Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы и понятия термодинамики. Учебное пособие
.pdf
41
Рис.4. Графическое изображение термодинамических процессов.
На рис.4 приведены графики рассмотренных процессов: а-расширение, б-
сжатие. Пунктиром обозначены необратимые процессы.
Читателю, искушённому в графическом изображении работы, может
показаться, что рис.4 свидетельствует о превышении работы газа при
необратимом адиабатическом расширении над работой при обратимом
расширении. Действительно, площадь под равновесной адиабатой на рис. 4а
меньше, чем под неравновесной. Приведенный ход рассуждений, однако,
неверен. Графически может быть изображен только равновесный, обратимый
процесс. Пунктирная линия на рис. 4 не является изображением процесса, а лишь
указывает, что система некоторым образом перешла из состояния «1» в
состояние «2». Поэтому и измерение работы площадью под пунктиром является
некорректным.
Рассмотрим вопрос о соотношении указанных работ подробнее.
Физически ясно, что при неравновесном расширении поршень движется
быстрее, чем происходит релаксации давления. Вблизи поршня возникает
область пониженного давления. Давление газа на поршень оказывается ниже
равновесного давления при тех же объемах: . Поэтому и работа,
совершаемая газом при необратимом расширении оказывается меньше работы
при обратимом расширении (V2>V1)
(23)
Тот же результат можно получить и формально. Известно, что для
идеального газа
адиабатического процесса
(Q=0) следует, что производимая системой работа равна убыли внутренней
энергии. Тогда при необратимом адиабатическом процессе
(24)
а при обратимом
(25)
42
Учитывая, что
, из сравнения (24) и (25) приходим вновь к выводу:
Таким образом, при обратимом адиабатическом расширении газ совершает
большую работу, чем при необратимом.
При сжатии газа полученное неравенство удобно записать как
т.е. работа внешней силы при неравновесном сжатии больше работы
внешней силы при равновесном сжатии.
Рассмотрим предельный случай неравновесного адиабатического
расширения идеального газа, когда поршень движется не медленнее самых
быстрых молекул газа, так что давление газа на поршень равно нулю:
Следовательно, и работа газа равна нулю: С учетом
адиабатического процесса (Q=0) из первого начала термодинамики имеем:
откуда
т.е. в рассматриваемом процессе расширения идеального газа
температура газа остается постоянной.
Такое расширение газа, когда поршень фактически не участвует в процессе
расширения, равносильно расширению газа в вакуум. Это можно представить
еще и так: идеальный газ находится в теплоизолированном сосуде объемом V2,
но занимает не весь объем сосуда, а только его часть V1 и отделен от остальной
части перегородкой. В некоторый момент перегородка извлекается, и газ имеет
возможность свободно расширяться до объема V2.
То, что газ в результате занимает весь предоставленный ему объем,
является одним из наглядных подтверждений второго начала термодинамики.
Действительно, только используя второе начало можно теоретически
подтвердить, что газ будет расширяться.
Как показано выше, в рассматриваемом процессе температура идеального
газа неизменна:
Используя формулу (18) найдем величину изменения
энтропии:
Так как процесс адиабатический, то действует закон возрастания энтропии:
то Таким образом, в указанных условиях всегда наблюдается
спонтанное расширение газа, и никогда газ самопроизвольно не сжимается.
Адиабатическое смешение разных газов также является процессом,
идущим с ростом энтропии, т.е. спонтанно. Пусть сосуд разделен на две части,
объемы которых . Объем заполнен газом , а объем - газом .
После удаления перегородки, разделяющий эти газы, процесс должен
происходить так, чтобы энтропия возрастала. При этом каждый из газов
расширяется до полного объема сосуда
. Изменение энтропии
43
каждого из газов происходит так, как в предыдущем примере. Суммарное
изменение энтропии системы равно:
Оба логарифма положительны, и, следовательно, ΔS>0. Таким образом,
наблюдаемое на опыте смешение газов подтверждает закон возрастания
энтропии.
ПРИНЦИП КЛАУЗИУСА. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Выше показано, что второму началу термодинамики отвечает спонтанное
расширение газа до предоставленного ему объема. Теперь исследуем процесс
спонтанного теплового взаимодействия двух тел, имеющих разные температуры.
Рис. 5а, 5б. Изолированная термодинамическая система
Рассмотрим изолированную систему, состоящую из двух тел с
температурами , причем
(рис.5а). Приведем эти тела в
кратковременный контакт, что позволяет пренебречь изменениями объемов тел.
