Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы оптики. Теория оптического изображения. Учебное пособие
.pdf
лучей это означает, что оптическая сила двухкомпонентной системы
f
также является инвариантом. Проделаем все вычисления для обратного
хода лучей, считая положительным это обратное направление, найдём
связь
Ф и
. Затем вернёмся опять к прямому ходу, сменив знаки про-
дольных отрезков на противоположные. Нетрудно показать, что связь
фокусных расстояний по формуле (2.12) справедлива для любой цен-
трированной ОС:
Ф //nf n f
. Для линзы в воздухе оптическая
сила (3.6) равна
Ф 1/ 1/ ( 1)(1/ 1/ ) ( 1) / .ffnrrdnnrr
12 12
2
(3.7)
Переднее и заднее фокусные расстояния оптической системы, помещённой в однородную среду, равны по модулю, даже если система
несимметрична относительно обращения хода лучей, как, например,
выпукло-вогнутая линза. Это следствие параксиального закона преломления. У сферического зеркала передний и задний фокусы вообще
совпадают. Однако положение фокусов и главных точек зависит
от
формы линзы. Задний фокальный отрезок линзы
sh f Ф dn f dn nr
F
/(1/)[1(1)/].
23 1 1
(3.8)
Выражение для переднего фокального отрезка можно получить из
(3.8) заменой
Внимание! В формуле переднего фокального отрезка в [13, с. 74] после
единицы в квадратных скобках поставлен «минус». Эта ошибка легко обнаруживается при расчёте симметричной, например, двояковыпуклой линзы.
, ФФff
:
sfФ dn f dn nr
F
12
(1 / ) [1 ( 1) / ].
22 2
Рис. 3.7
(3.9)
31
На рис. 3.5 приведены примеры расположения главных плоскостей
f
f
f
A
F
для некоторых типов линз. В сложных системах главные плоско-
,HH
сти могут быть расположены в обратной последовательности:
df
Оптическая сила тонкой линзы (при
, формально при
0d ) равна сумме оптических сил компонентов:
,HH
.
ФФ Ф ( 1)(1/ 1/ ) 1/nrrf
12 1 2
. (3.10)
Формулы (3.6), (3.8), (3.9) справедливы для любой системы двух
тонких компонентов. В частности, для двух линз в воздухе
Ф 1/
22
, 1n эквивалентная оптическая сила равна
Ф 1/ 1/ 1/ / .
ffdff
(3.11)
12 12
Ф 1/
11
3.4. Графические методы построения изображения
Чтобы определить на рисунке ход произвольного луча через оптическую систему, проводят связанные с этим лучом вспомогательные
лучи, ход которых известен. Для тонких линз в однородной среде
можно применять луч через осевую точку линзы, идущий без преломления. Ниже рассмотрены некоторые методы построения изображения.
3.4.1. Собирающая (положительная) ОС
Вспомогательный луч через фокус. На рис. 3.8 требуется определить положение изображения точки
вольный внеосевой луч до пересечения с первой поверхностью системы, продолжим его до передней главной плоскости, переносим точку
пересечения на заднюю главную плоскость на той же высоте. Чтобы
определить дальнейший ход луча, проводим вспомогательный луч че-
, параллельный исходному лучу.
рез
Графически определяем для вспомогательного луча сопряжённые
точки на главных плоскостях. Преломлённый вспомогательный луч
параллелен оси. Падающие лучи, исходный и вспомогательный, параллельны, поэтому преломлённые лучи пересекутся во внеосевой
точке задней фокальной плоскости.
Вспомогательный луч через фокальную плоскость. На рис. 3.9
вспомогательный луч, параллельный оси, проводится из точки пересечения исходного луча с передней фокальной плоскостью. Преломлён-
. Проводим через неё произ-
,
32
ные лучи параллельны. Вспомогательные лучи удобно применять для
F
H
A
A
F
F
H
H
A
A
F
F'H
H' A
A
B
В
B
A
B
F
F
F
F
построения изображения наклонного отрезка (см. рис. 2.3).
