Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы оптики. Теория оптического изображения. Учебное пособие
.pdf
Р'
А
D
'
y
s
А
А
f
A F
A'
sf
s'
y'
A'
h
P
0
5
3
1
2
4
6
кр
кр
Рис. 5.6 Рис. 5.7
Если смещать плоскость наблюдения от плоскости параксиального
изображения ближе к линзе, то радиус кружка рассеяния сначала
уменьшается, затем снова возрастает. Таким образом, между
и
кр
0
есть плоскость наименьшего кружка рассеяния. В целом аберрационным изображением точки на оси является распределение интенсивно-
сти с характерной длиной порядка
аб
и радиусом
2
~sD
аб
~ D
3
В отличие от дифракционного распределения интенсивности аберрационное несимметрично относительно плоскости параксиального
изображения или плоскости наименьшего радиуса кружка рассеяния.
.
При одном и том же фокусном расстоянии линзы сферическая
аберрация третьего порядка зависит от радиусов кривизны поверхностей линзы. На рис. 5.8 показана зависимость
положительной линзы, когда предмет в бесконечности. По оси абсцисс
отложен угол
ние этой кривой таково: чем меньше углы падения и преломления на
поверхностях линзы, т. е. меньше отступления от параксиальной области, тем меньше аберрации. В частности, сферическая аберрация плос-
2
1
фС
от формы
Рис. 5.8
наклона луча к оси в линзе. Качественное объясне-
2
Рис. 5.9
71
F
2
ковыпуклой линзы, обращённой выпуклостью к падающему парал-
y
лельному пучку, близка к минимальной. Поэтому система из двух плосковыпуклых линз часто используется в конденсорах для передачи с минимальной аберрацией изображения точечного источника (рис. 5.9).
Продольная сферическая аберрация отрицательной линзы положительна. Это обстоятельство используют для взаимной компенсации
сферической аберрации изображения осевой точки
в системе положительной и отрицательной линз. В разд. 5.2 показано, что в такой системе можно скомпенсировать и хроматизм.
Поэтому двухлинзовую склейку можно назвать минимальной
оптической системой, обеспечивающей хорошее качество изображения, по крайней мере, осевой точки.
5.3.2. Полевые аберрации
Угол наклона произвольного меридионального луча в произвольную точку плоскости изображения можно выразить через высоту луча
на выходном зрачке
пряжённые с ними высоту на входном зрачке
и величину изображения
h
P
h
P
. Поперечные аберрации, пропорциональные кубу угла, зависят от
32 23
,, ,
следующих комбинаций этих величин:
hhyhyy
PP P
комбинация, как было показано, соответствует сферической аберрации, которая не зависит от величины предмета и, следовательно, постоянна для всех точек плоскости изображения. Остальные комбина-
y
ции зависят от
и описывают полевые аберрации третьего порядка –
дисторсию, кому, астигматизм, кривизну поля изображения, которые
обращаются в нуль только в осевой точке поля системы. Полевые
аберрации нарушают сферическую симметрию распределения и дополнительно увеличивают размеры фигуры рассеяния интенсивности в
изображении внеосевой точки (за исключением дисторсии). У фотообъективов на краю поля
средний радиус фигуры рассеяния в 1,5–3 раза
больше, чем на оси.
Уменьшают полевые аберрации, как и другие, путём взаимной
компенсации аберраций оптических поверхностей системы. Таким образом, оптическая система с высоким качеством изображения – это
обязательно многокомпонентная система или (и) система с асферическими поверхностями.
72
, либо через со-
y
и величину предмета
. Первая
5.3.3. Аберрации глаза
D
D
A
А
А
Df
Природа использовала все рассмотренные и даже не рассмотренные нами возможности, причём очень экономно, для уменьшения
аберраций глаза. Глаз является многокомпонентной преломляющей
системой (роговица, хрусталик, стекловидное тело), состоящей из слоёв разной плотности, т. е. разных показателей преломления, с асферическими поверхностями. Плотность и показатель преломления от периферии к оси
хрусталика плавно возрастают, т. е. хрусталик представляет собой так называемую градиентную линзу, обладающую
большими возможностями для коррекции аберраций, чем линзы из однородного материала
16. Малая чувствительность сетчатки на краях
видимого диапазона спектра излучения дополнительно уменьшает
хроматизм. Большому радиусу фигуры рассеяния в изображении точки
на краях поля зрения соответствует низкая плотность светочувствительных элементов на периферии сетчатки (см. также разд. 5.5.1 и 6.4).
Задача. Диаметр линзы увеличили вдвое. Во сколько раз возрос
радиус кружка рассеяния в изображении осевой точки, если учитывать
влияние только сферической аберрации?
