Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение показателей надежности радиоэлектронной аппаратуры. Учебное пособие.pdf
8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭКСПЛУАТАЦИИ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ
Определение научно обоснованных сроков между обслуживанием изделий технологической радиосвязи является одной из главных задач на
этапе эксплуатации. Периодичность контроля и ТО зависит от многих
случайных факторов. Одним из методов учета воздействия этих факторов
на изменение параметров изделий технологической радиосвязи является
математическое моделирование реальных технических объектов, процессов их функционирования, контроля и технического обслуживания, а затем разработка математических методов исследования этих моделей с целью получения количественных характеристик. Без проведения количественного анализа невозможна разработка конкретных и эффективных
мероприятий по обеспечению высокой надежности и эффективности технических систем.
В данной главе рассмотрены математические модели оптимизации
периодичности контроля и ТО изделий технологической радиосвязи по
надежностным критериям. Предложенные модели выгодно отличаются
возможностью учета случайного времени разрегулировки изделий по параметрам, характеризующим их технические свойства.
На первых этапах построения модели процесса необходимо дать характеристику обслуживаемых изделий, подробно описать принцип их работы, определить, пользуясь техническими указаниями, перечень контролируемых параметров, выявить их взаимосвязь. Параллельно с этим необходимо выделить группы элементов, определяющих надежность работы
изделия по k-му параметру и сформировать банк данных для поиска
функций распределения времени безотказной работы в состоянии исправной работы, при разрегулировке и при ТО.
Для этого необходимо рассчитать интенсивность внезапных и постепенных отказов, интенсивность разрегулировки и интенсивность отказов
при ТО. На основании статистических данных определить вероятности
81
достоверности диагностирования – ошибки диагностирования первого (α)
1,kL=
и второго рода (β) встроенной и внешней аппаратуры диагностирования.
А на основании нормативно-технической документации определить временные параметры: tа, tp, tr и ts – время аварийного ремонта, проверки, регулировки и поиска неисправности соответственно.
На последующих этапах следует моделирование времени оптималь-
ной (Т
) и допустимой (Т
ОПТ
) периодичности контроля и ТО. И на осно-
ДОП
ве полученных данных необходимо сделать вывод о выборе рациональной
периодичности контроля и ТО – Т
РАЦ
.
В основу моделей положены математическое моделирование процессов старения электронных компонентов различного типа, вероятностное
объединение интенсивностей внезапных и постепенных отказов, расчет
вероятностей переходов значения k-го технического параметра (
)
изделия из Si-го состояния в Sj-е, моделирование зависимостей функционалов готовности КГ(α, β, Т) и технического использования К
(α, β, Т)
Т.И
и определение рационального времени между обслуживанием.
В основе моделирования лежит теория цепей Маркова. В исследовании надежности изделий, содержащих электронные компоненты, теория
марковских процессов получила весьма широкое применение, так как
процесс функционирования изделий технологической радиосвязи, как
правило, сопровождается простейшими потоками отказов и восстановлений. Экспоненциальное распределение времени наработки на отказ и времени восстановления работоспособности – необходимое условие для марковского процесса.
Важнейшая характеристика марковского процесса – вероятность перехода объекта в то или иное состояние за заданный промежуток времени.
Информация о вероятностях перехода объекта в различные состояния позволяет определить вероятности каждого из возможных состояний процесса.
Изделия технологической радиосвязи рассматриваемых систем могут
находиться в следующих состояниях: S0 – исправное состояние; S1 – состоя-
82
ние разрегулировки; S2 – состояние явного отказа; SТО – состояние техниче-
Tτ<
[ ][ ]
02 01
1 ()1 ()FT FT−−
()
TO p
Ft
[1 ( )]
TO p
Ft−
ского обслуживания исправной системы; S
– состояние ТО разрегулиро-
1ТО
ванной системы. Граф состояний системы представлен на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Граф состояний модели
В момент времени t = 0 исправная система включается в работу. Это
соответствует состоянию S0. Через интервалы времени Т систему проверяют и проводят ТО. Если система проработает случайное время
и откажет, то с вероятностью F02(T) она перейдет в состояние отказа S2.
В состоянии S2 систему ремонтируют, и с вероятностью, равной 1, она
возвращается в состояние S0.
Если система исправно проработала время, равное Т, то с вероятно-
стью
она перейдет в состояние SТО, в котором про-
будет время, за которое произведут ее проверку tр. Во время ТО в системе
может произойти отказ, вызванный действиями обслуживающего персонала, и тогда она с вероятностью
время ТО отказа не возникло, то система с вероятностью
перейдет в состояние S2. Если во
пе-
рейдет в состояние S0.
