Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение показателей надежности радиоэлектронной аппаратуры. Учебное пособие.pdf
7. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
c
()Pt
c
()Pt
12
1
() ()... () ()
n
ni
i
ptp t p t pt
=
= ∏
()
i
pt
1c
c
1
()
n
i
ii
t
n
tt
i
Pt e e e
=
−λ
−λ −λ
=
∑
= = =
∏
c
λ
Расчет надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем. В дальнейшем в качестве объекта, надежность которого требуется
определить, будет рассматриваться некоторая сложная система S, состоящая из отдельных элементов (блоков), например система автоматики или
связи, построенная на реле или полупроводниковых элементах. Задача
расчета надежности сложной системы состоит в том, чтобы определить ее
показатели надежности, если известны показатели надежности отдельных
элементов и структура системы, т. е. характер связей между элементами с
точки зрения надежности.
Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система из n
элементов, у которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рис. 7.1, а). Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей вероятность безотказной работы системы
равна произведению
вероятностей безотказной работы ее элементов:
где
– вероятность безотказной работы i-го элемента.
=
, (7.1)
Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности [см. формулу (2.12)] и известны их интенсивности отказов. Тогда
и для системы справедлив экспоненциальный закон надежности
где
– интенсивность отказов системы.
, (7.2)
71
а
б
в
c
λ
1
n
i
i=
λ
∑
c
cc
() ;
t
at e
−λ
= λ
c
c
1
T =
λ
Рис. 7.1. Схемы логического соединения элементов
Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме ин-
тенсивностей отказов ее элементов, т. е.
=
. (7.3)
Согласно формулам (2.8) и (2.15), частота отказов и средняя наработ-
ка до отказа нерезервированной системы соответственно
.
72
Пример 7.1. Система автоматики содержит 500 устройств с интенсив-
6
0,11 10−⋅
λ=
6
0,149 10
−
⋅
λ=
6
0,073 10
−
⋅
λ=
6
0,531 10
−
⋅
λ=
c
λ
32
0,160110 10 0,01601
1 0,01601 0,98399()
Pt e e
−
− ⋅⋅ −
−=
= = ≅
c
c
1
T =
λ
1
6246
3
0,1601 10
=
−
⋅
1
c 01
() () ()... () ()
m
m
Qtqtqtqtq t
+
= =
11
cc
() 1 () 1 () 1 [1 ()]
mm
P t Q t q t pt
++
=− =− =−−
ностью отказов
1/ч, 300 устройств с интенсивностью отказов
, 100 устройств с интенсивностью отказов
и 100 устройств с интенсивностью отказов
. Система имеет
логически последовательное соединение элементов. Требуется определить
вероятность безотказной работы в течение 100 ч и среднюю наработку до
отказа.
Определяем интенсивность отказов системы
= (500 ⋅ 0,11 + 300 ⋅ 0, 149 + 100 ⋅ 0,073 + 100 ⋅ 0,531)10–6 =
= 0,1601 ⋅ 10–3 1/ч.
Тогда
;
=
ч = 0,713 г.
Расчет надежности невосстанавливаемых резервированных систем. В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обяза-
тельно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов (рис. 2.1, б), при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения
вероятностей имеют место следующие выражения:
;
,
73
где
(), ()
qt pt
1
c
( ) 1 (1 )
tm
Pt e
−λ +
=−−
0,1tλ<
1,
t
et
−λ
= −λ
1
c
() 1 ( )
m
Pt t
+
= −λ
1
0
1 11 1
[1 (1 ) ] 1 ...
23 1
tm
c
T e dt
m
∞
−λ +
= −− = ++++ =
∫
λ+
11 1
1 ...
23 1
T
m
= ++++
+
( )/m nk k= −
1/2m =
– соответственно вероятности отказа и безотказной работы
одного элемента.
Если для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности, то
. (7.4)
Для высоконадежных систем, у которых
и
имеем
. (7.5)
Из сравнения выражений (7.5) и (2.14) следует, что вероятность без-
отказной работы резервированной системы всегда больше вероятности
безотказной работы нерезервированной системы.