5.4. Дифракционно-аберрационное изображение точки
Дифракция и аберрации уширяют кружок рассеяния в изображении
точки одновременно (будем говорить об осевой точке, изображение
которой имеет вид кружка). Дифракционное уширение ~1 /
рационное
3
в приближении аберраций третьего порядка. Предста-
~
вим общий радиус кружка рассеяния суммой дифракционной и аберрационной составляющих:
, а абер-
дАб
/.
DBD
3
(5.17)
Аналогично (5.17) будет выглядеть зависимость радиуса кружка
рассеяния от любой величины, пропорциональной
ходного зрачка, числовой апертуры
странстве изображений
, относительного отверстия /
А или
, апертурного угла в про-
D : диаметра вы-
.
Для продольного размера распределения интенсивности в изображении точки можно также построить дифракционно-аберрационную
формулу
73
L
В
D
D
LL EDGD
дАб
22
/.
(5.17)
Формулы (5.17), (5.18) являются приближением, годным лишь для
оценок, так как вторые слагаемые в них получены в приближении геометрической оптики, а первые – в условиях, когда геометрическая оптика не применима. В более точном решении этой задачи рассчитывается
дифракционное распределение интенсивности при наличии аберрационных деформаций волнового фронта за оптической системой [17].
рис. 5.10 сплошной линией показана зависимость радиуса
На
кружка рассеяния (5.17) от апертурных характеристик системы, а
штриховой и штрихпунктирной линиями – соответственно дифракционная и аберрационная составляющие. Видно, что при определённом
диаметре зрачка радиус кружка рассеяния минимален. В окрестности
этого минимума
фициентах
А и
нивать по дифракционным формулам. Полудлина
ет минимум в зависимости от
~ const. Нетрудно показать, что при любых коэф-
в минимуме
аб д
/3
, поэтому
L
можно оце-
min
(5.18) также име-
D , в котором дифракционная и аберра-
ционная составляющие равны.
3
1D
Рис. 5.10
Оптические системы, для которых
находится на дифракционной
ветви кривой (5.17) при максимальном диаметре зрачка, называются
дифракционно-ограниченными. К ним относятся объективы микроскопов и зрительных труб. Стандартные объективы фотоаппаратов при
полностью открытой апертурной диафрагме и относительном отверстии 1:4…1:1 являются аберрационно-ограниченными. При уменьшении относительного отверстия до 1:10 и менее радиус
определяется
дифракцией. Глаз также следует отнести к аберрационно-ограни-
74
ченным системам. Минимальный радиус кружка рассеяния на сетчатке
D
A
А
глаза наблюдается при
= 1,5…2 мм, тогда как максимальный диа-
гл
метр глазного зрачка достигает 8 мм.
Эквивалентный предмет. До сих пор мы рассматривали реальное
распределение интенсивности, возникающее за оптической системой, в
пространстве изображений. Однако целью оптического наблюдения
является объект, расположенный перед системой. Рассмотрим, какую
информацию можно получить о предмете из его дифракционноаберрационного изображения. Линейное увеличение
продольное равно
2
. Следовательно, максимальные размеры предмета,
ОС равно , тогда
создающего объёмное «изображение» точки (рис. 5.11), равны
2
22/
22/.LL
,
(5.19)
n
Рис. 5.11
2L'
2ρ'
2ρ
2L
n
Возможно, истинные размеры предмета меньше указанных, однако
точнее их определить из распределения интенсивности нельзя. Даже
точечный источник создаст объёмное распределение интенсивности.
Существует метод ультрамикроскопии: наблюдение сверхмалых частиц, видимых как кружки рассеяния в поле зрения микроскопа. При
этом устанавливаются только наличие частиц и их количество. Истинные размеры и форму частиц
Оценивая
в минимуме радиуса кружка рассеяния по дифракци-
определить невозможно.
онной формуле (5.2), получаем из (5.19) с учётом (3.16):
min д 0
А – числовая апертура в пространстве предметов, а
где
/ 0,61 / ( ) 0,61 / 0,61 / ,
An n
АА
sin ,
А
A
(5.20)
/ n
.
