Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы и понятия термодинамики. Учебное пособие
.pdf
51
работы, а при изотермическом сжатии работа внешних сил идет на увеличение
внутренней энергии (нагревание) окружающей среды.
Адиабатический процесс – это процесс, протекающий без теплообмена с
окружающей средой ( ). Уравнение адиабатического процесса
получено выше и имеет вид:
,
где p-давление, V-объем,
Имея выражение для элементарной работы и уравнение адиабаты, также,
как и в случае изотермических процессов, несложно получить выражение для
работы газа при адиабатическом расширении(сжатии). Однако выражение для
работы при адиабатическом процессе можно получить значительно проще и
изящнее, если воспользоваться выражением первого начала термодинамики.
Действительно, при адиабатическом процессе ( ) и из первого начала
термодинамики имеем:
С учётом выражения для внутренней энергии идеального газа
, последнее выражение примет вид:
,
т.е. вся работа при адиабатическом процессе совершается за счет убыли
внутренней энергии газа. Интегрированием последнего выражения получим
простое выражение:
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. Поэтому проведем
сравнительный анализ уравнений изотерм и адиабат идеального газа на предмет
взаимного расположения и интенсивности изменения давления от объема при
этих процессах. Результаты такого анализа значительно облегчит восприятие
материала при изучении без преувеличения гениального творения – цикла Карно,
который сыграл огромную роль при исследовании не только тепловых
двигателей, но и фундаментальных законов термодинамики.
52
Изотермический процесс расширения газа
Нами получено уравнение изотермического изменения объёма идеального
газа.
( ):
Продифференцируем его
, (40)
Из полученного дифференциального уравнения имеем:
(41)
Нами получено важное выражение для первой производной от
функциональной зависимости давления от объёма газа, которая характеризует
скорость или интенсивность уменьшения давления с объемом. От значения этой
производной зависит степень интенсивности спада кривой зависимости
давления от объема.
Аналогичное выражение для частной производной, характеризующей
подобную кривую зависимости давления от объема, для адиабатического
процесса, можно получить простым дифференцированием уравнение
адиабатического процесса
( ).
Действительно,
Из последнего дифференциального уравнения имеем:
(43)
В полученных уравнениях правые части равны. Следовательно, равны
левые части
(44)
Нами получено простое выражение (1.1.23), которое связывает скорость
изменения давления с изменением объема при адиабатическом и
изотермическом процессах. Теплоемкость при постоянном давлении
всегда
53
больше теплоемкости при постоянном объеме
,
поэтому
. Отсюда
вытекает, что адиабатическая кривая спадает интенсивней, круче чем
изотермическая. Этот вывод имеет важное значение, и мы воспользуемся им в
следующем разделе при построении цикла Карно.
Круговые процессы. Циклы
Как отмечено выше, в 19 веке паровые машины начали находить широкое
применение в различных отраслях промышленности, что выдвинуло на первый
план задачу повышения КПД тепловых машин. Многие ученые начали активно
изучать теоретические основы тепловых двигателей. Однако наибольших
успехов в этом направлении достиг выдающийся французский инженер физик
Сади Карно, который на основе теоретического анализа работы тепловых машин
предложил цикл с максимальным КПД и показал, что КПД этой машины не
зависит от рода вещества и определяется температурами нагревателя и
холодильника. Им были доказаны две теоремы, которые в сумме тождественны
второму закону термодинамики. Исходя из вышеизложенного рассмотрим
особенности работы тепловых двигателей по круговым процессам, дадим
понятие КПД теплового двигателя и вывод выражения коэффициента полезного
действия теплового двигателя, работающего по циклу Карно.
Цикл называется обратимым, если все части этого цикла обратимы.
Необратимым называют цикл, если хотя бы одна из его частей необратима т.е.
протекает не равновесно.
Как отмечено выше, коэффициентом полезного действия тепловой
машины КПД называют отношение совершенной этой машиной работы к
количеству теплоты, полученному рабочим телом в результате процесса.
; где
В последнем выражении учтено, что работа, совершаемая за круговой
процесс, согласно первому началу термодинамики, равно разности теплоты,
полученной от нагревателя и отданной холодильнику
.
Карно доказал, что КПД обратимой тепловой машины максимален, не
зависит от конструкционных особенностей и свойств теплового двигателя, и
функционально зависит только от температур нагревателя и холодильника.