Разность температур обеспечивает обмен энергиями путем теплопередачи. Тела
получают количества теплот соответственно. Слово «получают»
применено здесь в алгебраическом смысле, т.е. пока не определены знаки этих
величин. В силу изолированности системы приращение внутренней энергии
системы равно нулю:
(26)
Здесь использовано первое начало термодинамики с учетом постоянства
объема, что обеспечивает нулевое значение совершаемой работы. Из (26) имеем:
(27)
т.е. сколько теплоты одно из тел отдает, столько другое получает.
44
Выясним знаки рассматриваемых количеств теплоты, иными словами,
направление теплопередачи. Для этого воспользуемся законом возрастания
энтропии, возможность применения которого обусловлена изолированностью
системы.
Рецепт расчета приращения энтропии предложен выше. Было показано,
что теплообмен между телами с разными температурами является необратимым
процессом. Сконструируем обратимый процесс (рис.5б), приводящий к тем же
результатом для рассматриваемой системы (а не в целом для Вселенной), и
рассчитаем приращение энтропии в этом сконструированном процессе.
Предположим, что первое тело системы (с температурой Т1) приводится в
тепловой контакт с тепловым резервуаром, имеющим температуру Т1, а второе
тело системы (с температурой Т2) приведем в тепловой контакт с тепловым
резервуаров, имеющим температуру Т2.
Пусть в результате изотермического обратимого взаимодействия с
соответствующими тепловыми резервуарами рассматриваемые тела получают
количества теплоты после чего тепловой контакт с
тепловыми резервуарами прекращается. Теперь система находится в том же
конечном состоянии, что и в результате исходного необратимого процесса.
В сконструированном обратимом процессе приращение энтропии системы
равно количеству приведенной теплоты, поступившей в систему. Но такое же
приращение энтропии системы происходит и в исходном необратимом процессе,
так как оба процесса, исходный и сконструированный, приводят к одинаковому
результату для рассматриваемой системы. И так
(28)
В соответствии с законом возрастания энтропии dS>0. Тогда с учетом (27) из (28)
получим:
(29)
По условию , значит , а .
Напомним, что положительное значение количества теплоты
соответствует увеличению внутренней энергии тела. Полученный результат
состоит в том, что в результате теплового контакта внутренняя энергия горячего
тела уменьшается, а холодного – возрастает. При длительном контакте
температуры тел выровняются.
Таким образом, спонтанный переход теплоты возможен только от тел с
большей температурой к телам с меньшей температурой (принцип Клаузиуса).
Принцип Клаузиуса исторически является первой формулировкой второго
начала термодинамики (1850 г.). Как и всякий фундаментальный физический
45
принцип он основан на опыте. Суть принципа заключена в слове «спонтанно».
Обратный переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому не
запрещен вовсе, но возможен лишь при наличии компенсации. Иными словами,
совершая работу над системой с помощью внешних сил можно передавать
теплоту от менее нагретого тела более нагретому. Устройства, действующие
таким образом, называются либо холодными машинами, либо нагревателями, в
зависимости от назначения.
ПРИНЦИП КЕЛЬВИНА
Рассмотрим перевод энергии от одной системы (тела, системы тел) к
другой системе. Пусть некоторая система обладает энергией. Например,
вращающийся маховик обладает кинетической энергией, поднятое над Землей
тело, сжатая пружина, заряженный аккумулятор обладают соответствующими
видами потенциальной энергии. Переведем эту энергию, или часть этой энергии,
к другой системе путем совершения работы. Например, используем эту энергию
для поднятия груза. Для этого воспользуемся некоторыми третьими телами:
зубчатыми колесами, рычагами, блоками, электромотором и т.п. В результате
энергия первой системы уменьшится, а энергия второй системы увеличится на
соответствующую величину, причем никаких других изменений не произойдет.
Ведь колеса, блоки, электромотор и проч. после выполнения работы вновь
находятся в рабочем состоянии, и их можно использовать для тех же целей.
Конечно, при реальных преобразованиях энергии всегда наблюдаются
параллельные процессы, связанные с трением, сопротивлением воздуха,
нагревом проводов и т.п. Однако, нет принципиальных пределов для сведения
этих «потерь энергии» до ничтожно малых величин.
Таким образом, почти любой вид энергии одной системы может быть
передан другой системе без компенсации (т.е. без изменения в-третьих телах)
непосредственно путем совершения работы.
Предыдущий пример можно несколько видоизменить, рассмотрев
использование работы для повышения внутренней энергии второго тела. Т.е.
