Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение показателей надежности радиоэлектронной аппаратуры. Учебное пособие.pdf
2. КРИТЕРИИ И ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
()Qt
()Qt
()Pt
)(
tP
)(
tQ
Критерием называется признак (мерило), по которому оценивается
надежность.
Например, вероятность безотказной работы P(t), интенсивность отка-
зов λ(t), средняя наработка на отказ Tср.
Основными характеристиками критериев являются:
а) научность;
б) полнота оценки надежности технического объекта;
в) вычисляемость;
г) наглядность;
д) непротиворечивость иным критериям качества объекта;
е) возможность применения для оценки других, более общих показа-
телей технического объекта (например, эффективность, безопасность, живучесть, риск).
2.1. ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Пусть некоторый исправный объект начинает работать в момент вре-
мени t = 0, а в момент времени t происходит его первый отказ. Время t от
начала эксплуатации до возникновения первого отказа называется нара-
боткой до отказа. Наработка до отказа есть случайная величина.
Функцию распределения наработки до отказа
ностью отказа. Таким образом,
ка до отказа меньше t или вероятность того, что за время t объект откажет.
Основным показателем безотказности является вероятность безотказной
работы
– вероятность того, что в пределах заданной наработки t от-
есть вероятность того, что наработ-
называют вероят-
каз объекта не возникает (ГОСТ Р 27.102–2021) [1]. Исправная работа
и отказ в течение времени t являются несовместными событиями. Поэтому
+
11
= 1. (2.1)
Функция
()
Pt
(0) 1P =
lim ( ) 0
t
Pt
→∞
=
1)(0 ≤≤
tP
0/)( ≤
dttdP
()Pt
()
Pt
*
o
o
()
() ()
N nt
Pt P t
N
−
≈=
*
()
Pt
()
Pt
o
N
)(
tn
*
()
Pt
()Pt
o
N
()Qt
()Pt
dt
tdP
dt
tdQ
ta
)()(
)( −==
имеет следующие свойства:
1)
(это означает, что в начальный момент времени объект
считается работоспособным);
2)
(объект не может сохранять работоспособность не-
ограниченно долго);
3)
4)
;
(функция
является убывающей и с течением
времени надежность невосстанавливаемого объекта не может возрастать).
Величина
может быть определена в результате испытаний по
формуле
, (2.2)
где
ных на испытание;
При этом
– статистическая оценка
– число объектов, отказавших за время t.
→
при
;
→ ∞.
– число объектов, поставлен-
Очевидно, что проведение подобных испытаний для сложной аппаратуры требует больших затрат времени и средств, а иногда и попросту невозможно. В этих случаях величины
и
определяются аналитиче-
скими методами. Задача аналитического расчета надежности: по характеристикам надежности отдельных элементов (блоков), составляющих данную сложную систему, надо рассчитать надежность этой системы. Такими
характеристиками надежности элементов являются, например, частота
и интенсивность отказов.
Плотность распределения наработки до отказа называют частотой
отказов:
. (2.3)
12
Экспериментально частота отказов
*
o
()
() ()
nt
at a t
Nt
∆
≈=
∆
()nt∆
/2tt−∆
/2tt+∆
()a t dt
()dQ t
,)
t t dt+
0
() ()
t
Q t a t dt
=
∫
()at
1
0 t−
1
0
t
−
12
tt−
2
tt
>
(0, )t
(, )t t dt+
() () ()dQ t P t dz t=
, (2.4)
где
до
– число объектов, отказавших на интервале времени от
.
При этом важно отметить, что во время испытаний отказавшие объек-
ты не восстанавливаются и не заменяются на исправные.
Из выражения (2.3) следует, что величина
ность
отказа объекта за интервал времени (
определяет вероят-
. Тогда согласно
формулам (2.1) и (2.3)
. (2.5)
На графике типичной зависимости
для радиоэлектронной аппара-
туры, получаемой в результате испытаний по формуле (2.4), на интервале
наблюдается высокая частота отказов и ее уменьшение (рис. 2.1, а).
