Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы оптики. Теория оптического изображения. Учебное пособие
.pdf
зрачка и точкой
A
A
А
Р'
А
D'
L
дL
A
угол в пространстве предметов
. У верхнего апертурного луча показан апертурный
0
.
На рисунке обложки данного пособия это же дифракционное распределение интенсивности показано плавно изменяющимся цветом.
д
Рис. 5.1
0
д
Исходя из дифракционных представлений нетрудно объяснить, почему, во-первых, максимум интенсивности совпадает с точкой параксиального изображения; во-вторых, почему нарушается стигматичность изображения. Распространение волны от точки предмета до точки изображения можно представить согласно принципу Гюйгенса–
Френеля, как процесс возникновения, распространения и интерференции вторичных сферических волн. По
принципу Ферма (см. разд. 1)
время распространения всех лучей между сопряжёнными точками
одинаково. Следовательно, суммарный набег фазы вторичных волн,
возникающих на луче, одинаков для всех лучей. Поэтому в точке параксиального изображения все волны суммируются с одинаковыми
фазами, создавая максимум интенсивности. В соседних точках равенство фаз нарушается, суммарное поле уменьшается,
однако оно не
равно нулю тождественно. Таким образом, из-за дифракции «изображением» точки является распределение интенсивности конечных размеров как вдоль оптической оси, так и в поперечном сечении.
5.1.1. Дифракционный радиус кружка рассеяния
Оценим радиус
плоскости изображения
ного кольца (см. рис. 5.1). Распределение интенсивности – результат
интерференции вторичных волн, распространяющихся от плоскости
центрального дифракционного максимума в
д
, т. е. радиус первого тёмного дифракцион-
0
61
выходного зрачка. Рассмотрим волны из двух противоположных точек
М
A
M
A
p
D
А
А
выходного зрачка
точку
ки
одинаковы,
0
K , находящейся на расстоянии
раксиальном приближении и при условии
NKMKpa pa
и N (рис. 5.2). Длины хода волн из этих точек в
ANA
00
, волны суммируются в фазе. До точ-
от
p
2222
() ()
, разность хода волн в па-
0
2Da
равна
1( ) 1( )
pa ppa p
appapap
[1 ( ) ( 2 ) ] [1 ( ) (2 )] 2 / .
22 22
22 22
Минимум интенсивности интерферирующих волн соответствует
разности хода, равной половине длины волны, отсюда
0,5 /pD
В данной оценке учтена интерференция волн только из двух точек выходного зрачка. Как ни удивительно, точное интегрирование волн от
всех точек круглого, равномерно освещённого зрачка даёт для радиуса
первого тёмного дифракционного кольца результат, отличающийся от
этой оценки всего в 2,5 раза:
1, 2 2 / .pD
(5.1)
д
Чем меньше радиус выходного зрачка, тем точнее выполняются
условия параксиальной области, но тем сильнее расплывается изображение точки и тем больше радиус кружка рассеяния.
Обычно (5.1) представляют по-разному для изображения, находящегося на конечном расстоянии (
(
,sp
). В первом случае формулу (5.1) выражают через апертур-
ный угол в пространстве изображений
0,61 / .
д
,sp
А
) и в бесконечности
/(2 )
, тогда
p
(5.2)
Для достаточно большого апертурного угла вместо (5.2) следует
использовать более точную формулу
.
0,61 / sin .
д
(5.3)
Если изображение находится в среде с показателем преломления
n
, то
, где
/ n
0
– длина волны излучения в вакууме. Оконча-
0
62
тельно выразим радиус кружка рассеяния через числовую апертуру в
A
A
K
p
M
пространстве изображений
An
sin
:
0,61 / .A
(5.4)
д 0
Зависимость радиуса кружка рассеяния от апертурного угла (5.3)
весьма просто объясняется интерференционными соображениями. Известна задача об интерференции двух плоских волн с углом
2
между
волновыми векторами [5]. Период стационарной интерференционной
картины в плоскости, перпендикулярной биссектрисе угла между волновыми векторами, равен 0,5 / sint
, т. е. практически совпадает с
(5.3). Чем больше угол между векторами, тем меньше период интерференционной картины. Изображение точки создаётся сходящейся сферической волной, дифрагировавшей на зрачке. Такую волну можно
представить как суперпозицию плоских волн с различными углами
наклона волновых векторов (рис. 5.3). Все эти составляющие волны
необходимы для формирования сферической волны
, но именно плоские волны, распространяющиеся под большими углами к оси, определяют радиус дифракционного изображения. Таким образом, для
уменьшения влияния дифракции надо увеличивать угол наклона апертурных лучей к оси, т. е. увеличивать числовую апертуру
. Для этого следует увеличивать диаметры линз при неизменных фокусных расстояниях, увеличивать относительное отверстие оптической системы
. Предел увеличению относительного отверстия определяют
/Df
аберрации ОС (см. разд. 5.3).