0
Если предмет в бесконечности, то можно по аналогии с (5.5) перейти к угловому дифракционному радиусу эквивалентного предмета:
75
1, 2 2 / .D
(5.21)
д
Из (5.19) и дифракционной полудлины (5.7) изображения точки получаем максимальную полудлину эквивалентного предмета
2
2/LA
д
. (5.22)
5.5. Разрешающая способность оптической системы
Распределение интенсивности за оптической системой регистрируется фотоприёмником. Поэтому правильнее говорить о разрешающей
способности оптической системы с фотоприёмником, о возможности
по сигналу фотоприёмника различить, разрешить, воспринять раздельно изображения двух близких точек предмета. Сетчатка глаза – матричный фотоэлектрический прибор, состоящий из миллионов отдельных фотоэлементов, палочек и колбочек. Распределение интенсивно-
регистрируется одновременно во множестве «точек» сетчатки. Да-
сти
же созданные в последние годы полупроводниковые матричные фотоприёмники ещё не приблизились к глазу по количеству фотоэлементов.
Любой электрический сигнал сопровождается шумами – случайными колебаниями сигнала. Это приводит к тому, что оптические,
точнее, оптико-электронные измерения неизбежно производятся с погрешностью. По этой
прибора могут восприниматься как одна, если расстояние между ними
достаточно мало. Говорят, что эти точки не разрешаются. Аналогично
при измерениях линейных размеров достаточно малый зазор между
штрихом шкалы и краем изображения измеряемого объекта не обнаруживается оптико-электронной системой: штрих кажется совмещён-
краем изображения. В этом случае говорят о погрешности попе-
ным с
речного наведения в плоскости изображения, перпендикулярной оптической оси. Разрешение и погрешность поперечного наведения связаны с профилем аппаратной функции, прежде всего с её шириной, т. е.
диаметром кружка рассеяния в изображении точки.
Фокусировка изображения объекта, продольное наведение, также
сопровождается погрешностью.
зависит от осевого размера фигуры изображения точки. Естественно,
разрешение и погрешности обоих типов зависят от уровня шумов
электронного тракта регистрирующей системы.
Для разрешения двух протяжённых изображений близких точек в
суммарном распределении интенсивности необходимы как минимум
причине две точки в поле зрения оптического
Погрешность продольного наведения
76
три фотоприёмника (рис. 5.12). На среднем фотоприёмнике ФП2 сиг-
N
нал должен быть достоверно меньше, чем на двух крайних фотоприёмниках ФП1 и ФП3. Одна из многочисленных составляющих шумов в
электронных цепях – дробовой шум, т. е. флуктуации числа электронов, возрастает вместе с сигналом. Поэтому для разрешения пространственной структуры распределения интенсивности одной
только большой амплитуды сигнала недостаточно: должны быть заметными относительные
изменения сигнала – его контраст. За контраст сигнала мо-
жет быть принята величина
()//.CIII II
max min max max
ФП1 ФП2 ФП3
Рис. 5.12
В интерферометрии используют видность интерференционного
сигнала
.
При
II
min max
()/().VI I I I
max min max min
/2VC, а при
min
0IVC
Чем больше относительная амплитуда дробовых шумов, тем больше контраст сигнала, при котором минимумы и максимумы сигнала
будут различены. Пороговая контрастная чувствительность глаза
уменьшается с ростом освещённости от сумеречной до дневной. Такая
зависимость согласуется с влиянием дробовых шумов, по крайней мере, качественно, поскольку относительная амплитуда дробовых шумов
с ростом
числа N фотоэлектронов уменьшается как 1/
.
При дневной освещённости пороговая контрастная чувствительность глаза равна 5 %. Слово «пороговая» означает, что при таком контрасте изменения сигнала будут обнаружены лишь с определённой вероятностью. Контрастная чувствительность глаза, при которой изменения интенсивности обнаруживаются с достаточно высокой вероятностью, принимается равной 20 %. Этому контрасту соответствует
77
расстояние между центрами кружков рассеяния в изображении двух
D
D
точек, равное радиусу кружка рассеяния (критерий разрешения Рэлея).
Контрастная чувствительность глаза невысока. С помощью полупроводникового фотоприёмника можно обнаружить гораздо меньшее
относительное изменение сигнала – порядка 0,1 %. Соответственно
разрешающая способность оптического прибора с фотоэлектрической
регистрацией выше, чем с визуальной, т. е. разрешаемое расстояние
между точками
меньше. Впрочем, это преимущество заметно только
при регистрации простых распределений интенсивности, например,
двух ярких точек на тёмном фоне.
