Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории управления. Учебное пособие
.pdf
V.
ξ
ϕ
)(3)(2
)(5)(2
2
2
txty
dt
tdy
dt
tyd
=++
процесс называется колебательным незатухающим, система
находится на границе устойчивости (рис. 4.6, д). Она является
замкнутой (консервативной), автономной от внешней среды.
Все рассмотренные колебания (II, III и V случаи) относятся к
классу свободных, их параметры А и
условий, т. е. от привнесенной энергии.
= 0; В системе устанавливается периодическое движение,
φ зависят от начальных
Рис. 4.6 Типы переходных процессов
Для случаев II и III функция h(t)≠h(t+T), где Т- период колебаний, и
следовательно, эти колебания непериодические. Периодические
колебания наблюдаются только в случае V.
Решение типовых задач
Пример 1
Дано уравнение в дифференциальном виде:
.
Определить переходную и весовую характеристики. Построить
графики с помощью пакета прикладных программ Matlab.
Решение
Переходная характеристика определяется по формуле (4.6):
41
++
=
++
=
−−
ppp
L
ppp
Lth
)5,0)(2(2
3
)252(
3
)(
1
2
1
;
2
1
−=
p
5,02−=p
+
+
+
+=
++
=
−−
5,02)5,0)(2(
,51
)(
11
p
C
p
B
p
A
L
ppp
Lth
A,B
C
++
++++++
=
+
+
+
+=
−−
0,5)2)(pp(p
2)Cp(p0,5)Bp(p0,5)2)(p A(p
5,02
)(
11
L
p
C
p
B
p
A
Lth
1,52)Cp(p0,5)Bp(p0,5)2)(pA(p =++++++
5,1=A
5,
0=B
2−=C
+
−
+
+
−
5,0
2
2
5,05,1
1
ppp
L
tt
eetth
5,02
25,05,1)(
−
−+=
tt
eet
25,0
)(w
−−
−=
Q(x)
P(x)
)(xQ
,
,
определяем с помощью метода неопределенных
коэффициентов:
.
Приравняем между собой числители двух дробей:
Весовая функция Лапласа находится следующим образом:
;
– корни квадратного уравнения.
;
;
;
;
.
.
.
Внимание!
При решении уравнения используется метод неопределенных
коэффициентов (из курса высшей математики). Метод
неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании
рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида
, где P(x ) и
называется правильной, если степень числителя P(x) ниже степени
являются многочленами. Рациональная дробь
42
знаменателя
)(xQ
Q(x)
P(x)
a-
x
A
m
a)-(x
A
qpx
x
BAx
2
+
+
+
qpxx
2
++
n2
q)px(x
BAx+++
qpxx
2
++
2)1(1)2()1(
64
2222
23
+
+
+
+
+
+
=
++
++
x
NMp
x
B
x
A
xx
xx
524
2
+− pp
0<
D
; в противном случае дробь называют
неправильной. Любая правильная рациональная дробь
может
быть единственным образом представлена в виде суммы простых
рациональных дробей. Простые рациональные дроби:
1.
2.
3.
;
, где m – целое число, больше единицы;
, где квадратный трехчлен
не имеет
действительных корней.
4.
квадратный трехчлен
, где n – целое число, больше единицы и
не имеет действительных корней.
,
или
, где
.
Если при решении дифференциальных уравнений:
– хотя бы один из корней положителен, то система будет
неустойчивой,
– если хотя бы один корень равен 0 – система находится на грани
устойчивости,
– если хотя бы один корень отрицательный или комплексно-
сопряженный – система устойчива.
Графики переходной и весовой функции представлены на рис. 4.7
и 4.8.
43
tyyy =++
'''
Рис. 4.7. Переходная функция системы
Рис. 4.8. Импульсная (весовая) характеристика системы
Вывод: по полученной переходной функции можно сделать вывод
о том, что система неустойчива.
Пример 2
Задан оператор линейной стационарной системы
.
44
1. Определить переходную и весовую характеристики.