D
P
A
0
A
N
Рис. 5.2 Рис. 5.3
63
Для изображения в бесконечности в формуле (5.1) следует перейти
p
М
В
A
В
M
, p
от линейных размеров к угловым при
. Тогда получаем фор-
д
мулу, совпадающую с известной формулой углового радиуса первого
тёмного кольца при дифракции плоской волны на круглом отверстии:
/1,22/.
(5.5)
дд
D
Если изображение формируется излучением в широкой спектральной полосе, то общее распределение интенсивности равно сумме распределений интенсивности отдельных спектральных компонентов.
Дифракционные минимумы разных компонентов не совпадают, так как
радиус
глаза имеет максимум на длине волны
зависит от длины волны. Спектральная чувствительность
д
= 555 нм (подробнее это рас-
смотрено в гл. 6). Поэтому для глаза и визуальных приборов радиус
реального распределения интенсивности можно оценивать по
при
д
= 555 нм.
Радиус кружка рассеяния в изображении точки определяет разрешающую способность ОС, глубину резкости, погрешности поперечного наведения и погрешность фокусировки (см. разд. 5.5).
5.1.2. Глубина дифракционного изображения точки
Оценим глубину дифракционного изображения точки, т. е. полудлину
сматривать интерференцию волн из краёв зрачка, как это делалось при
оценке
наблюдения вдоль оси волны из этих точек всегда в фазе. Рассмотрим
изменение разности хода волн из центра выходного зрачка
края зрачка
лучей между сопряжёнными точками предмета и изображения одинакова. При перемещении точки наблюдения
меняется только разность хода волн, исходящих из точек
Определим расстояние, на которое должна сместиться точка
разность хода волн изменилась на
ном приближении равна
L главного дифракционного максимума (см. рис. 5.1). Рас-
д
, не имеет смысла, поскольку при перемещении точки
д
Р
и из
(рис. 5.4). Оптическая длина осевого и апертурного
вдоль оси от точки
Р
и М.
, чтобы
/2
. Разность хода в параксиаль-
0
BPB p D p p D p p D p
22 2 2
(/2) [1(/8 )] /(8).
64
Р'
М
В'
А
В
A
z
равно
0
;
(5.6)
0
Рис. 5.4
Здесь
– расстояние от центра зрачка до точки наблюдения. Измене-
p
ние разности хода при смещении точки
(/) /(8) /2ZZppDpp
22 2
4/ /.pp D A
22
Для круглого равномерно освещённого зрачка первый нуль интенсивности на оси находится на расстоянии
2
(5.7)
от точки
2/LA
д 0
. Оценка (5.6) по двум лучам отличается от точного реше-
0
ния (5.7) всего в два раза. Чем больше диаметр выходного зрачка ОС,
тем меньше расплывается дифракционное распределение интенсивности вдоль оси. Осевая полудлина главного дифракционного максимума
определяет глубину резко видимого пространства.
5.2. Хроматические аберрации
Показатель преломления любого оптического материала зависит от
длины волны излучения. Эта зависимость, дисперсия света, нарушает
стигматичность изображения, так как лучи разных длин волн преломляются по-разному. Чем шире спектр излучения, тем заметнее неточечность изображения.
5.2.1. Хроматизм положения
Хроматизм положения, или продольная хроматическая аберрация
положения изображения, – несовпадение плоскостей изображения для
разных цветов
и
1
(рис. 5.5), которое проявляется в постепенном
2
65
изменении цвета изображения от синего до красного при плавной пе-
А
А
s
A
В
В
В
s
A
A
s
f
рефокусировке. Хроматизм положения определяют как осевое расстояние между двумя изображениями точки
ss
хр
12
A, точками
при
1
(5.8)
.
12
и
1
y
,
12
:
2
1
1
2
s
,
2
12
Рис. 5.5
Если предмет находится в бесконечности, то хроматизм положения
равен расстоянию между задними фокусами линзы
F
F
и
1
.