За время работы в системе может произойти разрегулировка, которая
заключается в отклонении одного или нескольких параметров от своего
номинального значения. В этом случае система с условной вероятностью
83
[ ]
02 01
1 () ()FT FT
−
перейдет в состояние S1. В состоянии разрегулировки
12
()FT
TO
()
p
Ft
TO
[1 ( )]
p
Ft−
[
] [ ]
[ ]
02
02 01 02 01
12 12
TO TO
TO TO
0 () 0
1 () () 1 () 1 ()
0 0 () 0 1 ()
1 00 0 0
1 () 0 () 0 0
1 () 0 () 0 0
pp
pp
FT
FT FT FT FT
FT FT
P
Ft Ft
Ft Ft
− −−
−
=
−
−
012 1
(), (), (), (), ()
TO TO
TTT T Tπ= π π π π π
,
1.
i
Pπ=π⋅
π=
∑
в системе может произойти отказ, тогда она с вероятностью
перей-
дет в состояние S2. Если в разрегулированной системе не произойдет отказа, то через время, равное Т, она перейдет в состояние S
S
систему проверяют за время tр и регулируют в течение времени tr.
1ТО
. В состоянии
1ТО
Во время проведения ТО разрегулированной системы действия обслуживающего персонала могут вызвать отказ системы, и тогда она с вероятностью
роятностью
перейдет в состояние S2. Если отказа не произошло, то с ве-
система перейдет в состояние S0. При возвраще-
нии системы в состояние S0 цикл эксплуатации повторяется.
Матрица переходных вероятностей системы имеет вид:
(8.1)
Запишем матрицу-строку финальных вероятностей:
. (8.2)
Определим финальные вероятности нахождения системы в Si-х состо-
яниях. Для этого умножим матрицу-строку финальных вероятностей π на
матрицу переходных вероятностей P. При этом должно выполняться следующее условие [8; 9]:
(8.3)
84
В результате умножения матриц получена следующая система урав-
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
0 2 TO TO TO 1TO
1 02 01 0
2 02 0 12 1 TO TO TO 1ТO
TO 02 01 0
1TO 12 1
012
() () [1 ( )] () [1 ( )] (),
() 1 () () (),
() () () () () ( ) () ( ) (),
() 1 ()1 () (),
() 1 () (),
() () (
pp
pp
T T Ft T Ft T
T FT FT T
TFT TFT TFt TFt T
T FT FT T
T FT T
TT
π =π +− π +− π
π=− π
π=π+π+π+π
π=− − π
π=− π
π +π +π
TO 1TO
) () () 1.TT T
+π +π =
[ ]
{
[ ] [ ]
}
1
0 02 01 TO 02 12 01
() 2 1 () () ( )1 () 1 () () .
p
T FT FT F t FT FTFT
−
π = +− + − −
0
1
()
T
A
π=
[ ]
02 01
1
1 () ()
() .
FTFT
T
A
−
π=
[ ] [ ]
{
[ ]
}
2 02 02 12 01 TO 02
12 01
() () 1 () () () ( )1 ()
1
1 () () .
p
T FT FTFTFT F t FT
F TF T
A
π = +− + − ×
×−
[ ] [ ]
{ }
TO 02 01
1
() 1 () 1 () .T FT FT
A
π=− −
нений:
Решим систему уравнений (8.4) и получим выражения для финальных
вероятностей:
(8.4)
Для удобства записи представим выражение (8.5) в виде:
. (8.6)
Тогда остальные выражения для финальных вероятностей запишем
с учетом (8.6).
(8.7)
(8.5)
85
(8.9)
(8.8)
[ ]
[ ]
{ }
1TO 12 02 01
.
1
() 1 () 1 () ()
T FT FT FT
A
π=− −
(8.10)
0
( ) ( ),
T
i ij ij ij ij
j
T p dFω= τ τ
∑
∫
ij
F τ()
0 01 01 01 01 02 02 02 02
00
0TO 0TO 0TO 0TO
0
() ( ) ( )
( ).
TT
T
T p dF p dF
p dF
ω = τ τ+ τ τ+
∫∫
+τ τ
∫
[ ]
[ ]
02 01
01
02 01
1 () ()
, при
()
1 () ()
1, при
FF
T
F
FTFT
T
−τ τ
τ<
τ=
−
τ≥
Определим истинное (ωi (T)) и наблюдаемое (νi (T)) время нахождения
системы в рассматриваемых состояниях. Истинное время определяем для
работоспособных состояний по формуле:
(8.11)
где p
– вероятность перехода из рассматриваемого состояния,
ij
τ
– время пребывания системы в этом состоянии,
ij
– функция распределения для одного шага процесса.
В данном случае работоспособными являются следующие состояния:
S0 и S1. Истинное время нахождения в этих состояниях равно средней
наработке за период длиной Т. Определим ω0(Т) в соответствии с (8.11).
(8.12)
Запишем функции распределения для одного шага процесса:
(8.13)
86
02
02
02
()
, при
()
()
1, при
F
T
FT
F
T
τ
τ<
τ=
τ≥
(8.14)
0TO
0,
при
()
1,
при
T
F
T
τ<
τ=
τ≥
[ ]
[
]
[
]
[
]
[ ]
02 01
0 02 01
0
02 01
02
02 02 01
0
02
.
1 () ()
() 1 () ()
1 () ()
()
() 1 () 1 ()
()
T
T
FF
T FT FT d
FT FT
F
FT d FT FTT
FT
−τ τ
ω=− τ +
∫
−
τ
+ τ +− −
∫
[
]
[ ] [
]
0 02 01
0
02 02 01
0
( ) 1 () ()
() 1 () 1 () .
