Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории управления. Учебное пособие
.pdf
В общем случае дифференциальное уравнение звена или системы
);
(
0
)(
1
...
1
)(
1
1
)(
)
(
0
)(
1
...
1
)
(
1
1
)(
t
x
b
dt
tdx
b
n
dt
tx
n
d
n
b
n
dt
t
x
n
d
n
b
ty
a
dt
tdy
a
n
dt
t
y
n
d
n
a
n
dt
tynd
n
a
+
++
−
−
−
+
=
=+
++
−
−
−
+
)t()()(
вынсв
ytyty +=
)
(ty
св
)t(
вын
y
)(ty
св
0)(
)(
...
)()(
0
1
1
1
1
=++++
−
−
−
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
n
n
n
n
n
n
0...
0
1
1
=+++
−
−
apapa
n
n
n
n
(6.1)
имеет вид:
Его общее решение:
. (6.2)
Составляющую решения в виде общего решения однородного
уравнения называют свободным движением
, а составляющую в
виде частного решения неоднородного уравнения называют
вынужденным движением
, где
определяется левой
частью уравнения (6.1):
.
Его характеристическое уравнение:
. (6.3)
Так как в понятие устойчивости системы входит только факт
наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо
от быстроты затухания переходного процесса), то устойчивость
линейной системы не зависит от правой части дифференциального
уравнения (6.1.) и полностью определяется его левой частью, то есть
(6.3).
Прямой метод исследования устойчивости
Уравнение движения системы представлено уравнением (6.1).
Для анализа устойчивости исследуем уравнение (6.3). Его решение:
61
∑
=
=
n
1i
tp
iсв
i
eCt)(y
, (6.4)
∑
=
∞
→
∞→
=
=
n
i
t
p
i
n
n
i
e
Cty
1
,0lim)(lim
∑
=
==
n
i
t
i
i
eCty
1
,0)(
d
y(t)
t
y(t)
t
– корни характеристического уравнения.
где p
i
Так как при ограниченном по абсолютной величине входном
воздействии составляющая вынужденного движения также
ограничена, то устойчивость системы обеспечивается при выполнении
условия:
(6.5)
который означает, что переходной процесс в системе затухает.
Рассмотрим случаи для корней различного вида.
Вещественные корни
Если все
= δ,
p
i
– действительно положительное число, то
где δ
i
δ
может иметь значения больше ноля, меньше ноля или быть
i
равным ему.
Из свойств экспоненциальной функции можем сделать вывод, что
<0 и при t→∞, компонента y(t) является затухающей, то есть
при δ
i
система устойчива.
Рис. 6.2. δ> 0 (система
неустойчива)
Рис. 6.3. δ = 0 (система на грани
устойчивости)
62
y(t)
t
Рис. 6.4. δ< 0 (система устойчива)
ω
d
jp
i1,2
±=
)
t(
sin(exp
)
t(expA
t)j(expCt)j(expCy
iiii
iiiiiii
ϕωd
ωdωd
+=
=−++=
+1
i
A
i
ϕ
i
C
1
+i
C
i
y
i
d
0<
i
d
0
=
i
d
Комплексно-сопряженные корни
То есть
, в этом случае компонента решения имеет
вид:
, (6.6)
где
,
–константы, определяемые
Графики зависимости
от значения
,
.
приведены на рис. 6.5 и
6.6
Рис. 6.5. Свободное движение системы для случая комплексных
корней с отрицательной действительной частью
В случае
, корни являются чисто мнимыми и график
функции представляет собой незатухающие гармонические
колебания.
Из проведённого анализа следует, что линейная динамическая
система будет устойчива тогда и только тогда, когда действительная
часть корней характеристического уравнения будет отрицательной.
Это есть необходимое и достаточное условие устойчивости линейной
системы управления. Следует отметить, что ни одна реальная система
управления не является строго линейной. Линейные характеристики
63
звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путём
0
>
i
d
линеаризации реальных характеристик и уравнений.