2
Рассмотрим дисперсию параксиальной оптической силы тонкой
линзы (3.10):
Ф 1/ ( 1)(1/ 1/ ) ; Ф /(1/1/)
nrr ffnrr
12 12
2
.
Тогда относительная дисперсия фокусного расстояния равна
//(1)1/fff nn
(1)nn
– коэффициент дисперсии. Таким обра-
, (5.9)
где показатель
интервала
, а
n преломления берётся в какой-нибудь средней точке
зом, относительная дисперсия параксиального фокусного расстояния
тонкой линзы зависит только от коэффициента дисперсии оптического
материала, но не зависит от радиусов кривизны. Дисперсия
фициент дисперсии
, служащий удобным параметром для расчёта
n
и коэф-
хроматических аберраций, измерены для всех оптических стёкол [13].
5.2.2. Хроматизм увеличения
Хроматизм увеличения или хроматическая аберрация величины
изображения – это изменение величины изображения в зависимости от
длины волны (рис. 5.5):
66
f
f
f
,
12 1 2
.yyy
(5.10)
Линейное увеличение (3.17) зависит от фокусного расстояния:
/ / ()/ ; () () /yy fz f z y f yz
(/) .yyzf
хр хр
(5.11)
;
Даже если совпадают фокусы линзы для двух цветов, могут не совпадать её главные плоскости, из-за чего фокусные расстояния будут
разными. Поэтому хроматизм увеличения – независимая от хроматизма положения аберрация. По (5.11) хроматизм увеличения пропорционален величине предмета. Этим объясняется хорошо заметное в биноклях окрашивание точек изображения, усиливающееся к
краям поля
зрения.
5.2.3. Ахроматизация
Хроматизм фокусного расстояния двухлинзовой системы для двух
длин волн можно устранить подбором материалов линз. Оптическая
сила тонкой двухкомпонентной системы (3.10) равна
Ф 1/ ФФ 1/ 1/ ;
Ф / ФФ/ Ф 1,
/, /
– относительные оптические силы компо-
где
112 2
fff
12 1 2
1212
ff
нентов.
Пусть дисперсия оптической силы системы равна нулю (условие
ахроматизации):
(5.12)
22
11 2 2
, с учётом (5.9) получаем
//0.
11 2 2
(5.14)
(5.13)
Умножив (5.13) на
Ф (/ )( / )0.ff f f
При заданных коэффициентах дисперсии стёкол система уравнений (5.12), (5.14) имеет однозначное решение
/( ), /( ).
(5.15)
1112 2 2 12
67
Видно, что независимо от знака
f
f
жительная, а другая отрицательная. Кроме того, обязательно
Малый коэффициент дисперсии
сии
характерен для стёкол типа «флинт». А большое значение ,
,n
одна из линз обязательно поло-
.
12
, т. е. большая величина диспер-
т. е. малая дисперсия, – для стёкол типа «крон». Двухлинзовую пару
«крон – флинт» часто выполняют в виде склейки. В этом случае опти-
ческие силы двух линз зависят в сумме от трёх радиусов кривизны.
Следовательно, один из радиусов – свободный параметр. Изменяя его,
уменьшают сферическую аберрацию (см. разд. 5.3). Двухлинзовая пара
с устранённым продольным
хроматизмом для двух длин волн и ча-
стично исправленной сферической аберрацией называется ахроматом.
Для измерения хроматических аберраций обычно используют газоразрядные лампы, наполненные водородом
металлов – ртути Hg , натрия
Na , калия K или кадмия Cd . Спектр
H , гелием He или парами
излучения таких ламп представляет собой набор узких спектральных
линий.
Пара длин волн, для которой устраняется продольный хроматизм,
зависит от назначения оптической системы. В оптике визуальных приборов хроматизм устраняют для «красной» (
лубой» (
= 486,1 нм) длин волн. При этом за среднюю точку
(H)
F
= 656,3 нм) и «го-
(H)
C
спектрального диапазона берут «жёлтую» длину волны излучения
натриевой лампы
D
= 589,3 нм.
(Na)
Хроматизм в двухлинзовом ахромате полностью устраняется только для двух длин волн. На других длинах волн он уменьшается, но не
исчезает. Этот остаточный хроматизм называют вторичным спектром.
Для его уменьшения в систему вводят дополнительные па´ры или даже
тройки стёкол с разными коэффициентами дисперсии. Такие системы
называются апохроматами.