(45)
где
функция только температур нагревателя и холодильника.
Соотношение (45) является математической записью, сформулированной
выше теоремы Карно. Однако в этом выражении не указана температурная
54
шкала для t1 и t2, т.е. не указано о какой температуре идет речь. Проведенный
Карно анализ обратимых циклов привели к важному, выводу, а именно, привели
к определению абсолютной температуры, которая, как и следовало ожидать, не
зависит от свойств веществ (ртуть, вода, спирт, газ и т. д.), используемых для
экспериментального определения температуры. Подробный анализ этой
проблемы, с доказательством оптимальности использования вместо температур
t1 и t2 значений абсолютных температур дается авторами [5]. Поэтому в
дальнейших рассуждениях мы будем исходить из выражения
где T1 и T2 значения абсолютная температура, нагревателя и холодильника.
Цикл Карно. Коэффициент полезного действия теплового двигателя,
работающего по Циклу Карно
Таким образом цикл Карно – обратимый термодинамический цикл,
состоящий из двух адиабат и двух изотерм. Этот цикл широко используют при
анализе различных термодинамических процессов. Теоретический анализ
результатов работы тепловых машин, на основе выводов, сделанных по циклу
Карно, позволяет объяснить целый ряд положений, связанных со вторым
началом термодинамики. Этот цикл имеет наибольший КПД, с которым можно
сравнить КПД других циклов. Цикл Карно позволяет ввести термодинамическую
температурную шкалу и т д. Исходя из этих соображений представляется
целесообразным провести подробный анализ этого цикла и сделать
соответствующие выводы.
В цикле Карно используют адиабатические и изотермические процессы,
которые оказались выгодными с точки зрения повышения КПД тепловой
машины.
Рассмотрим подробно работу тепловой машины по циклу Карно. Запишем
первый закон термодинамики для простой закрытой системы.
(46)
Для идеального газа
, и для изотермических процессов (dT=0) из
(46) имеем:
,
т.е. при изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не
меняется и количество теплоты, подведенное к термодинамической системе
(идеальный газ), полностью переходит в работу расширения газа. Может
возникнуть вопрос, а не противоречит ли это второму началу термодинамики?
Никакого противоречия нет, так как согласно второму закону термодинамики
55
невозможны циклические процессы, которые полностью превращали бы теплоту
в работу. В данном случае рассматривается односторонний процесс расширения
газа.
При адиабатическом процессе система изолирована, т.е. она не
обменивается теплотой (δQ=0). Следовательно, из первого начала
термодинамики получим:
Или
,
Таким образом, при адиабатическом процессе расширения газа вся работа
совершается за счет убыли внутренней энергии газа.
Для наглядности изобразим цикл Карно в координатах p и V (рис. 8) и
координатах Т и S (рис.9)
Рис. 8. Цикл Карно в координатах Р-V Рис. 9. Цикл Карно в
координатах Т-S
Рассмотрим кратко цикл Карно в координатах Р-V. Пусть система
находится в состоянии «а», характеризуемом, в частности, температурой Т1.
Приведём систему в тепловой контакт с теплоотдатчиком (напомним, что
температура теплоотдатчика Т1 и осуществим изотермическое расширение
системы до состояния «в», которое, очевидно, также характеризуется
температурой Т
1
. При этом система совершит работу за счет теплоты
, поступившей в систему от теплоотдатчика.
Теперь осуществим адиабатическое расширение системы до состояния
«с», характеризуемое температурой Т2. При этом система совершает работу
за счет своей внутренней энергии.
Далее следует начать возвращение к исходному состоянию, ведь речь идет
о цикле. Поэтому осуществим изотермическое сжатие при температуре Т2 до
состояние «d». При этом система совершает отрицательную работу за
счет отрицательной теплоты
, поступившей в систему от
56
теплоприемника. Это значит, что над системой совершается работа с помощью
внешней силы, при этом система передает теплоприемнику количество теплоты.
Завершает цикл Карно адиабатическое сжатие – процесс « », при
котором температура системы возрастает до Т1. При этом совершается
отрицательная работа
Иными словами, работу совершает внешняя сила, увеличивая
внутреннюю энергию системы до исходного состояния.
Вспомним, что абсолютные значения работ, совершаемых системой в
каждом процессе, графически представляет собой площади под кривыми
соответствующих процессов на графике (рис.7), можно убедиться, что
суммарная работа системы за цикл выражается площадью внутри петли,
изображающей цикл в координатах Р(V).
