Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы оптики. Теория оптического изображения. Учебное пособие
.pdf
ся в пучок, концентричный поверхности. Как и в предыдущем случае,
А
С
А
апланатические точки
А и
совпадают.
Одна из апланатических точек мнимая. Если угол падения луча на
поверхность равен (рис. 2.8, в; см. также рис. 2.1)
, (2.15)
то в соответствии с (2.3)
(2.16)
.
Тогда с учётом точного закона преломления
sin / ( sin ) sin / ( sin ) ( / ) const.nn nn nn
О
АА
а б в
С
А, А
Рис. 2.8
А
2
(2.17)
Для вогнутой поверхности апланатическая точка изображения,
определяемая уравнениями (2.15) и (2.16), является мнимой.
Очевидно, что отклонения от стигматичности в плоскости изображения по мере отхода от апланатической точки нарастают плавно. Искажения изображения малого участка предметной плоскости, прилегающего к предметной апланатической точке, невелики. Поэтому
апланатические точки второго и третьего типов применяют в
оптиче-
ских системах для повышения качества изображения [12].
Докажите, что для выпуклой поверхности уравнениям (2.15) и
(2.16) соответствует мнимая апланатическая точка предмета.
2.12. Асферические поверхности
С помощью несферической поверхности можно широкоугольным
пучком сформировать стигматическое изображение в любой точке оси.
Рассмотрим частный случай – предмет в бесконечности (рис. 2.9). Согласно принципу Ферма, оптическая длина любого луча между сопряжёнными точками должна быть неизменной. Длины осевого и внеосе-
21
вого параллельных лучей от предметной точки до плоскости, прохо-
А
A
дящей через вершину преломляющей поверхности перпендикулярно
оси, одинаковы. Поэтому одинаковы и оптические длины этих лучей
от этой плоскости до точки изображения
Подставляя в (2.18)
na nz n b
. (2.18)
22
()bhaz
:
и избавляясь от иррацио-
нальности, получаем уравнение поверхности
22
20,hpzqz
(2.19)
(/ 1); 1(/ )pann q nn
nn
Случай 0q соответствует
ние эллипса. При 0q
и
nn
, и (2.19) превращается в уравне-
получаем уравнение гиперболы. Слу-
чай 0q распадается на два. Первый, когда
nn
сутствует. Второй случай
соответствует отражению. Уравне-
ние (2.19) преобразуется в уравнение параболического зеркала
2
.
nn
и преломление от-
2
h
20pz. Такое зеркало широкий параллельный пучок фокусирует в
точку на оси либо, наоборот, значительную часть излучения точечного
источника преобразует в параллельный пучок.
n
h
O
z
r
Рис. 2.9 Рис. 2.10
b
n
F
F
1
a
2
Отражатели излучающих систем – радиоантенны, зеркала прожекторов и фар чаще всего имеют форму параболоида, параболоида вращения, если источник излучения компактный, и параболического цилиндра, если излучатель линейный.
22
Линейные лампы используются в твердотельных лазерах для
F
F
F
F
накачки, т. е. освещения стержневого активного элемента с целью создания в нём возбуждённых атомов. Типичный концентратор излучения накачки представляет собой зеркальный прямой эллипсоидальный
цилиндр, в фокальных линиях которого помещают лампу накачки и
активный стержень. На рис. 2.10 показано главное сечение цилиндра,
перпендикулярное его
образующей, точки
Каждый луч в главном сечении, исходящий из
зеркальной поверхности эллипса попадёт в
и
1
2
– фокусы эллипса.
2
, после отражения от
1
. Нетрудно показать, что
любое сечение цилиндра является эллипсом, фокусы которого лежат на
фокальных линиях. Поэтому любой луч из одной фокальной линии после отражения от цилиндра попадёт в точку другой фокальной линии.
В системах формирования изображения требования к качеству изготовления асферических поверхностей обычно выше, чем в осветительных системах.
Несферические поверхности сложнее сферических
в изготовлении, однако их всё шире применяют для повышения качества изображения, увеличения поля зрения и светосилы, замены многолинзовой системы более простой с меньшим числом линз и зеркал [13].