5.5.1. Разрешающая способность глаза
Оценим минимальный радиус кружка рассеяния на сетчатке глаза,
соответствующий диаметру глазного зрачка
глазного зрачка до сетчатки
= 20 мм, показатель преломления стек-
p
ловидного тела, прилегающего к сетчатке,
= 0,555 мкм. Тогда дифракционный радиус кружка рассеяния (5.2) ра-
вен
0,61 / ( ) 1, 22 / ( )
д 00гл
npnD
А
По рис. 5.12 нетрудно определить, что для разрешения изображений двух точек с расстоянием между точками, равным 5 мкм, диаметр
элемента фотоприёмника должен быть равным 2,5 мкм. Самое удивительное, что это так и есть: минимальное расстояние между центрами
колбочек в жёлтом пятне сетчатки равно 2,5 мкм. Природа «согласовала» размер фотоэлемента с
= 2 мм. Плохое разрешение на периферии глаза компенсируется
гл
радиусом кружка рассеяния на сетчатке при
его подвижностью: глаз всегда способен совместить изображение любой точки предмета с центром жёлтого пятна.
Оценим угловое разрешение оптической системы в пространстве
предметов для
= 0,555 мкм и 20 %-й контрастной чувствительности
по формуле (5.21):
= 2 мм. Расстояние от
гл
n
= 1,33. Длина волны
5 мкм.
=
0
4
6,8 10 (мм)140
1, 2 2 / ( рад)
д
D
(мм)(мм)
DD
78
угл. с. (5.23)
При 5 %-й пороговой контрастной чувствительности угловое раз-
D
D
D
D
решение ОС, т. е. минимальный угол между раздельно воспринимаемыми точками в бесконечности, равен
120
угл. с. (5.24)
д
(мм)D
Для глаза при
угол
д, гл
=
60 ...70
= 2 мм из (5.23), (5.23) получаем разрешаемый
гл
= 1…1,2 угл. мин.
При наблюдении протяжённых линейных объектов разрешаемое
глазом угловое несовпадение линий может уменьшаться до
10
. Это
явление называется нониальной (нониусной) остротой зрения. Оно
широко используется в оптических измерительных приборах для повышения точности отсчёта [18]. Его можно объяснить тем, что в центре жёлтого пятна поверхность сетчатки представляет собой плотно
упакованную мозаику (рис. 5.13). Распределение интенсивности в
изображении верхнего штриха преимущественно покрывает один ряд
рецепторов, а изображение
нижнего штриха – другой, соседний. Глаз
способен воспринять взаимное смещение вертикальных краёв штрихов, намного меньшее диаметра рецептора, несмотря на размытые границы изображений.
Рис. 5.13
Оценим угловое разрешение глаза при сумеречной освещённости,
когда
возрастёт при этом в 4
щая равна 1/3 от дифракционной при
При
возрастает в 4 раза, с 2 до 8 мм. Сферическая аберрация
гл
= 8 мм аберрационная составляющая намного превосходит
гл
3
= 64 раза. По (5.17) аберрационная составляю-
= 2 мм, т. е. 1,2/3 =
гл
79
0, 4
.
дифракционную и равна 0,4 64 26
D
D
D
. Эта оценка в 2 раза отличается
от реального углового разрешения глаза при минимальной освещённо-
сти
аб,гл
50 ...60
.
5.5.2. Разрешающая способность телескопа
Телескоп увеличивает видимые угловые размеры предмета в
раз. Угол
между параллельными пучками, идущими за телескопом
Г
т
от разрешаемых точек предмета, должен быть не меньше углового раз-
решения глаза
. Следовательно, по (4.12) разрешаемый угол меж-
д, гл
ду параллельными пучками в пространстве предметов телескопа равен
/ Г / Г
тд, гл т
Эти формулы справедливы, во-первых, при
когда диаметр выходного зрачка телескопа не меньше
диаметр объектива телескопа должен быть не меньше
чение, при котором
Г /DD
тобгл
60 ...70
= (
)
. (5.25)
/Г
т
= 2 мм; во-вторых,
гл
. Для этого
гл
ГD . Увели-
гл т
, называется полезным увеличением
телескопа. При таком увеличении весь световой поток, вошедший в
объектив, пройдёт в глаз, а при
= 2 мм разрешаемый телескопом
гл
угол минимален.
Задача 1. Фокусное расстояние объектива телескопа равно 200 мм,
световой диаметр объектива 40 мм. Определить фокусное расстояние
окуляра, при котором угловое разрешение телескопа максимально при
дневном освещении. Каково увеличение телескопа?
Задача 2. Оценить линейную погрешность наведения в предметной
плоскости винтовки с оптическим прицелом при дневной освещённости, считая погрешность равной половине дифракционного радиуса
кружка рассеяния в этой плоскости. Видимое увеличение телескопиче-
ского прицела равно
= 6, расстояние между предметом и прицелом
Г
т
100 м.
5.5.3. Разрешающая способность микроскопа
Разрешающую способность микроскопа в пространстве предметов
оценивают по дифракционному радиусу кружка рассеяния (5.20):
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]