Обратимый цикл Карно удобно изображать графически в координатах
. Вспомним, что обратимый адиабатический процесс является
изоэнтропийным, т.е. процессом с постоянной энтропией системы. Теперь
видно, что на рис.8 изображен обратимый цикл Карно. Сопоставьте между собой
графики на рис. 7 и рис. 8 и убедитесь в сказанном. Замечательно, что
изображение обратимого цикла Карно на рис. 8 не зависит от природы рабочего
тела и конструктивных особенностей тепловой машины.
Графическое изображение цикла Карно в других координатах зависит от
природы рабочего вещества. Так цикл Карно идеального газа в координатах Р(V)
имеет вид, представленный на рис. 7. Иначе выглядит цикл Карно в координатах
Р(V), если рабочим телом является двухфазная система жидкость – пар.
Нелишне вспомнить, что теплоотдатчиком (нагревателем) называют тело,
от которого рабочее тело получает теплоту.
Теплоприемником (холодильником) называют тело, которое принимает от
рабочего тела определенное количество теплоты.
Согласно теореме Карно, непременным условием совершения работы
тепловой машиной является наличие хотя бы небольшого перепада температуры
между холодильником и нагревателем (температура холодильника должна быть
хотя бы чуть-чуть ниже чем у нагревателя).
Найдём работу газа за весь цикл. Как и ранее, работу газа будем считать
отрицательной (внутренняя энергия газа уменьшается), а работу, совершенную
внешними телами над газом, положительной (внутренняя энергия газа
увеличивается). В качестве рабочего тела возьмём один моль идеального газа.
Первый этап. Процесс a-b – изотермическое расширение моля газа. Газ из
начального состояния А при постоянной температуре бесконечно медленно
переходит в состояние B с объёмом V2 Постоянство температуры обеспечивается
постоянным контактом газа с нагревателем) Для работы, совершаемой газом при
этом процессе имеем:
(47)
57
В изотермическом процессе внутренняя энергия не изменяется. Поэтому
вся работа, совершенная газом при расширении равна поглощенной от
нагревателя теплоте. Q12=W
12
Второй этап Процесс b-c – адиабатическое расширение газа из состояния b
до состояния C. При этом адиабатическом переходе газ находится в тепловой
изоляции как от нагревателя, так и от холодильника. Температура газа при
расширении уменьшается, так как работа расширения совершается газом за счет
убыли внутренней энергии. Вычислим работу адиабатического расширения
одного моля газа. Для такого процесса выше получено следующее выражение
для работы: , отсюда
(48)
Третий этап. Процесс C–d характеризует изотермическое сжатие газа от
состояния C до состояния d при температуре T2. Для поддержания температуры
постоянной газ должен находиться в непрерывном контакте с холодильником на
протяжении всего процесса. Значение объема V3 можно найти по точке
пересечения адиабаты, проходящей через точку a и изотермы с температурой
холодильника T2. В процессе расширения газа работа совершается над газом, и
величина этой работы определяется выражением:
(49)
Так как газ сжимается, то объем уменьшается
. Следовательно,
и совершенная работа A
3
полностью переходит в теплоту.
Действительно, В изотермическом процессе температура постоянна
а, следовательно, и внутренняя энергия не изменяется. Поэтому вся работа
сжатия газа совершена за счет теплоты, полученной от нагревателя и поэтому
можно записать
.
Четвертый этап. Процесс 4–1 – адиабатическое сжатие газа до начального
состояния. За все время сжатия газ должен быть изолирован как от нагревателя,
так и от холодильника. По аналогии со вторым этапом в соответствии с
выражением (48) запишем следующее выражение для работы:
(50)
Полная работа, совершенная газом за обратимый цикл, равна
алгебраической сумме всех составляющих, или, согласно первому началу
термодинамики, разности
. Действительно, так как в
58
адиабатических процессах 2-3 и 4-1 dQA=0 (нет теплообмена), то суммарная
работа за цикл определяется разностью количества теплоты, полученной от
нагревателей и отданной холодильнику. Следовательно, суммарная работа газа
за пройденный цикл равна
.