23
A
A
3. ИДЕАЛЬНАЯ ЦЕНТРИРОВАННАЯ
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Если центры кривизны и вершины всех преломляющих и отражающих поверхностей оптической системы (ОС) лежат на одной прямой,
то эта прямая – ось симметрии системы (рис. 3.1). Каждая поверхность
преобразует гомоцентрический пучок в гомоцентрический. Изображение
для следующей ( 1i)-й поверхности и т. д. Таким образом, центрированная ОС формирует стигматическое изображение точки, по крайней
мере, в параксиальной области. Угол наклона луча относительно оси
между преломляющими поверхностями
формулы (2.6), записанной для
равно
, сформированное i -й поверхностью, служит предметом
i
можно найти из
1ii
1i
i -й поверхности:
(3.1)
nn nh
ii i i ii i
11
Ф .
Согласно рис. 3.1 изменение высоты луча между поверхностями
где
или
hh h d
– расстояние от вершины i-й поверхности до вершины (1)i-й
d
i
11
iiii
,
hhd
11iiii
, (3.2)
поверхности.
На рис. 3.1 высоты лучей отложены не на сферических поверхностях, а на прилегающих плоскостях – это приближение нулевых лучей
(см. разд. 2.3 и рис. 2.2). В параксиальном приближении длина луча
между поверхностями равна
ностей все
. Если есть зеркальная поверхность, то длину хода
0
d
i
. В системе из преломляющих поверх-
d
i
отражённого луча вдоль оси, т. е. расстояние от вершины зеркала до
вершины следующей поверхности, следует считать отрицательной:
dd
. На следующей поверхности положительным будет направ-
1ii
ление луча справа налево. При этом все радиусы кривизны сменят
знак, однако оптические силы поверхностей не изменятся.
24
n
y
i
y
i
A
i
i
O
Ф
h
i
i
i
i
nn
y
AA
i
1ii
1,ii
1i
1Фi
n
1i
O
h
1i
1i
1i
1i
A
1i
a
i
a
i
d
i
1ia
a
1i
Рис. 3.1
Если известны угол наклона предметного луча
и его высота
1
h
1
на первой поверхности, то можно найти эти параметры на всех поверхностях ОС, последовательно применяя формулы (3.1) и (3.2). На рис. 3.2
показаны два цикла этого алгоритма.
Расчёт высот и углов параксиальных лучей
в центрированной оптической системе
(3.1)
nn nh
1
2
ii i i ii i
(3.1)
11
hhd
11iiii
3
h
2
Рис. 3.2
Ф
(3.2)
(3.2)
2
h
1
h
2
h
3
Для каждой поверхности сохраняется инвариант Лагранжа–Гельмгольца:
ny ny n y n y
11 1 11 1 2 2 2
или ny n y
... ,
mm m
25
, (3.3)
где
E
A
E
B
F
D
F
yy
– величина предмета перед ОС,
1
жения, сформированного ОС, а
yy
,
1
– величина изобра-
m
– углы наклона сопря-
m
жённых лучей через осевые точки предмета и изображения. Таким образом, инвариант Лагранжа–Гельмгольца является полным инвариантом центрированной оптической системы.
Таблица 3.1
r
1
n
d
Рис. 3.3
r
2
r
i
r
1
r
2
r
1
1
Ф
Ф
Ф
Ф
i
1
2
1
d
i
1
d
d
n
i
n
n
Задача. С учётом правила знаков записать последовательность ра-
диусов кривизны, оптических сил, осевых толщин и показателей преломления для луча, падающего на линзу с зеркальной задней поверхностью (рис. 3.3 и табл. 3.1).