Рис. 6.6. Свободное движение системы для случая комплексных
корней с положительной действительной частью
Ляпуновым доказано, что если линеаризованная система
устойчива, то реальная система при малых отклонениях также
устойчива; если линеаризованная система неустойчива, то реальная
система тоже неустойчива; если линеаризованная система
нейтральная или находится на колебательной границе устойчивости,
то судить об устойчивости реальной системы затруднительно, так как
малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид
переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.
Недостатком прямого метода исследования устойчивости системы
является необходимость вычисления корней характеристического
уравнения, что связано с определёнными трудностями.
Существуют критерии устойчивости, которые позволяют, не решая
уравнения, ответить на вопрос: устойчива или неустойчива система
управления.
Алгебраические критерии устойчивости. Критерий устойчивости
Рауса–Гурвица
Одним из наиболее распространённых алгебраических критериев
устойчивости является критерий устойчивости Рауса-Гурвица,
который был разработан в конце 19 века. Он основан на анализе
коэффициентов характеристического полинома и сводится к проверке
удовлетворения n неравенств (n порядок характеристического
полинома). Порядок проверки устойчивости АС по данному критерию
следующий. Из коэффициентов характеристического полинома
64
0
1
1
...
)( apapapD
n
n
n
n
+
++=
−
−
,
0>
n
a
1−n
a
3−n
a
5−n
a
…
….. ……..
n
a
2−n
a
4−n
a
1−n
a
3
−n
a
……..
……..
……..
……..
……..
0
1
a
0
a
0
a
11 −=∆n
a
2
31
2
−
−−
=∆
nn
nn
aa
aa
0>
n
a
01>∆,02>∆
0>∆
k
0>∆
n
00>a
полагая, что
, составляется главный определитель Гурвица.
Система устойчива, если определитель Гурвица и все определители
низшего порядка больше 0.
Определитель Гурвица: (6.7)
0
…….. …….. …….. ……..
0 0 0 0
0
…….. …….. 0
…….. …….. 0
0
Из главного определителя Гурвица выделяются определители
Гурвица низшего порядка (миноры).
,
и т.д. (6.8)
Номер определителя Гурвица соответствует его размерности.
Критерий Рауса-Гурвица формулируется следующим образом: для
того, чтобы линейная система автоматического управления была
устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при
, все
определители Гурвица были положительными, т.е.
,… …
,… …
.
Чтобы линейная система уравнений была устойчива, необходимо и
достаточно положительности диагональных миноров матрицы
Гурвица при условии
. Можно показать, что для уравнений
первого и второго порядков условием устойчивости, по Гурвицу,
является положительность их коэффициентов.
65
Частотный критерий устойчивости Михайлова
ω
j
p =
0...)()()(
0
1
1
=+++=
−
−
ajajajD
n
n
n
n
ωωω
)jIm()jRe()j(D
ωωω
+=
ImRe−
)(ωjD
ω
ω
а
б
в
г
Как и при использовании критерия Гурвица исходной
информацией для использования критерия Михайлова является
характеристическое уравнение исследуемой системы. Здесь
применяется геометрическая иллюстрация траектории движения
конца вектора Михайлова– годограф Михайлова.
На основе характеристического уравнения замкнутой системы (6.4)
вводится в рассмотрение некоторая функция комплексного
переменного, полученная заменой
:
. (6.9)
Функцию (6.9) можно представить в виде:
. (6.10)
На комплексной плоскости
изменении
от 0 до ∞ кривую– годограф Михайлова.
вектор
опишет при
Для устойчивой системы управления n-го порядка необходимо и
достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении
от 0 до ∞,
начиная с вещественной положительной полуоси, проходил против
часовой стрелки последовательно через n квадрантов.
Рис. 6.7. Примеры для случаев: а – устойчивой; б – неустойчивой
систем; в – случай нейтральной системы с нулевым корнем; г –
случай колебательной границы устойчивости
66
На рис. 6.7 приведен годограф Михайлова для различных случаев.
)Re(
ω
)jIm(
ω
Обратимся к рис. 6.8, иллюстрирующему устойчивую системы
автоматического регулирования.
Для устойчивой системы автоматического регулирования
наблюдается чередование корней действительной
частей (следствие из критерия Михайлова).