Это объясняется отказами образцов аппаратуры, имеющих дефекты производства, и поэтому участок
называют временем приработки. Интервал
соответствует периоду времени нормальной работы, когда старение
аппаратуры еще отсутствует. При этом частота отказов снижается, поскольку уменьшается общее число испытуемых объектов. При
наблюдается
резкое увеличение частоты отказов из-за старения аппаратуры.
Пусть некоторый объект был работоспособен на отрезке времени
. Вероятность его отказа на интервале
13
, (2.6)
где
()dz t
,dt
(0, )t
()dz t
:
dt
() () ,dz t t dt= λ
()tλ
() ()dQ t dP t= −
()dP t−=
() ()P t t dt
λ
() ()
()
() ()
P t at
t
Pt Pt
′
λ=− =
()tλ
ср
()
()
nt
t
Nt
∆
λ=
∆
1
cp
2
ii
NN
N
+
+
=
t∆
i
N
2
tt∆
−
1iN+
2
tt∆
+
– условная вероятность отказа объекта за время
найденная
в предположении, что он безотказно проработал за время
Величина
зависит от
.
(2.7)
где
– условная плотность вероятности возникновения отказа невос-
станавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента
времени при условии, что до этого момента отказ не возник.
Подставляя выражение (2.7) в формулу (2.6) и учитывая, что
, получим
.
Отсюда, с учетом выражения (2.3), имеем
Показатель надежности
называется интенсивностью отказов.
Статистически он определяется по формуле
где
– среднее число исправно работающих объектов в ин-
. (2.8)
1/ч, (2.9)
тервале
– число исправных объектов в момент времени
;
– число исправных объектов в момент времени
14
;
.
Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших
()tλ
12
tt−
()tλ
0
() ln ()
t
t dt P tλ=−
∫
0
()
()
t
t dt
Pt e
−λ
∫
=
объектов в единицу времени к среднему числу объектов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие объекты
не восстанавливаются и не заменяются исправными.
На графике зависимости
для элементов радиоэлектронных и ав-
томатических систем (рис. 2.1, б) на участке нормальной работы
личина
постоянна, что объясняется отсутствием старения элементов.
ве-
а б
Рис. 2.1. Зависимость частоты и интенсивности отказов от времени
Интенсивность отказов является основной количественной характе-
ристикой надежности элементов. Если она известна, то можно найти все
другие показатели надежности. Так, интегрируя выражение (2.8), получим
или
. (2.10)
15
Согласно выражениям (2.2) и (2.3)
T =
0
00 0
() () () () .ta t dt tP t dt tP t P t dt
∞∞ ∞
∞
′
=− =−+
∫∫ ∫
(0) 1P =
() 0P ∞=
T =
0
() .P t dt
∞
∫
12
tt−
()tλ
λ
()
t
Pt e
−λ
=
() 1
t
Qt e
−λ
= −
0,1tλ<
()Qt t= λ
() 1 ()Pt t= −λ
()Qt
()Pt
Поскольку
и
, то первое слагаемое равно нулю и
(2.11)
Средняя наработка до отказа Т есть математическое ожидание наработки объекта до первого отказа.
На участке нормальной работы
(см. рис. 2.1) при
= const из формулы (2.10) следует
, (2.12)
=
=
. (2.13)
Формулу (2.2) называют экспоненциальным законом надежности.
Из нее следует, что надежность объекта убывает со временем по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше величина λ (см. рис. 2.2, а).
Для приближенных расчетов, если
, можно использовать про-
стые формулы:
,
. (2.14)
В этом случае участки кривых
и
(см. рис. 2.2, б) при малых
значениях tλ с небольшой погрешностью рассматриваются как прямые
линии.
16
а
б
T =
0
0
11
tt
e dt e
∞
−λ −λ ∞
= =
∫
λλ
)tT
=
1
( ) 0,37
t
Pt e
e
−λ
= = ≅
6
6
1
9,09 10
0,11 10
T−= = ⋅
⋅
Рис. 2.2. Экспоненциальный и показательный законы надежности
Если подставить (2.12) в (2.11), то получим
, (2.15)
т. е. при экспоненциальном законе надежности средняя наработка до отказа обратно пропорциональна величине интенсивности отказа.
По истечении средней наработки до отказа (
надежность объек-
та уменьшается в е раз, поскольку
.
