до ∞ кривую –
годограф Михайлова (рис. 6.14).
Рис. 6.14. Годограф Михайлова
73
Вывод: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой,
ω
)j(D
ω
+
2
p
n
+
2
p
n
54
3210
apapapapapaD +++++=
12345
15132 ======
543210
a6;a;a;a;a;a
1p6p5pp3p2D +++++=
2345
iVU +=+++
++= )(
a)(ja)(ja
)(ja)(j
a)(ja)D(j
5
1
4
2
3
3
2
4
1
5
0
ωωω
ωωωω
4
1
2
35
aa-a)(
ωωω
+=U
ωωωω
)
aa-(a)V(
4
0
2
24
+=
42
351)(
ωωω
+−=U
ωωωωωωω
62)2-(6)V(
3542
+−=+=
необходимо и достаточно, чтобы при изменении
от 0 до ∞ вектор
Михайлова
повернулся на угол
.
Полученный график соответствует устойчивому состоянию
системы (рис. 6.7), так как при изменении w от 0 до ∞ вектор
Михайлова повернулся на угол
. В данном случае n=2
(порядок характеристического уравнения).
Пример 3
Исследовать устойчивость системы с помощью критерия
Михайлова и критерия Рауса–Гурвица, если характеристический
полином системы имеет вид:
,
если
.
Решение
Подставляем значения из условия задачи, получаем:
;
– вещественная часть функции Михайлова;
– мнимая часть функции Михайлова;
;
.
74
Годограф Михайлова, построенный в Matlab, представлен на рис.
1p6p5pp3
p2D(p) +++++
=
2345
;459
15300
06120
01530
00612
00153
00
00
00
00
00
531
420
531
420
531
5
−===∆
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
;459
6120
1530
0612
0153
0
0
0
0
420
531
420
531
4
−===∆
aaa
aaa
aaa
aaa
6.15.
Рис. 6.15. Годограф Михайлова
Вывод: полученный график (рис. 6.15) соответствует
неустойчивому состоянию системы (рис. 6.7).
Критерий Рауса-Гурвица
Данный критерий выражается как:
75
;83
530
612
153
0
31
420
531
3
−===∆
aa
aaa
aaa
;7
12
53
20
31
2
−===∆
aa
aa
где a
>0.
1
Вывод: нет необходимости вычислять минор всех диагональных
элементов. Убедившись, что один из определителей меньше нуля,
можно полагать, что система неустойчива.
Задача (для самостоятельного решения).
Колебательное звено охвачено обратной отрицательной обратной
связью через усилительное звено. Параметры колебательного звена:
=2; ξ=0,5; К
T
1
=1. Параметры усилительного звена: К2=5. Исследовать
1
устойчивость системы с помощью критериев Найквиста и Михайлова.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение переходной функции. Как ее обозначают?
2. Что называют весовой функцией системы (звена)?
3. Что называют временными характеристиками?
4. Что определяют частотные характеристики?
5. Расшифруйте и дайте определение АЧХ, АФХ, ЛАХ,ЛФХ.
6. Дайте определение устойчивости.
7. Перечислите виды критериев устойчивости.
8. Дайте определение каждому виду критериев устойчивости.
76
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2,x(t) =
;e1y(t)
t2
0−=
,e5x(t)t−=
;
))t
exp((
y(t) 2
14
−−
=
),
exp(-0,5t)-
2(1
x(t) =
;
t1
y(t) 0=
t,
2x(t)
+=
;)texp(y(t) −= 5
,)
t(11,0x(t) ⋅=
.tt)(-exp(-t)exp–y(t) 1021691 +=
4x(t);
dx
dx(t)
82y(t)
dt
dy(t)
0,5
dt
)t(yd
,5
2
+=++
2
0
2x(t);
dt
)t(dx
dx
x(t)d
2
dt
y(t)d
0,5
dt
)t(yd
2
2
2
23
++=+ 2
3
;
dt
)t(dx
dx
x(t)d
5
dt
dy(t)
dt
)t(yd
2
23
24
3
+=+
;
dx
x(t)
4y(t)
dt
dy(t)
2,5
dt
)t(yd
2
=++
2
.
dx
dx(t)
4y(t)
dt
dy(t)
2,5
dt
)t(yd
2
=++
2
;
5
)()1
p
pK =
;
p,
)p(K)
110
20
2
+
=
Задача 1
Заданы входнойx(t) и выходной y(t) сигналы системы:
1.