Подставляя выражение (7.4) в формулу (2.11) и, учитывая выражение
(2.15), находим среднюю наработку резервированной системы:
. (7.6)
Из формулы (7.6) следует, что если при дублировании (m = 1) нара-
ботка системы становится больше в 1,5 раза, то с увеличением кратности
резервирования она возрастает очень медленно.
Кроме m-кратного резервирования (m – целое число), используют
также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением элементов типа «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. Кратность резервирования
.
На рис. 7.1, в приведена структурная схема «2 из 3» с кратностью резервирования
.
74
Универсальным методом расчета надежности любой резервированной
()Pt
S
12
() ( (), (),..., ())
n
At ЭtЭt Эt=
() 1
i
Эt=
() 0
i
Эt=
2
n
i
R
i
A
()pt
i
A
123
( , , ).Sf
ЭЭЭ=
i
A
1
() ()
i
Pt R t=
∑
3 5 6 7 1 23 1 2 3
( ) (1 ) (1 )Pt R R R R p pp p p p=+++=− + − +
12 3 123 12 13 23 123
(1 ) 2pp p ppp pp pp pp ppp+ −+ = + + −
123
pppp= = =
23
() 3 2Pt p p= −
системы со сложной логической структурой является метод полной группы событий. Пусть надо рассчитать вероятность безотказной работы
системы «2 из 3» (см. рис. 7.1, в). В момент времени t состояние системы
может быть задано двоичным вектором
, если в момент t i-й элемент работоспособен, и
к этому моменту он уже отказал. Всего существует
образуют полную группу событий (табл. 7.1). В столбце
ятности событий
(переменная t в обозначениях
состояний, которые
указаны веро-
опущена), причем
сумма этих вероятностей равна 1. В результате появления события
, где
, если
си-
стема S может оказаться работоспособной в момент t(S = 1) или неработоспособной (S = 0).
Таблица задает некоторую функцию алгебры логики
Таким образом, надежность сложной системы есть функция алгебры ло-
гики от надежности ее элементов. В данном примере эта функция есть
известная мажоритарная функция. Очевидно, что вероятность безотказной
работы системы будет равна сумме вероятностей тех событий
, для ко-
торых S = 1:
. (7.7)
Для данных таблицы
.
Если все элементы структуры (см. рис. 7.1) равнонадежны
(
), то
75
. (7.8)
Таблица 7.1
i
A
1
Э
2
Э
3
Э
S
i
R
0
A
0 0 0
0
1
(1 )p−
2
(1 )p−
3
(1 )p−
1
A
0 0 1
0
1
(1 )p−
2
(1 )p−3p
2
A
0 1 0
0
1
(1 )p−2p
3
(1 )p−
3
A
0 1 1
1
1
(1 )p−
23
pp
4
A
1 0 0
0
1
p2(1 )p−
2
(1 )p−
5
A
1 0 1
1
1
p2(1 )p−3p
6
A
1 1 0
1
12
pp
3
(1 )p−
7
A
1 1 1
1
123
ppp
()pt
()Pt
0,5p
>
Формула (7.7) называется функцией надежности системы. Она показывает, как вероятность безотказной работы системы зависит от величин
ее элементов. Если в структуре «2 из 3» вероятность безотказной работы одного элемента равна, например, 0,8, то по формуле (7.8) определя-
ется
= 0,896. Из графика функции (7.8) следует, что система «2 из 3»
дает выигрыш в надежности по сравнению с надежностью одного элемента, только если
(рис. 7.2). В этом существенное отличие системы
«2 из 3» от параллельной структуры (см. рис. 7.1, б), которая может рас-
сматриваться как система «1 из т» и дает выигрыш надежности независимо от значения р.
Метод полной группы событий применим в любом случае, однако для
систем с большим числом элементов он становится слишком громоздким
из-за большого числа состояний. Задача упрощается для широкого класса
систем с последовательно-параллельной структурой. В таких системах
элементы соединяются только последовательно или параллельно. Например, электромагнитное реле состоит из якоря, двух обмоток и трех контактов. Будем считать, что реле работоспособно, если исправны якорь,
одна из обмоток и один из контактов.