F
Рис. 3.8 Рис. 3.9
H
'
Рис. 3.10
Вспомогательный предмет. Из осевой точки A (рис. 3.10), изоб-
ражение которой необходимо определить, восстанавливают отрезок
AB , перпендикулярный оси. Из внеосевой точки
через точку F и параллельный оси. Изображение
дикуляре из
к оси. Другой пример построения изображения пред-
проводят два луча:
лежит на перпен-
мета, перпендикулярного оси, представлен на рис. 3.14.
3.4.2. Рассеивающая (отрицательная) ОС
Пучок, параллельный оси, преломляется в расходящийся (рис. 3.11).
Задний фокус
раллельным оси (рис. 3.12), сопряжён падающий пучок, сходящийся в
переднем фокусе
фокусов, часто приводящие к ошибкам в построении лучей, «привязаны» к собирающей ОС. Универсальнее были бы названия «предметный
фокус» или «фокус пространства предметов» для
пространства изображений» или «фокус преломлённых лучей».
Во всяком случае, при построении лучей следует помнить, что, вопервых, с падающими лучами связан передний фокус ОС любого типа,
а с преломлёнными – задний. Во-вторых, каким бы сложным ни было
расположен перед ОС. С преломлённым пучком, па-
, расположенном после ОС. Неудачные названия
, а для
– «фокус
33
вспомогательное построение, каждому действительному падающему
F
H
H
H
H
f
F
F
F
F H
H
A
A
F
F
A
лучу должен соответствовать действительный преломлённый луч.
F
f
s
F
s
F
Рис. 3.11 Рис. 3.12
Вспомогательный луч через фокус. Вспомогательный луч 2, параллельный основному лучу 1, проходит через
пересечения с плоскостью
лённый луч 2
параллелен оси. Падающему параллельному пучку 1 и 2
H переносится на плоскость H
(рис. 3.13). Точка его
. Прелом-
соответствует расходящийся преломлённый пучок с центром в плоско-
сти
. Этот центр определяется по лучу 2.
1
2
Рис. 3.13
1
2
Вспомогательный луч через фокальную плоскость. Основной луч 1,
ход которого требуется построить, и вспомогательный луч 2, параллельный оси, пересекаются во внеосевой точке плоскости
(рис. 3.14). Преломлённый луч 2
лен 2
. Отметим, что осевой предмет A и изображение
идёт через
34
, а луч 1 паралле-
– мнимые.
F
F
H
H
A
B
F
F
H
H
A
F
A
A
f
1
2
1
2
B
A
Рис. 3.14 Рис. 3.15
A
Вспомогательный предмет. Из внеосевой точки B предмета проведены два луча: через
и параллельный оси (рис. 3.15).
3.5. Формулы Гаусса, Ньютона
На рис. 3.16 методом двух лучей из внеосевой точки предмета по-
B
строено изображение
полнительно построены сопряжённые лучи
точками
HC H C h
A и
. Тогда углы
. В главных плоскостях высоты этих лучей равны
же, как и в случае одиночной поверхности:
фокусные расстояния также следует отсчитывать от главных плоско-
стей. Тогда формула (2.13) становится справедливой для любой идеальной оптической системы. Преобразуем (2.13) в формулу Гаусса
переходящую в случае однородной среды, окружающей ОС (,nn
), в формулу линзы, справедливую при любых знаках
f
предмета AB , перпендикулярного оси. До-
между осевыми
,ACCA
и осевые отрезки
,
haa
//1,fa fa
1/ 1/ 1/ .aaf
(3.12)
(3.13)
связаны так
,aa
. Естественно,
,,aa f
:
Расстояние от вершины первой поверхности ОС до осевой точки
предмета – передний отрезок
/sh , а расстояние от вершины по-
1
следней поверхности ОС до осевой точки изображения – задний отре-
sh
зок
переднего и заднего фокусов
/
. Вводят также удаления предмета и изображения от
m
:
,zz
zaf ss z a f s s
;.