произвести работу не по поднятию груза, как в прошлом примере, а, например,
для увеличения температуры газа в некотором сосуде. Энергию вращающегося
маховика, сжатой пружины, поднятого над Землей тела можно использовать для
вращения лопастей в сосуде с газом, а энергию аккумулятора – для выделения
теплоты при прохождении тока в сопротивлении, расположенном сосуде с газом.
При этом нет никаких принципиальных препятствий для полного и
некомпенсированного перевода энергии первой системы во внутреннюю
энергию второй системы путем совершения работы. Выражаясь несколько
архаически можно сформулировать: работа может быть полностью
преобразована в теплоту без компенсации.
Слово «почти» указывает на существование некоторого исключения.
Действительно, в рассмотренных примерах обойдем вопрос о возможности
совершения работы за счет внутренней энергии. Возможен ли такой процесс без
компенсации?
46
Пусть система имеет возможность «превращать теплоту в работу».
Например, газ в цилиндре, получая энергию в результате теплообмена, двигает
поршень и поднимает груз. «Без компенсации» - это значит, что после
совершения некоторой работы система возвращается в исходное положение (т.е.
совершает цикл) и ни в каких других телах, кроме того теплового резервуара,
откуда извлечена внутренняя энергия путем теплопередачи, никаких изменений
не произошло.
Итак, в мысленном опыте участвуют два объекта: тепловой резервуар
(источник энергии) и система. Второе начало термодинамики гласит (выражение
(11)):
.
Напомним, что в общем случае Т-температура теплового резервуара, от
которого получена порция теплоты . В рассматриваемом случае имеется
только один тепловой резервуар, поэтому Т=const, тогда
(30)
где учтено выражение (5).
Таким образом, общаясь только с одним тепловым резервуаром система не
может получать теплоту и совершать работу без компенсации.
Результат, полученный в предыдущем примере, был сформулирован
Кельвиным (Вильямом Томсоном, 1851 г.) в виде принципа: невозможен
циклический процесс, единственным результатом которого является совершение
работы за счет уменьшения внутренней энергии теплового резервуара. Иначе,
невозможно превращение теплоты в работу без компенсации.
Гипотетическое устройство, действующее циклически и совершающее
работу за счет уменьшения внутренней энергии теплового резервуара,
называется вечным двигателем второго рода. Поэтому принцип Кельвина можно
сформулировать так: невозможен вечный двигатель второго рода.
Если первое начало термодинамики утверждает количественную
эквивалентность теплоты и работы, то второе начало термодинамики утверждает
качественную неэквивалентность теплоты и работы. Работа может быть без
компенсации преобразована в теплоту, теплота не может быть преобразована в
работу без компенсации:
, (31)
ТЕПЛОВАЯ МАШИНА
Принцип Кельвина утверждает невозможность циклического превращения
теплоты в работу при наличии одного теплового резервуара.
Для циклического процесса из первого начала термодинамики (выражение
(5)) и второго начала в форме теоремы Клаузиуса (выражение (11)) имеем:
47
(а)
(б)
Система, циклически совершающая положительную работу за счет
теплоты, поступающей в систему от внешних источников, называется тепловой
машиной. Таким образом, система, являющаяся тепловой машиной,
удовлетворяет двум требованиям: а) состояние тепловой машины изменяется
циклически; б) результатом каждого цикла является совершение положительной
работы (напр. подъем груза).
Применение второго из этих требований к выражению (а) дает –
полное количество теплоты, поступающее в систему за цикл, положительно. При
этом, однако, из выражения (б) следует, что на отдельных участках цикла
приведенная теплота должна быть отрицательной. Значит на отдельных участках
цикла количество теплоты, поступающее в систему, должно быть
отрицательным, иными словами, на отдельных участках цикла теплота
изымается из системы. Разобьем все количество теплоты, поступающее в
систему за цикл, на положительный и отрицательный вклады. Тогда выражение
(а) и (б) запишутся в виде:
(32)
(33)
где
(34)
,
(35)
Из (32), (34) и (35) следует, что
(36)
Эффективность тепловой машины определяется коэффициентом
полезного действия – КПД:
или
(37)
где введены обозначения: ,
- соответственно работа,
совершаемая тепловой машиной за цикл, и теплота, поступающая в тепловую
48
машину(в буквальном смысле, т.е. положительное количество теплоты) за цикл.
Аналогично,
. Учитывая (32) и применяя введенные обозначения
можно определить КПД тепловой машины (37) как
(38)
Сопоставляя выражения (36) и (38) приходим к выводу: .