Пример 1.4. Определить среднюю наработку до отказа резистора,
у которого интенсивность отказов равна 0,11 ⋅ 10–6, 1/ч.
час = 1037 лет.
17
Этот результат, на первый взгляд, кажется нереальным. Однако сле-
2
tt>
63 3
системы
1000 рез 0,11 10 10 0,11 10
−−
λ = λ= ⋅ ⋅= ⋅
3
1
1,037
0,11 10
Т
−
= =
⋅
p
t
в
t
в
t
p
t
p
t
в
t
дует иметь в виду, что он получен при предположении отсутствия старения элемента. Когда наступает старение материалов (
на рис. 2.1),
формулы (2.12) – (2.15) уже не пригодны.
Показатель Т важен для сложных систем с большим числом элементов. Пусть система содержит 1000 резисторов. Тогда
1/час,
года.
Этот результат означает, что в системе, построенной на тысяче резисторов, в среднем следует ожидать первого отказа через один год.
2.2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Время эксплуатации восстанавливаемого объекта состоит из интервалов времени работы
следуют друг за другом (рис. 2.3). Величины
и интервалов времени восстановления
и
являются случайными.
, которые
Поэтому показатели надежности делятся на три группы: показатели безотказности (характеризуют время
(характеризуют время
) и комплексные показатели (характеризуют од-
), показатели ремонтопригодности
новременно и безотказность и ремонтопригодность).
Рис. 2.3. Схема эксплуатации восстанавливаемого объекта
18
В пределах отдельного интервала работы для восстанавливаемого
( ), ( ), ( ), ( ))Pt Qt at tλ
0t =
()tω
0
M[ ( )] M[ ( )]
() lim M[ ()]
t
nt t nt
t nt
t
∆→
+∆ −
′
ω= =
∆
M[ ( )]nt t+∆
M[ ( )]nt
,.t tt+∆
cp
o
()
()
()
nt
nt
t
Nt t
∆
∆
ω= =
∆∆
t∆
o
N
cp
cp
1
() ( )
t
T
tnt
∆
= =
ω∆
объекта справедливы все показатели безотказности, рассмотренные в предыдущем разделе (
времени
начало интервала.
, если считать за начальный момент
Чтобы учесть факт отказа и восстановления объекта, вводят параметр
потока отказов
– отношение среднего числа отказов восстанавливае-
мого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки:
, (2.16)
где
время
,
– математическое ожидание числа отказов за
Статистически параметр потока отказов
. (2.17)
Формула (2.17) отличается от (2.4) тем, что во время испытаний отка-
завшие объекты мгновенно заменяются новыми или восстанавливаются.
Таким образом, в течение всего интервала
число
объектов, а время восстановления не принимается во внимание.
испытывается постоянное
Средняя наработка на отказ – отношение наработки восстанавлива-
емого объекта к среднему числу его отказов в течение этой наработки
. (2.18)
19
Этот показатель характеризует среднее время между соседними отка-
в
t
()St
() ( )
в
St Pt t= <
()St
()St
в
ов
()
N
StN=
ов
N
в
N
()St
()Qt
в
()at
()tµ
в
()
()
dS t
atdt=
в
()
()
1 ()
at
t
St
µ=
−
зами восстанавливаемого объекта.
Рассмотрим показатели ремонтопригодности. Время от начала ремонта объекта до его окончания называется временем восстановления
и яв-
ляется случайной величиной.
Вероятность восстановления работоспособного состояния
– ве-
роятность того, что время восстановления работоспособного состояния
объекта не превысит заданного времени t:
. (2.19)
Функция
Экспериментально величина
есть функция распределения времени восстановления.
определяется по формуле
, (2.20)
где
– число объектов, поставленных на восстановление;
– число объектов, восстановленных за время t.
Функция
с вероятностной точки зрения идентична функции
и имеет те же свойства. Аналогично вводятся показатели: частота вос-
становления
и интенсивность восстановления
как плотность распределения времени восстановления
как условная плотность вероятно-
сти восстановления при условии, что до момента времени t восстановления объекта не произошло. По аналогии с формулами (2.3) и (2.8)
,
20
. (2.21)