Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории управления. Учебное пособие
.pdf
где
)
Re(
ω
)(ωjW
)
Im(
ω
)(ωjW
)Re(
ω
)Im(
ω
∫
∞
−
=
0
)()( dtetj
W
tj
ω
ωω
∫
∞
∞−
=
ωω
p
ω
ω
dejWjw
tj
)(
2
1
)(
ω
jp =
ω
ω
jp
pWjW
=
= )()(
p
ω
j
ω
ω
jp
pWjW
=
= )()(
ω
ω
j
p
pRjR
=
= )()(
ω
ω
jp
pKjK
=
= )()(
)(),(),(
ωωω
jKjRjW
ω
j
)(ωjK
)()( pKjK =
ω
– проекция вектора
на вещественную ось; а
– проекция вектора
на мнимую ось.
называется вещественной частотной характеристикой, а
– мнимой частотной характеристикой.
АФХ есть изображение по Фурье импульсной переходной
функции:
. (5.3)
Обратное преобразование Фурье АФХ даст импульсную переходную
функцию:
. (5.4)
Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно
получить из его передаточной функции подстановкой
𝑝=𝑗𝑤:
. (5.5)
Наиболее общей является амплитудно-фазовая частотная
характеристика (АФЧХ), которая формально определяется из
передаточной функции заменой
на аргумент
.
; (5.6)
; (5.7)
; (5.8)
Часто
коэффициентом передачи.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика является функцией
комплексной переменной
фазу. Например, для АФЧХ звена
,
фаза:
называют комплексным
и может быть выражена через модуль и
модуль будет :
51
)(arg)(
ωωϕ
jK=
.
)()()(
ωωω
jQjPjK +=
)(
ω
jP
)(ωjQ
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eKjK ⋅=
АФЧХаргумент
P
Q
arctg
АФЧХ
модульQpK
−
=
−+=
)
(
)(
)
(
;)
()()
(
2
2
ω
ω
ωϕ
ωωω
[ ]
)(Re)
(
ωω
jKP =
)(ωjK
[
]
)(Im)(
ωω
jKQ =
)(ωjK
)()(
ωω
jKK =
)(ωjK
)(
)(
)(
)(
)(
ω
ω
ω
ω
ω
Ax
Ay
Ax
Ay
K ==
АФЧХ может быть выражена в следующих формах:
- алгебраическая форма:
, (5.9)
где
- показательная форма:
где
В равенстве :
вещественная часть комплексной функции
вещественной частотной характеристикой (ВЧХ);
В равенстве:
мнимая часть комплексной функции
частотной характеристикой (МЧХ).
В равенстве:
– вещественная часть,
, (5.10)
; (5.11)
;
; (5.12)
– мнимая часть;
называется
называется мнимой
модуль комплексной функции
частотной характеристикой (АЧХ). Амплитудно-частотная
характеристика АФЧХ представляет собой зависимость коэффициента
усиления системы от частоты входного гармонического сигнала:
, (5.13)
52
называется амплитудно-
где
)(
ω
Ay
)(
ω
Ax
)(arg)(
ωωϕ
jK=
)(
ω
jK
)(
ω
K
)(
ωϕ
)(tx
)sin()(
xt
wxAxtx
ϕ
+=
)sin(
)(yxt
B
tAy
ϕω
+=
+=
⋅=
=
=
x
wwxu
wxwxu
kAA
)(
)(
ωϕϕϕ
ω
)(
ω
jK
)(ωj
K
ω
0=
ω
∞=
ω
)(ωP, )(ωQ
)(ωK, )(
ωϕ
Следовательно, АЧХ равна отношению амплитуд вынужденной
составляющей выходного и входного сигналов.
В равенстве :
– выходной сигнал;
;
– входной сигнал.
аргумент комплексной функции
частотной характеристикой (ФЧХ).
Следовательно, ФЧХ равна разности фаз вынужденной
составляющей выходного и входного сигналов.
Амплитудная
определяют вынужденную составляющую выходного сигнала
системы при воздействии на нее гармонического входного сигнала,
заданного в скалярном виде. Так, если на систему действует
гармонический входной сигнал
вынужденная составляющая выходного сигнала определяется
соответственно
где
Годографом частотной характеристики
траектории точки
частоты
Точка годографа, соответствующая
годографа, а точка соответствующая
Построение годографа производится по парам вещественных
характеристик
При практических расчетах АСР удобно использовать частотные
характеристики, построенные в логарифмической системе координат
(логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они
характеризуются большей линейностью и на определенных участках
от 0 до ∞.
Логарифмические частотные характеристики
и фазовая
(5.14)
на комплексной плоскости при изменении
или
частотные характеристики
вида
,
называется фазовой
, то
называют
, называется началом
конечной точкой.
.
53
изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом
ω
)
(
lg
20)
(
ω
ω
AL =
2
aAM =
[ ]
Б
A
A
M
M
2
1
2
1
lg2lg =
[ ]
Б
A
A
дlg20
2
1
представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в
большинстве случаев можно построить при помощи некоторых
простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат
легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к.