3.1. Кардинальные точки и главные плоскости ОС
У оптической системы, состоящей из m сферических поверхностей, существуют передний и задний параксиальные фокусы, как и у
одиночной поверхности. Однако фокусные расстояния определяются
по-другому – от главных точек. Рассмотрим их свойства. Пустим
AB параллельно оси на высоте h (рис. 3.4). С ним сопряжён пре-
луч
ломлённый луч
оптической системы зависит от её параметров. Например, в однородной линзе, ограниченной двумя сферическими поверхностями, действительным будет луч
чения в точке
Теперь на той же высоте
раллельный оси. С ним сопряжён луч
рядке все оптические поверхности и пересекающий ось в точке
Продолжим лучи
ложена, естественно, на той же высоте
пу обратимости падающий луч
F
. Действительный ход луча от
B к
E . Продолжим сопряжённые лучи до пересе-
K
. Высота этой точки относительно оси
KH h
h в обратном ходе пустим луч DC , па-
GF , прошедший в обратном по-
C и GF до пересечения в точке K , которая распо-
h , что и точка K
. По принци-
G преломится в луч CD .
26
F
внутри
.
.
F H H
A B K
D E
F
K'
F
F
–
A
F
E
H
F
F
f
Рис. 3.4
m
h
m
s
h
'
1
C
h
G
s
h
1
h h
f
В прямом ходе точка K образована пересечением падающих лучей
B и
F
G , а точка K
и CD . Следовательно, точки K и K сопряжены, по принципу
– пересечением сопряжённых с ними лучей
достаточности двух меридиональных лучей любой падающий луч че-
K после преломления пройдёт через K
рез
те
h .
Высота
h выбрана произвольно, следовательно, сопряжены любые
, лежащую на той же высо-
две точки, лежащие на одном расстоянии от оси в меридиональном
сечении плоскостей
KH и KH
Сопряжены и осевые точки ,HH
преломившись, пройдёт через
Отрезок
KH – предмет, а KH
, перпендикулярных оптической оси.
: любой луч, проходящий через H,
H
.
– изображение. Отношение линейных размеров изображения и предмета, перпендикулярных оптической
оси, называется линейным увеличением ОС. Таким образом, мы доказали наличие у оптической системы плоскостей, сопряженных с линейным увеличением
/1KH KH
. Такие плоскости называются
главными плоскостями. У любой оптической системы, за исключением
телескопической, есть главные плоскости.
Осевые точки главных плоскостей
точками. Задание главных
H и H
и H называются главными
и фокальных точек Fи
пол-
ностью определяет преобразование, осуществляемое оптической системой. Поэтому эти точки называют кардинальными точками ОС.
В параксиальном приближении для всех преломлённых лучей, сходящихся в заднем фокусе
углу наклона преломлённого луча
одиночной поверхности. Поэтому отрезок
, отношение высоты падающего луча к
/ consthHF
, как и в случае
HF
, отсчитанный от зад-
27
ней главной точки Hдо заднего фокуа
F
F
f
H
F
s
s
s
А
s
s
фокусное расстояние ОС. Задний фокальный отрезок
расстояние от вершины последней поверхности ОС до
случае отличается от
танный от передней главной точки
. Аналогично отрезок /HF f h, отсчи-
до переднего фокуса F, назы-
, и принимают за заднее
sh
Fm
/
, в общем
,
вают передним фокусным расстоянием оптической системы. Передний
фокальный отрезок – расстояние от вершины первой поверхности до
переднего фокуса равен
Если задний фокус системы
sh
F
.
/
1
– действительная точка, то такая
система называется собирающей или положительной. Второй термин
справедлив, только для достаточно простой собирающей линзовой системы, у которой
Ф,0f . У собирающего зеркала 0f
. Если же
задний фокус – мнимый центр преобразованного пучка, то система
называется рассеивающей или отрицательной.
Для идеальной центрированной многокомпонентной системы можно использовать формулу преломляющей поверхности (2.7 или 2.13),
если отсчитывать отрезки
от главных плоскостей. Действительно,
,aa
вспомним, что при выводе этих формул учитывалась единая высота падающего и преломлённого лучей на поверхности (рис. 2.2 и 3.5, а).
Но в многокомпонентной системе высоты сопряжённых падающего и
преломлённого лучей равны именно на главных плоскостях (рис. 3.5, б).
h
A
-a
а б
O
a
A
A
-a
Рис. 3.5
h
h
H
H
a
A
Расстояние s от вершины первой поверхности оптической системы
до точки пересечения падающего луча с осью, т. е. до осевой точ-
и
от вер-
a
. От-
ки предмета, называется передним отрезком. Расстояние
шины последней поверхности до точки
отрезком. Из рис. 3.5, б видно, что в общем случае
резки
a
и a не имеют особого названия.