T
T
T dF F
dF F T F T T
ω = τ − τ τ+
∫
+τ τ+ − −
∫
0
()
T
dFττ
∫
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0 02 01 02 01 02
0
02 02 01
0
() 1 () () 1 () () ()
() 1 () 1 () .
T
T
T F T F TT F F d F TT
F d FT FTT
ω = − − − τ τ τ+ −
∫
− τ τ+ − −
∫
(8.15)
Подставим полученные функции распределения для одного шага
процесса в (8.12) и получим следующее выражение:
(8.16)
Преобразуем (8.16):
(8.17)
Выражение
является интегралом Стилтьеса. Взять этот инте-
грал можно путем интегрирования по частям [6; 7; 10].
87
(8.18)
После преобразований выражение ω0(Т) примет вид:
[
] [
]
0 02 01
0
.
() 1 ()1 ()
T
T FT FT d
ω= − − τ
∫
1 12 12 12 12 11TO 11TO 11TO 11TO
00
( ) ( ) ( ).
TT
T p dF p dFω = τ τ+ τ τ
∫∫
12
12
12
()
, при
()
()
1, при
F
T
FT
F
T
τ
τ<
τ=
τ≥
11TO
0, при
()
1, при
T
F
T
τ<
τ=
τ≥
[ ]
1 12
0
( ) 1 () .
T
T Fdω = − ττ
∫
0
( ) ( ).
T
i ij ij ij ij
j
T p dFν= τ τ
∑
∫
(8.19)
Истинное время нахождения в состоянии S1 определим анало-
гично ω0(Т).
(8.20)
Функции распределения для одного шага процесса выглядят следую-
щим образом:
(8.21)
(8.22)
После преобразований ω1(Т) будет равно:
(8.23)
Определим наблюдаемое время нахождения системы во всех состояниях. Отличие истинного и наблюдаемого времени заключается в том, что
истинное время описывает только работоспособные состояния. Наблюдаемое время обусловлено наличием ошибок диагностирования и определяется для всех состояний по формуле:
(8.24)
88
Для рассматриваемой модели истинное и наблюдаемое время нахож-
2
() .
psa
T t ttν = ++
TO TO0 TO0 TO0 TO0 TO2 TO2 TO2 TO2
00
( ) ( ) ( ).
PP
tt
T p dF p dFν = τ τ+ τ τ
∫∫
TO0
0, при
()
1, при
p
p
t
F
t
τ<
τ=
τ≥
TO
TO
TO2
()
, при
()
()
1, при
p
p
p
F
t
Ft
F
t
τ
τ<
τ=
τ≥
[
]
TO TO
0
( ) 1 () .
P
t
T Fdν = − ττ
∫
дения в состояниях S0, и S1 будут равны, так как в этой модели отсутствуют ошибки диагностирования.
ν0(Т) = ω0(Т) (8.25)
ν1(Т) = ω1(Т) (8.26)
В состоянии S2 наблюдаемое время будет складываться из времени
проверки (tр), времени поиска неисправности (tS) и времени аварийного
ремонта (ta):
(8.27)
Наблюдаемое время нахождения в состоянии SТО равно:
Запишем функции распределения для одного шага:
(8.28)
(8.29)
(8.30)
После преобразований получаем:
89
(8.31)
Аналогично (3.28) наблюдаемое время нахождения в состоянии S
[ ]
1TO TO
0
( ) 1 () .
Pr
tt
T Fd
+
ν = − ττ
∫
TO
()Tν
1TO
()Tν
00 11
00 11 22
() () () ()
() .
() () () () () ()
Г
TT TT
КT
TT TT TT
π ω +π ω
=
π ν +π ν +π ν
Т.И
0 0 11
0 0 1 1 2 2 TO TO 1TO 1TO
()
() () () ()
.
() () () () () () () () () ()
КT
TT TT
TT TT TT T T T T
=
π ω +π ω
=
π ν +π ν +π ν +π ν +π ν
будет равно:
(8.32)
1ТО
Отличие
от
состоит в том, что при обслуживании раз-
регулированного изделия его приходится регулировать, поэтому в (8.32)
добавилось время tr.
Для определения оптимальной и допустимой периодичности контроля и ТО воспользуемся функционалами готовности КГ(Т) и техниче-
ского использования К
(Т). При вычислении функционалов будем ис-
Т.И
пользовать полученные финальные вероятности, а также истинное и наблюдаемое время нахождения системы в соответствующих состояниях.
Формулы для расчета функционалов КГ(Т) и К
(Т) имеют вид:
Т.И
(8.33)
По результатам расчета строим графики зависимостей КГ(Т) и К
по которым определяем оптимальное время между проверками (Т
и допустимое время между проверками (Т
ем рациональное время между проверками (Т
). На основе этого определя-
ДОП
) по формуле:
РАЦ
Т
≤ Т
ОПТ
РАЦ
90
≤ Т
. (8.35)
ДОП
(8.34)
(Т),
Т.И
)
ОПТ