76
12S
P pp=
1 2 1 2 12
1 (1 )(1 )
S
P p p p p pp=−− − = + −
а
б
Рис. 7.2. Функция надежности
системы «2 из 3»
В таком случае применяют метод преобразования структурной схе-
мы (метод свертки), объединяя элементы в более крупные блоки и применяя формулы расчета для элементарных схем надежности (рис. 7.3, а и б).
Для элементарных схем функции надежности соответственно
; (7.9)
. (7.10)
Рис. 7.3. Преобразование структурной схемы надежности
77
В схеме (рис. 7.4, а) объединим сначала в один блок элементы
2
Э
3
Э
4
Э
5
Э
23 0 0 0 0
р р р рр
=+− =
2
00
2рр= −
2
45
2
kk
р рp= −
45
Э
6
Э
33
456 45 45
33
k kkkk
p ppppppp
= +− =− +
23 2
1 23 456 я00
(2 )( 3 3 )
kkk
P pp p p p p p p p= = − −+
а
б
,
и
находим
,
(рис. 7.4, б). По формуле (7.10) получим
,
.
Затем объединим элементы
и
(рис. 7.4, в) и по формуле (7.10)
.
Применяя формулу (7.9) ко всей cтруктуре (см. рис. 7.4, в), получим
функцию надежности реле
.
в
Рис. 7.4. Элементарные структурные схемы надежности
Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной
работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда
можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений.
Рассмотрим этот метод на примере вычислительной системы
(рис. 7.5, а). Она состоит из вычислительных блоков 1, 2 (источники информации), 6, 7 (приемники информации) и трех устройств сопряжения
3–5. Система работоспособна, если существует путь передачи информа-
78
ции хотя бы от одного источника к одному по крайней мере приемнику.
а
б
в
г
Структура системы представлена в виде графа надежности (рис. 7.5, б).
Вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги – связям между ними. Вершины M и N называют полюсами. Отказ элемента соответствует обрыву ребер, которые с ним связаны, а отказ всей системы соответствует нарушению связи между полюсами.
Рис. 7.5. Схемы расчета надежности вычислительной системы
Множество элементов системы называется путем А, если при их исправности система работоспособна независимо от состояния других элементов. Им соответствуют все пути между полюсами в графе надежности.
Путь называется минимальным, если никакое его подмножество не является путем. Граф (см. рис. 7.5, б) имеет шесть минимальных путей: 136,
146, 147, 246, 247, 257. Множество элементов системы называется сечением В, если отказ всех этих элементов приводит к отказу системы незави-
79
симо от состояния других элементов. У минимального сечения никакое
н
()Pt
в
()Pt
в
1
( ) 1 (1 ( ))
n
i
i
Pt PA
=
=−−
∏
н
1
() 1 ( )
m
j
j
P t PB
=
= −
∏
,nm
( ), ( )
ij
PA PB
i
A
j
B
12 7
... 0,8pp pp= = = = =
в
()Pt
36
1 (1 )p−− =
36
1 (1 0,8 ) 0,986;−− =
н
()Pt
22 37
(1 ) (1 )pp− −=
22 37
(1 0,8 ) (1 0,8 ) 0,8712− −=
0,8712 ( ) 0,9865.Pt<<
его подмножество не является сечением. Рассматриваемый граф имеет девять минимальных сечений: 12, 67, 145, 147, 234, 246, 345, 347, 456.
Нижняя граница надежности
определяется как вероятность без-
отказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы,
составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям (рис. 7.5, в), а верхняя граница
– системы из параллельно включенных групп элементов, соответ-
ствующих всем минимальным путям (рис. 7.5, г). Согласно формулам
(7.1) и (7.4)
; (7.11)
, (7.12)
где
– число путей и сечений системы;
– соответственно
вероятности событий
и
.
Пусть для системы (см. рис. 2.5) имеет место
Тогда
=
=
Таким образом,
.
.
80