умножению и делению обычных характеристик соответствует
сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада–
интервал частот, заключенный между произвольным значением
его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной
декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную
частотную характеристику (ЛАЧХ):
, дБ, (5.15)
ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или
децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 5.4).
Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов.
Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то
эти мощности отличаются на 1Б (lg10 = 1).
Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату
амплитуды
,то
и
, или
При построении фазовой частотной характеристики
логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.
Рис. 5.4. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
54
.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТОВ
)()(
ω
jWpW =
22
ImRe)()( +==
ωω
jWM
ьзнаменател
числительM
L
lg
20lg
20
)(
lg20
)
(
−
==
ω
ω
)
W(j
)Re(
)Im(
–
)W(j
)
Re(
)Im(
)(
ωω
ωϕ
знам
знам
arctg
числ
числ
arctg=
)1
(
)(
+
=
Tpp
k
pW
)1(
)(
+
=
ωω
ω
Tjj
k
jW
222
22222
2
1
)1()(
)(
+
=
+
=
ωω
ωω
ω
T
k
jT
j
k
M
1. Амплитудно-фазная характеристика:
. (5.16)
2. Амплитудно-частотная характеристика:
. (5.17)
3. Логарифмическо-амплитудная характеристика:
. (5.18)
4. Логарифмическо-фазная характеристика:
(5.19)
Решение типовых задач
Пример 1
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
.
Определить частотные характеристики.
Решение
АФХ определяем по формуле (5.16):
.
АЧХ определяем по формуле (5.17):
.
ЛАХ определяем по формуле (5.18):
55
1)lg(20lg20)(
22
+−=
ωωω
TjkL
.
)(
2
-
1
-
0
)(
ω
pω
ωϕ
Tarctg
T
arctg
k
arctg −==
p
pepW
−
=)(
ω
ωω
j
ejjW
−
=)(
ωωωω
ω
===
− j
jejWM
22
)()(
ω
ωωω
j
eML
−
−== lg20lg
20)(lg20)(
0
220
0)(
2
=−=−=
−
pp
ωϕ
ω
j
e
arctgarctg
)
1(
)
1)(1(
5
)(
3
21
+
++
=
pT
p
pT
pT
pW
p
ω
j
)1(
)1|)(1(5
)(
3
21
+
++
=
ω
ωω
ω
jTp
jTjT
jW
1
1
1
4
1
−
== c
T
ω
ЛФХ определяем по формуле (5.19):
.
Пример 2
Передаточная функция системы имеет вид:
Определить частотные характеристики.
Решение
.
АФХ:
АЧХ:
ЛАХ:
ЛФХ:
;
;
;
.
Пример 3
Построить график ЛАХ асимптотически (приближено) для
функции
;
при T
=0,25; Т
1
=0,1; Т
2
=0,02.
3
Решение
Заменив
на
получим:
;
;
56
1
2
2
10
1
−
== c
T
ω
1
3
3
50
1
−
==
c
T
ω
6
,
0
lg
1
=
ω
1lg
2
=
ω
7,
1lg3=
ω
1
ω
2
ω
2
ω
3
ω
3
ω
;
;
;
;
.
Построение ЛАХ всегда начинается с идеально-интегрирующего
звена, которое дает отрицательный угол наклона прямой – 20
дБ/декаду.
В диапазоне частот от
до
график ЛАХ будет представлять
собой прямую с нулевым углом наклона, так как на этом интервале
включается форсирующее звено (T
p+1), которое дает угол наклона
1
+20дБ/декаду, что в сочетании с идеально-интегрирующим звеном
дает нулевой угол наклона прямой.
В диапазоне частот от
до
график будет представлять собой
прямую с положительным наклоном 20дБ/декаду, так как
подключается форсирующее звено 1-го порядка.
В диапазоне частот от
до ∞ график ЛАХ примет вид прямой с
нулевым углом наклона, так как в этом диапазоне частот
подключается апериодическое звено первого порядка, дающее
отрицательный наклон прямой-20дБ/декаду.
Результат построения ЛАХ представлен на рис. 5.5.
57
Рис. 5.5. Асимптотическое построение ЛАХ
58
Задачи
)
1)(1
(
)
pTK(1
R(p)
31
2
2
pT
pTp +
+
+
=
tyyy sin23
'''
=++
Задача 1
Определить частотные характеристики. Построить графики
функции
.
Задача 2
Определить частотные характеристики. Построить графики
функции
.
Глава 6
0)(Lim
0x(t)
t
==
∞→
t
y
св
x(t)
∞
→
∞→
)(Limtty
св
x(t)
M
ty
св
→
∞→
)(Lim
t
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Основные теоретические положения
Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходное
состояние после какого-либо воздействия
Линейная динамическая система называется устойчивой, если
после снятия возмущений при
, то есть
движение затухает (рис. 6.1. а).
Система называется неустойчивой, если после снятия возмущений
свободное движение стремится к ∞, то есть приt→∞,
(рис. 6.1. б).
Система называется нейтральной, если после снятия возмущений
свободное движение стремится к какому-то пределуM, то есть
, где 0<M<∞(рис. 6.1.в).
Рис.6.1 Свободное движение системы управления
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]