28
системы называется задним
a
3.2. Плоскопараллельная пластинка
A
A
A
A
Плоскопараллельная пластинка любой наклонно падающий луч
смещает параллельно самому себе (рис. 3.6). Сопряжённые лучи 1 и 1
параллельны. В параксиальном приближении, кроме того, пластинка
преобразует гомоцентрический пучок в гомоцентрический. Точка
изображение точки
, созданное пластинкой. Таким образом, пластинка смещает гомоцентрический пучок как целое вдоль оси, перпендикулярной плоскостям пластинки. Определим осевое смещение
центра пучка для пластинки в воздухе (
d
r
h
1
h
–а1
А'
1
–а2
Рис. 3.6
13
d
).
1nn
1'
h
2
–
Радиус кривизны плоскости
. Поэтому оптические силы по-
r
верхностей и в целом оптическая сила пластинки равны нулю. Уравнение (3.1) преобразуется в параксиальный закон преломления на плоской границе:
второй плоскости
от второй плоскости
11 11
(/)//()(1)/.dhd n h dn n
11 11 1
,/nn
. Удаление изображения
21 11 1
221
. Из (3.2) найдём высоту луча на
/hhd hd n
. Тогда
/ah
12
(3.4)
;ad a
Эта величина всегда положительна. Следовательно, плоскопараллельная пластинка центр любого гомоцентрического пучка, сходящегося
или расходящегося, смещает по ходу луча на расстояние
.
Если бы падающий луч распространялся от первой плоскости в
воздухе без преломления (штриховое продолжение луча 1), то высоту
он приобрёл бы на расстоянии
h
2
29
dh hh dn
r
/( ) ( )/( ) /
(3.5)
121 1
вдоль оси. Таким образом, в направлении, перпендикулярном оси, воздушный промежуток толщиной
скопараллельная пластинка. Эту толщину
/dn смещает луч так же, как и пло-
/dn называют редуциро-
ванной толщиной плоскопараллельной пластинки.
В оптических приборах широко применяют отражательные призмы
и призменные системы для изменения хода лучей, оборачивания изображения, уменьшения габаритов прибора и т. д. В параксиальном приближении отражательная призма смещает пучок и поворачивает как
целое, но не деформирует его и не изменяет углы наклона
лучей к оси.
В этом отношении отражательная призма эквивалентна плоскопараллельной пластинке, которую, как мы видим, можно свести (редуцировать) к воздушному промежутку. Таким образом, на первом этапе разработки прибора можно ограничиться анализом оптической схемы,
состоящей только из линз.
Задача. Доказать, что плоскопараллельная пластинка изображение
мнимой осевой точки
Асмещает по ходу луча на
.
3.3. Толстые линзы, двухкомпонентные системы
Определим кардинальные характеристики линзы с осевой толщи-
ной
d и показателем преломления
верхностями с радиусами кривизны
только первая и последняя поверхности оптической системы, поэтому
её вполне можно рассматривать как двухкомпонентную. Очевидно,
13 2
1; .nn n n
на произвольной высоте
Пустим на линзу луч, параллельный оси (
h . Применяя формулы (3.1 и 3.2) сначала к
1
первой, а затем ко второй поверхности, находим
n
, ограниченной сферическими по-
. На рис. 3.4 изображены
,rr
12
1
),
0
[ФФ ФФ/].nh dn
33 1 1 2 1 2
Введём понятие эквивалентной оптической силы всей системы
удовлетворяющее формулам (3.1), (3.2):
33 1
определение заднего фокусного расстояния
Ф //ФФФФ/.nhnf dn
33 1 3 1 2 1 2
Выражение (3.6) не меняется при замене
. Тогда, учитывая
Фnh
, получаем
/fh
3
ФФ
12
. С учётом инва-
Ф ,
(3.6)
риантности оптической силы поверхности (2.7) к обращению хода
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]