Одновременное выполнение законов (32) и (33) возможно, если процесс
теплообмена системы, совершающей работу, с другими телами – тепловыми
резервуарами – происходит при различных температурах. Самым простым
случаем, удовлетворяющим условиям (32)-(33), является случай двух тепловых
резервуаров наличие только одного противоречит принципу Кельвина) с
температурами Т1 и Т
2.
Тогда выражение (33) предстанет в виде:
(39)
С учетом (36) выполнение (39) возможно только при условии
.
Тепловой резервуар с температурой
называется теплоотдатчиком, а с
температурой
- теплоприемником (во многих учебниках эти тела по традиции
называют нагревателем и холодильником, хотя в изотермических процессах
ничто не нагревается и не охлаждается).
Схема простейшей тепловой машины изображена на рис. 6. Тепловая
машина получает от теплоотдатчика количество теплоты
часть которой
тепловая машина преобразует в работу А, а оставшаяся часть
передает теплоприемнику
Рис.6. Принципиальная схема простейшей тепловой машины
49
Тепловой машиной могут служить разнообразные устройства, основанные
на различных физических принципах. Для определенности можно представлять,
что речь идет все о том же газе, находящимся в цилиндре с поршнем.
Цикл, осуществляемый тепловой машиной только с двумя тепловыми
резервуарами, называется циклом Карно.
Обратимый цикл Карно может состоять только из изотермических и
адиабатических процессов. Действительно, равновесное тепловое
взаимодействие между тепловой машиной тепловыми резервуарами возможно
только в изотермических процессах. В цикл Карно входят два изотермических
процесса – изотермическое расширение при температуре Т1 и изотермическое
сжатие при температуре Т2 по числу тепловых резервуаров. Обратимые
переходы от одной температуры к другой в отсутствие других тепловых
резервуаров возможно только с помощью адиабатических процессов. Исходя из
этого предварительно подробно рассмотрим вопросы, связанные с работой при
изотермических и адиабатических процессах. Такая последовательность
изложения материала облегчит освоение относительно сложного вопроса,
связанного с циклом и теоремами, Сади Карно.
РАБОТА РАСШИРЕНИЯ ГАЗА. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ И
АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ
Как подчёркнуто выше, две теоремы Карно тождественны второму началу
термодинамики. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат поэтому,
исходя из важности и фундаментальности этих вопросов остановимся на них
более подробно. Равновесные или квазистатические процессы, протекающие в
термодинамических системах, можно изобразить графически, что дает
наглядное представление об этих процессах. При этом, в зависимости от
решаемой задачи используются различные координаты для изображения
термодинамических процессов. В простых системах наиболее часто используют
диаграммы в координатах давление-объем ( диаграммы), давлениетемпература ( ), объем-температура ( ), энтропия -ткемпература (S-T).
Существуют и диаграммы в других координатах. Рассмотрим в начале
диаграмму в координатах p и V (рис. 7).
Рис. 7. Графическое изображение различных процессов для идеального газа
Пусть начальное состояние обозначено точкой 1.
50
Тогда для идеального газа:
-изобара ( ) изобразится прямой, проходящей через точку 1,
параллельной оси 0-V;
- изохора ( ) изобразится прямой, проходящей через точку 1,
параллельной оси 0-p;
- адиабата и изотерма будут изображаться кривыми, тоже проходящими
через точку 1, но кривая адиабаты будет спадать круче, чем кривая изотермы.
Цикл Карно, который сыграл огромную роль при открытии второго начала
термодинамики, состоит из двух изотерм и двух адиабат. Сади Карно заметил,
что эти процессы являются более предпочтительными для конструирования
кругового процесса, поэтому остановимся подробно на уравнениях этих
процессов
Рассмотрим подробнее уравнения изотермического и адиабатического
процессов. Прежде всего, вспомним выражение для элементарной работы
расширения газа.
Пусть газ, находящийся в сосуде с подвижным поршнем площадью
поверхности S перемешается на расстояние dl. Найдем механическую работу,
совершаемую газом. По определению
,
где F – сила, S- площадь, l расстояние. Сила, действующая на поршень, равна
. Величина работы, совершаемая газом, при перемещении поршня на
расстояние dl равна
В последнем выражении учтено, что =dV
Вспомним, что изотермический процесс -это процесс, который протекает
при постоянной температуре ( ). Уравнение изотермического процесса
можно получить из выражения Клапейрона-Менделеева, предположив, что
температура постоянна
где v-число молей
Имея уравнение для изотермического процесса, несложно найти
выражение для работы
Из выражения для работы расширения газа при постоянной температуре
видно, что работа изотермического расширения газа определяется
не разностью объёмов, а их отношением. При изотермическом расширении
подводимое количество теплоты расходуется только на совершение внешней
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]