FF
35
(3.14)
HM D B y A z
–
F
's'F
F
F
D' H' A'–
В
z
B
B
B
s
1
h
1
s
C
h
h
C'
M'
m
h
m
'
y'
s'
'
'
a
Подставляя в (3.12) ;,azfa z f
–f
Рис. 3.16
получаем формулу Нью-
f'
а'
тона
zz ff
;
при
(3.15)
.ff
2
zz f
3.6. Увеличения оптической системы
Преобразование, осуществляемое оптической системой, характеризуют линейным, угловым и продольным увеличением – отношением
двух числовых величин. Для визуальных приборов, кроме того, вводят
понятие видимого увеличения (см. раздел. 4.2).
Линейное увеличение – это отношение длин отрезков изображения
и предмета, перпендикулярных оси, равное из теоремы Лагранжа–
Гельмгольца
nn
//yyn n
; при
Таким образом, теорема показывает, что чем больше линейное увеличение, тем уже пучки, формирующие изображение каждой точки.
Из внеосевой точки предмета
лельный оси, и луч
M через передний фокус. Сопряжённые лучи
проведём два луча – луч
пройдут соответственно через задний фокус и параллельно оси. Из подобия треугольников ,ABF MHF , а также треугольников
/
. (3.16)
D , парал-
,HDF ABF
36
(рис. 3.16) получаем связь увеличения с осевым удалением точки
M
D
f
предмета или изображения от соответствующего фокуса:
///.yy fz z f
(3.17)
Из подобия треугольников ,
,
HF DMB
получаем
/( ) / , / /( )yyy faaf yyy
HF MDB , а также треугольников
, от-
куда
; при
/fafa
faa
. (3.18)
/
Формулы (3.17), (3.18) показывают, что линейное увеличение в параксиальной области зависит от осевой координаты точки предмета, но
y
не зависит от смещения
этой точки относительно оси предмета.
Следовательно, изображение любого предмета, лежащего в плоскости,
перпендикулярной оптической оси, подобно самому предмету.
Угловое увеличение – это отношение углов, образованных сопряжёнными лучами с осью в пространстве изображений и в пространстве
предметов (рис. 3.16):
/.
(3.19)
Из теоремы Лагранжа–Гельмгольца (разд. 2.9) и формулы (3.16)
находим, что угловое увеличение обратно пропорционально линейному:
; при
/nn
Осевые сопряжённые точки, для которых угловое увеличение 1
1/ . (3.20)
,
nn
называются узловыми точками. Луч, прошедший в пространстве предметов через переднюю узловую точку, после преломления пройдёт через заднюю узловую точку под тем же углом к оси. В главных плоскостях линейное увеличение 1
/nn
главных точках
. Следовательно, сопряжённые лучи, прохо-
дящие через главные точки, параллельны только при
. Тогда из (3.20) угловое увеличение в
nn
, когда оптическая система находится в однородной среде (рис. 3.17, а). Если
толщина ОС много меньше её фокусного расстояния, можно в пределе
считать толщину ОС равной нулю. В этом случае главные точки совпадают с центром ОС (рис. 3.15, б). Следовательно, любой луч через
центр бесконечно тонкой ОС, находящейся в однородной среде,
про-
ходит без преломления.
37
H
B'A'B
A
H
F
H
а б
Рис. 3.17
Внимание! Метод графического построения «луч через центр линзы»
можно использовать, если только явно указано, что линза тонкая и находится
в однородной среде, например, в воздухе. Для ОС произвольной толщины
этот метод несправедлив.
Продольное увеличение – это отношение малых сопряжённых от-
dz
резков
и dz , параллельных оптической оси:
Продифференцировав формулу Ньютона, получим
/dz dz
(рис. 3.18).
. От-
0zdz zdz
сюда
//zz f f
2
; при
2
.ff
(3.21)
Продольное увеличение в общем случае не равно линейному (поперечному). Это означает, что изображение предмета, вытянутого как
вдоль, так и перпендикулярно оптической оси, не подобно предмету.
H'
dz
–f
Рис. 3.18
F'
f'
В системе преломляющих поверхностей всегда
dz'
/0ff
и 0
.