2
2
x(p)
)
()(
)(
p
p
yppypyp =++
2
2
X(p)
)1()
(
p
ppp
Y =+
+⋅
2
2
)1(
1
X(p)
Y(p)
)(
ppp
p
W
+
+
=
=
++
=
22
1-
)1(
1
Lh(t)
ppp
++
+++++++
=
++
+
++=
)1(
)()1()1(
L
1
Lh(t)
22
222
1-
22
1-
ppp
pDCpppBpppA
pp
DCp
p
B
p
A
1)()1()1(
222
=+++++++ pDCppp
BpppA
1
23232
=+++++++ DpCpBpBpBpAApAp
:
:
:
:
0
1
2
3
p
p
p
p
.1
0
0
0
=
⇒=+
⇒=++
⇒=+
A
BA
DBA
CB
;1
;0
;1
−=
=
=
B
D
C
2. Построить графики.
Решение
Запишем дифференциальное уравнение в алгебраическом виде:
;
.
Следовательно, передаточная функция запишется:
.
Переходная характеристика определяется по формуле:
;
Используя метод неопределенных коэффициентов, запишем
следующее выражение:
;
Используя разложение по степеням находим коэффициенты A, B, C и
D:
;
;
45
Отсюда следует:
++
+−=
1
11
Lh(t)
22
1-
pp
p
p
p
12+
+ pp
p
;
75,0)5,0(
5
,0
75,0)5,0(
5,0
75
,0)5
,0(
1
22
22
++
−
++
+
=
+
+
=
++ pp
p
p
p
pp
p
tetetete
tttt
87,0sin57,087,0cos75,0sin57,075,0cos
5,05,05,05,0 −−−−
−=−
tetet
tt
87,0sin57,087,0cos1)t(h
5,05,0 −−
−+−=
tete
tet
e
tt
tt
87,0cos5,087,0sin29
,0
87
,087
,0sin
87,0
cos5,0
1)t
(W
5
,05,
0
5,0
5,0
−
−
−−
−+
+⋅−−
=
+
−=
+
+
+
−
−=
−−−
−−−
tetete
tetete
ttt
ttt
2
3
sin
3
5,0
2
3
sin
2
3
1
2
3
cos5,0
2
3
sin
3
5,0
2
3
sin
2
3
2
3
cos5,01)t(W
5,05,05,0
5,05,05,0
.
Далее, дробь
разложим:
По таблице преобразования Лапласса получим:
Следовательно, переходная характеристика будет равна:
;
весовая функция запишется:
;
.
Графики переходной и весовой функции представлены на рис. 4.9 и
4.10.
46
Рис. 4.9. Переходная характеристика
Рис. 4.10. Импульсная (весовая) характеристика
Вывод: По полученной переходной функции можно сделать вывод
о том, что система неустойчива.
47
ЗАДАЧИ
)()(
dt
Tdy(t)
tKx
ty =+
1(t))e-50(ew(t)
-10t-5t
⋅=
sin t23y
'''
=++ yy
t
yy
e2y
'''
=−
−
Задача 1
Определить переходную и весовую характеристики для
апериодического звена:
;
для T=2, K=20.
Задача 2
Какое динамическое звено имеет импульсную переходную
характеристику:
?
Задача 3
Определить переходную и импульсную характеристики для
.
Задача 4
Определить переходную и весовую характеристики
для
.
48
Глава 5
)(A
ω
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА. СВЯЗЬ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ С ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Основные теоретические положения
Частотные характеристики описывают передаточные свойства
звеньев (элементов) и систем в режиме установившихся
гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим
воздействием.
Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов
от частоты называется амплитудной частотной характеристикой
(АЧХ). Ее обозначают как
– (рис. 5.1)
Рис. 5.1. Амплитудная частотная характеристика
Рис. 5.2. Фазовая частотная характеристика
49
)(
ωϕ
)(ωjW
ω
j
)(A
ω
)(
ωϕ
)(ωjW
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eAjW =
)Im()Re()(
ωωω
+=jW
Рис. 5.3. Амплитудно-фазовая характеристика
Зависимость фазового сдвига от частоты называется фазовой
частотной характеристикой (ФЧХ), и она обозначается как
(рис. 5.2). АЧХ показывает, как хорошо пропускает элемент сигналы
различной частоты. ФЧХ показывает, какое отставание или
опережение входного сигнала по фазе создает элемент при различных
частотах.
Амплитудную частотную и фазовую частотную характеристики
можно объединить в одну общую: амплитудно-фазовую частотную
характеристику (АФЧХ) или (АФХ) (рис.5.3). Она обозначается
как
переменного
и представляет собой функцию комплексного
, модуль которой равен
.
, а аргумент равен
АФХ
представлена в показательной форме:
или в алгебраической форме:
, как и любая комплексная величина, может быть
; (5.1)
, (5.2)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]