2.
3.
4.
5.
Определить передаточную функцию системы, представить ее в
виде произведения элементарных звеньев.
Задача 2
Заданы операторы линейных стационарных систем:
1.
2.
3.
4.
5.
Определить передаточные функции и записать их в виде
произведения элементарных динамических звеньев.
Задача 3
Заданы передаточные функции звеньев:
77
;
pp
)p(K)
124
10
3
2
++
=
;p,)p(K)
504 =
);
p
(,
)
p
(
K)
12
3
05
+=
).p
,p,(,)p(K) 180250106
2
++=
),j(K
ω
)(
ω
P
)(
ω
Q
)(ωK
)(
ωϕ
;
1
)
()
1
−
=
Tp
K
pR
;
1
)()2
+−=Tp
K
pR
);1()()3 −
= TpKpR
);1()()4 +−= TpKpR
;
1
)
()5
−
=
Tp
Kp
pR
;
1
)()6
+−=Tp
Kp
pR
;
)1(
)()7
p
TpKpR−
=
.
)1(
)()8
p
TpK
pR+−=
),j(
K
ω
)(ωP
)(ωQ
)(
ω
K
)
(
ωϕ
Требуется:
- записать аналитическое выражение для амплитудно-фазовой
фазовой
вещественной
частотных характеристик;
, мнимой
, амплитудной
- построить годографы звеньев.
- построить асимптотические ЛАЧХ звеньев.
Задача 4
Заданы передаточные функции соединения звеньев:
Требуется:
- записать аналитические выражения для амплитудно-фазовой
фазовой
вещественной
частотных характеристик;
, мнимой
, амплитудной
- построить годографы звеньев.
и
и
Задача 5
Заданы передаточные функции соединения звеньев,
представленные в таблице 6.1.
Требуется:
-записать выражения для амплитудной частотной
характеристики W(w);
- построить асимптотическую ЛАЧХ.
78
Таблица 6.1. Передаточные функции
№
R(p) № R(p)
1
)
12(
)15,0(100++
pp
16
)11,0)(12(
2
)15,0
(100
++
+ppp
2
1)2,0(
)15(10++pp
17
)
13
,0)(15
(
2
)11,
0(10
++
+
pp
p
3
)15(
)13,0(
++pp
p
18
2
)15,0(
)1
3
03,0)(12(
+++p
pp
4
)15,0(
)13(1,0
+
+pp
19
)
12,0)(1(
2
)14(1,0
++
+ppp
5
)15,2(
)12,0(01,0
++pp
p
20
2
)12,0(
)1)(13(01,0
+++p
pp
6
2
)12(
)15,0(100
++p
pp
21
)12,0(
2
)15(100++ppp
7
)15,0(
)12(10
++p
pp
22
)12
(
2
)15
,0(
10
++pp
p
8
2
13
105
0
)p(
)p
,(p
+
+
23
)13,0(
2
)12(
++pp
p
9
)13,0(
)15(1,0
++p
p
24
)13(
2
2
)15,0(1,0
++pp
p
10
2
1
4
1020010
)p(
)p,
(p,
+
+
25
2
)13,0)(12(01,0
p
pp ++
11
)1
02,0)(15(
)13,0(100
++
+ppp
26
)12,0)(15(
2
100
++ pp
p
79
КЛАССИФИКАЦИИ НЕАДАПТИВНЫХ АСУ ПО
РАЗЛИЧНЫМ ПРИЗНАКАМ
1. По принципу действия (алгоритму управления)
Разомкнутые Замкнутые Комбинированные
(по возмущению) (по отклонению)
2. По цели управления [y*(t)] (алгоритму функционирования)
Стабилизация Программные Следящие Оптимальные
y*(t) = const y*(t) задана y*(t) произвольна y*(t) = extr
3. По количеству управляемых величин
Одномерные Многомерные
4. По характеру сигналов в цепи управления
Детерминированные Стохастические (случайные)
Непрерывные Дискретные
5. По идеализации математического описания
Линейные Нелинейные Четкие Нечеткие
6. По характеру параметров
Стационарные Нестационарные Сосредоточенные Распределенные
Рис. 6.16. Классификация неадаптивных АСУ по различным
признакам
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]