Недостатком алгебраических критериев и частотного критерия
устойчивости является их ограниченность системами без
транспортного запаздывания.
Рис. 6.8. Изменение вещественной и мнимой составляющих вектора
Михайлова при изменении частоты
В случае системы с транспортным запаздыванием их применение
дает приближенную оценку устойчивости в пределах правомерности
аппроксимации звена транспортного запаздывания рядом Паде.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найквиста
Американский ученый Г.Найквист показал, что существует
определенная связь между устойчивостью и видом АФЧХ усилителей
с отрицательной обратной связью, а советский ученый А.В. Михайлов
распространил предложенный критерий на системы автоматического
управления. Частотный критерий устойчивости Найквиста Михайлова – это критерий устойчивости, который позволяет судить
об устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования
по ее амплитудно-частотной характеристике в разомкнутом
состоянии. Поскольку последняя может быть получена
экспериментально, то этот критерий нашел широкое распространение.
АС неустойчивая в разомкнутом состоянии, может оказаться
устойчивой в замкнутом состоянии. Это становится очевидным после
67
и мнимой
анализа критерия Найквиста-Михайлова. Этот критерий позволяет
)(ωjW
pC
1=R
судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой
системы.
Для минимально-фазовых систем этот критерий формулируется
следующим образом: для того, чтобы автоматическая система,
устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была
устойчива в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы
годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку М{-1, j0}
на комплексной плоскости при изменении частоты ω от нуля до
бесконечности и повороте вектора АФЧХ W(jω) по часовой стрелке
(рис. 6.9).
Рис. 6.9. Пример неустойчивой замкнутой системы при устойчивой
разомкнутой системе (1) и положения системы на границе
устойчивости (2)
На рис.6.10. показана амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы
Рис. 6.10. Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе
Запас устойчивости по модулю и по фазе
и окружность с радиусом
68
.
Запас устойчивости по модулю
A∆
)(
ω
pC
A
)
(1
k
AA
ω
−=∆
ϕ
∆
)(
k
ωϕpϕ
−=∆
отрезка АВ. Он показывает, на какую величину нужно увеличить
амплитуду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы
без изменения фазы, чтобы замкнутая система вышла на
границу устойчивости:
. (6.11)
определяется величиной
Запас устойчивости по фазе
. (6.12)
Он показывает, на какую величину по часовой стрелке нужно
повернуть по фазе без изменения амплитуды вектор амплитуднофазовой характеристики разомкнутой системы, чтобы замкнутая
система вышла на границу устойчивости.
Логарифмический частотный критерий устойчивости
Устойчивость замкнутой САР с использованием
логарифмического критерия можно определить, построив
совмещенные ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
определяется величиной
Рис. 6.11. Устойчивость системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ
69
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если
0)( ≥
ω
L
)(
ω
ϕ
)
(ωL
)(
3 cр
ωϕpϕ
+=∆
)(lg20
3
ωp
RL =
)1)(7)(3(
2
W
+++
=
ppp
p
213111p
2p
)1)(7)(3(
2
W
23
++
+
=
+++
=
ppppp
p
02131
11p
23
=+++ pp
3p1−=
при
фаза
разомкнутом состоянии будет устойчивой и в замкнутом, если точка А
ЛФЧХ определяемая фазой –180°(–π) соответствует области
отрицательных значений логарифмической амплитуды
Важным показателем работоспособности АС служат запасы
устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по фазе
определяется как возможная величина приращения ЛФХ до
достижения границы устойчивости:
Запас устойчивости по амплитуде определяется как возможная
величина приращения ЛАЧХ (т.е. коэффициента усиления), при
котором АС сохраняет устойчивость:
Пример 1
Передаточная функция системы имеет вид:
соответствующая ЛФЧХ проходит таким образом, что
не превосходит значения –180°(–π).Система устойчивая в
.
.
.
Решение типовых задач
.
Проверить систему на устойчивость. Исследовать устойчивость
системы с помощью критерия Рауса–Гурвица.
Решение
.
Характеристическое уравнение системы имеет вид:
.
Корни характеристического уравнения следующие:
;
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]