Задача. Рассчитать двухлинзовый объектив-ахромат с фокусным
расстоянием
= 100 мм для визуального прибора.
Используем стёкла крон К8 и флинт Ф1. Для стекла К8 коэффициент дисперсии для
D линии равен
= 64,05, для Ф1
D
= 36,93 [13].
D
Положительную линзу делают из стекла с бóльшим коэффициентом
дисперсии, в данном случае из крона, т. е.
64,05, тогда
1
=36,93.
2
По формуле (5.15) получаем относительные оптические силы линз:
/( ) /ff
1112 1
68
= 2,36,
/( ) /ff
= – 1,36.
2212 2
Видно, что это решение удовлетворяет уравнению (5.12).
Отсюда фокусные расстояния первого, кронового, и второго, флинтового, компонентов соответственно равны:
ff
11
ff
22
100/2,36 = 42,37 мм,
–100/1,36 = –73,53 мм.
Дальнейшее уточнение решения заключается в пересчёте линз с
нулевых на конечные толщины с сохранением фокусных расстояний
(здесь не рассматривается).
5.3. Геометрические аберрации
С увеличением диаметров линз, с ростом апертурных углов возрастает погрешность параксиального приближения в расчёте хода лучей.
Если учесть следующий, третий порядок, в разложении синуса
sin / 6
3
, (5.16)
то нарушается линейность закона преломления и связей углов с высотами, характерная для параксиальной области (см. разд. 2.3). Из формулы (2.1), заменяя синусы на соответствующие выражения (5.16),
можно по аналогии с (2.4) показать, что стигматичность изображения
при этом нарушается: положение точки пересечения луча с осью зависит от его угла наклона к оси,
т. е. от его высоты на преломляющей
поверхности. Аберрации, вызванные нелинейностью закона преломления, приближённого или точного, и нелинейностью связи высот и углов, называются геометрическими, или монохроматическими, аберрациями, поскольку они существуют и при монохроматическом освещении. Геометрические аберрации, соответствующие приближённому
закону (5.16), называются аберрациями третьего порядка, или первичными аберрациями
осесимметричной оптической системы как линзовой, так и зеркальной. В разъюстированной системе возникают аберрации первого и второго порядка по углу.
69
5.3.1. Сферическая аберрация
А
А
P
P
s
А
А
А
А
s
y
y
Рассмотрим формирование аберрационного изображения осевой
. Попе-
0
, пере-
h
P
~yh
, не
3
кр
точки (рис. 5.6). Действительный луч пересекает ось в точке
совпадающей с осевой точкой параксиального изображения
речная аберрация
~~ ~~
yhhh
P
, где
hh h
,,
PP
– высоты
3333
луча на преломляющей поверхности, на входном и выходном зрачке
соответственно. Продольная аберрация
,ys
зависят только от
, то все действительные лучи, пересека-
h
P
~/~
yh
2
. Поскольку
ющие плоскость выходного зрачка по окружности радиуса
секутся на оси в одной точке
. На рис. 5.7 показан ход лучей за положительной линзой, формирующей действительное изображение осевой точки (отклонения от параксиального изображения сильно преувеличены). Параксиальные лучи 1, 2 сходятся в точке
. Средние лучи
0
3, 4, идущие на половине максимальной высоты, пересекают ось ближе
к линзе, в точке
соте, равной
. Крайние лучи, проходящие на максимальной вы-
ср
/2D
, пересекают ось ещё ближе к линзе, в точке
Таким образом, продольная сферическая аберрация третьего порядка
для всех лучей, проходящих через положительную линзу, отрицательна, причём максимальное значение аберраций для крайних лучей
кр
22
~~
DD
.
Точки пересечения всех крайних лучей с плоскостью параксиаль-
ного изображения образуют окружность радиусом
3
~( /2)D
. Аналогично точки пересечения всех средних лучей обра-
кр max
зуют в плоскости параксиального изображения окружность радиусом
33
~~(/2)yh D
ср max
, в 8 раз меньшим, чем
. Таким образом,
кр
аберрационным «изображением» точки является осесимметричное
распределение интенсивности, заключённое в пределах кружка рассея-
ния радиусом
. Аберрация, нарушающая гомоцентричность пучка
кр
при сохранении его симметрии относительно оси пучка, называется
сферической аберрацией. Чем больше диаметр входного (выходного)
зрачка или относительное отверстие системы
, тем больше сфе-
/Df
рическая аберрация.
70
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]