Если предмет – отрезок, направленный вдоль оси, то сопряжённый с
ним отрезок направлен в ту же сторону. Иначе говоря, изображение
осевой точки смещается в ту же сторону вдоль оси, что сама предмет-
38
ная точка. Для зеркала
M
M
M
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
/1
ff
. Если в системе есть отражающая
поверхность или в общем случае нечётное число отражающих поверхностей, то
/0ff
и 0
. В этом случае изображение смеща-
ется в противоположном направлении, т. е. в направлении отражённого света.
Поэтому в любой ОС, если предмет перемещается по
направлению распространения падающего света, то изображение – в направлении распространения света, преобразованного
оптической системой.
3.7. Диафрагмы в оптических системах
Полевая диафрагма. Система линз
ражение предметной плоскости
ное изображение
Диафрагмы
1
N
, а линза
,
и
2
сопряжены. В параксиальном приближении
3
N . Линза
– вторичное изображение
L
2
(рис. 3.19) строит изоб-
,LL
12
L создаёт промежуточ-
1
N
любая из них будет одинаково ограничивать пучок, проходящий через
ОС. Действительно, любой луч, проходящий через край диафрагмы
пройдёт и через край
,
1
только
, то при анализе ограничения пучка, падающего на ОС,
2
можно рассматривать не физическую диафрагму
в пространство предметов, совпадающее с
ится в обратном ходе лучей через линзу
ляется частью оптической системы, предшествующей
, и через край
2
. Если в ОС установлена
3
, а её отображение
2
. Это изображение стро-
1
, которая в прямом ходе яв-
L
1
. При анализе
2
ограничения пучка, прошедшего через ОС, можно рассматривать изображение
, совпадающее с
2
ОС, следующей за диафрагмой
и созданное линзой
3
.
2
, т. е. частью
L
2
Полевая диафрагма (ПД) расположена в плоскости предмета или в
одной из плоскостей действительного изображения. Она ограничивает
линейное поле ОС – наибольший размер предмета или сопряжённый с
ним размер изображения. Если, например, плоскость диафрагмы
предметная плоскость, то любая из сопряжённых диафрагм
1
–
1
,
,
2
3
может служить полевой диафрагмой.
Апертурная диафрагма (АД) ограничивает пучок лучей, выходящих из осевой точки предмета. Если построить изображения всех диафрагм ОС в пространство предметов, то та диафрагма, которая видна
39
.
L
L
D
D
D
M
M
M
D
А
А
s
s
1
1
2
N
N
Рис. 3.19
2
3
N
из осевой точки предмета под наименьшим углом, и есть апертурная.
Полевая диафрагма не может быть апертурной, так как она, будучи
перенесённой в предметную плоскость, видна под наибольшим углом 180
. Изображение АД в пространстве предметов называется
входным зрачком ОС. На рис. 3.20, а показаны только верхние половины всех диафрагм. Плоскость и диаметр входного зрачка обозначаются буквой
D . Если перед апертурной диафрагмой нет оптических
элементов, то она и является входным зрачком. Изображение АД в
пространстве изображений – выходной зрачок ОС, обозначается
Графически положение сопряжённых плоскостей зрачков можно определить, если провести луч через центр АД – точку
P
. Тогда сопря-
Д
жённые лучи в пространстве предметов и в пространстве изображений
ОС пройдут через точки
P , P
– центры входного и выходного зрач-
ков. На рис. 3.20, а показан главный луч (ГЛ), проходящий из крайней
внеосевой точки предмета через P , P
P
,
в край изображения.
Д
У данной ОС зрачки мнимые. В оптических приборах, особенно визуальных, важным конструктивным параметром являются положение
входного зрачка
ческой поверхности ОС, а также положение выходного зрачка
– расстояние до входного зрачка от первой опти-
P
–
P
расстояние от последней поверхности ОС до выходного зрачка.
Угол наклона главного луча к оси в пространстве предметов
(в пространстве изображений
2
Угол 2
или
– угловое поле ОС в пространстве предметов (изоб-
) – передний (задний) полевой угол.
ражений). Этот параметр используют, когда предмет или изображение
находятся в бесконечности.
Диаметры зрачков можно определить, если провести апертурный луч
(АЛ) из осевой точки предмета через край АД. В пространстве предметов
40
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]