(51)
Воспользовавшись уравнением адиабатического процесса для идеального
газа в координатах T, V несложно доказать, что
(52)
Это задание студентам
Подставим соотношение (52) в выражение для полезной работы (48):
Таким образом, для КПД тепловой машины можно записать:
(53)
Из соотношения (53) видно, что КПД определяется только температурами
теплоотдатчика и теплоприемника и не зависит от рабочего вещества. Таким
образом
(54)
Сравнивая соотношения (53) и (54) между собой, получаем
(55)
Соотношение (55) играет большую роль в термодинамике. Оно лежит в
основе обоснования абсолютной температурной шкалы.
Таким образом, для идеализированного обратимого теплового двигателя,
имеем:
59
(56)
Отношение количества теплоты к температуре Q/T играет большую роль в
термодинамических исследованиях и её называют приведенной теплотой.
Последнее соотношение получено для обратимых круговых процессов. В
реальных условиях при работе тепловых машин используются элементы
необратимых процессов, что непременно сказывается на значении КПД. По этой
причине коэффициент полезного действия реальных тепловых машин меньше,
чем у обратимых тепловых машин
(57)
Таким образом, если для обратимого цикла справедливо равенство (56), то
в случае реального необратимого цикла необходимо записать фундаментальное
неравенство (57), которое по значимости не уступает основополагающим
термодинамическим уравнениям.
Найдем КПД обратимого цикла Карно. Воспользуемся выражением для
КПД тепловой машины (38). Как рассматривалось выше, теплота поступает в
систему в процессе «а-в» и изымается из системы в процессе «с-d»:
,
. Обмен теплотой между системой тепловыми резервуарами
происходит в обратимых изотермических процессах. Поэтому соответствующее
количество теплоты можно выразить через изменение энтропии при
соответствующих температурах интегрируя выражение (15) вдоль
соответствующих процессов:
(Sa – Sb)
(58)
Тогда
Значит (s
d-sc
)= -(sb-sa), откуда
(59)
Это и есть формула для расчета КПД обратимого цикла Карно. При ее
выводе не потребовалось никаких указаний на природу рабочего тела и
конструктивные особенности тепловой машины.
Таким образом, КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы, а
зависит только от температур теплоотдатчика и теплоприемника (первая теорема
Карно).
Полезно заметить также, что КПД обратимого цикла Карно не зависит от
длины изотерм «а-в» и «c-d».
60
Внимание к обратимому циклу Карно обусловлено его эффективностью.
Сравним КПД обратимого цикла Карно и любого другого цикла, обратимого или
необратимого. Разумеется, сравнивать следует объекты одинаковой «весовой
категории». Здесь сравниваются обратимый цикл Карно, осуществляемый с
помощью тепловых резервуаров с температурами Т1 и Т2, и любой другой цикл,
осуществляемый с помощью любого, в том числе и непрерывного, множества
тепловых резервуаров с любыми температурами, но в пределах температурного
отрезка [T1, T2].
Воспользуемся для некоторого цикла теоремой Клаузиуса в виде (33):
(60)
Напомним, что
– соответственно положительные и
отрицательные порции теплоты, поступающие в систему (см. (35)), Т – в общем
случае температура теплового резервуара, от которого в систему поступает
соответствующая порция теплоты. Знак «=» действует для обратимых процессов,
знак «<» - для необратимых.
Все температуры в первом, положительном интеграле выражения (в) не
больше Т1, поэтому если все эти температуры заменить на Т1, то первый интеграл
уменьшится. Все температуры на втором, отрицательном интеграле выражения
(в) не меньше Т2 поэтому если все эти температуры заменить на Т2, то второй
интеграл по абсолютной величине возрастает. Таким образом, после указанных
замен неравенство (в) усилится:
или
(61)
где использованы введенные выше обозначения.
Выражение (61) нетрудно представить в виде:
(62)
Но левая часть неравенства (62) является КПД рассматриваемого цикла (см.
(38)), а правая часть – КПД обратимого цикла Карно (см. (41)).
Обобщая полученный результат сформулируем вторую теорему Карно:
КПД тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно и
обменивающейся теплотой с тепловыми резервуарами, имеющими температуры
Т1 иТ
2,
являются наибольшим среди всех КПД тепловых машин,
обменивающихся теплотой между резервуарами, температуры которых не
выходят за пределы отрезка [T1, T2].
Вторая теорема Карно ставит новый принципиальный предел для КПД
тепловых машин. Если первое начало термодинамики утверждает, что КПД
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]