Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие отношения. Учебное пособие
.pdf
Н.А. Седова
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2024
УДК 510.6
ББК 22.12
С28
Автор:
Седова Н.А. — канд. техн. наук, доц., доц. кафедры информационных
технологий и систем Института информационных технологий и анализа
данных Владивостокского государственного университета
Рецензенты:
Глушков С.В. — д-р техн. наук, проф.,
Морской государственный университет им. адм. Г.И. Невельского;
Воробьев В.В. — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник ТСН МИИТ,
Морской государственный университет им. адм. Г.И. Невельского
Седова, Нелли Алексеевна.
С28 Нечеткие отношения : учебное пособие / Н.А. Седова. — Москва : Ай Пи
Ар Медиа, 2024. — 60 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-3156-2
Учебное пособие содержит материалы для изучения раздела «Нечеткие от-
ношения» дисциплины «Математическая логика» и состоит из теоретической
части, примеров, вопросов для самоподготовки, а также из 5 индивидуальных
практических заданий, в каждом из которых 30 индивидуальных вариантов. Такая структура позволит студенту, изучившему теоретическую часть, получить
индивидуальный вариант заданий для самостоятельного решения, а преподавателю — сформировать различные индивидуальные задания для контроля усвоения настоящего раздела.
Подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образова-
тельным стандартом высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов направления подготовки
«Информатика и вычислительная техника», изучающих дисциплину «Математическая логика».
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-3156-2 © Седова Н.А., 2017
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2024
Учебное издание
Седова Нелли Алексеевна
Редактор Е.А. Копылова
Технический редактор, компьютерная верстка М.В. Половникова
Корректор А.С. Полева
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова
Подписано к использованию 18.06.2024. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
Список обозначений ........................................................................................................ 5
Список сокращений ......................................................................................................... 5
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 6
1. Понятие нечеткого отношения ................................................................................... 7
2. Характеристики нечеткого отношения ................................................................... 12
3. Операции над нечеткими отношениями ................................................................. 15
4. Композиция бинарных нечетких отношений ......................................................... 23
5. Использование композиции нечетких отношений для решения задач
судовождения ................................................................................................................. 25
6. Свойства бинарных нечетких отношений .............................................................. 27
7. Задания для самостоятельной работы ..................................................................... 33
7.1. Упражнения ........................................................................................................ 33
7.2. Вопросы для повторения ................................................................................... 55
7.3. Тесты .................................................................................................................... 56
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................... 60
5
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
I — четкое универсальное множество.
I1 I2 … Ik — декартовое (прямое) произведение.
(x1, x2, …, xk) — k-арная упорядоченная последовательность.
R(x1, x2, …, xk) — значение функции принадлежности нечеткого отношения R.
R
M
— матрица нечеткого отношения R.
НО — пустое множество.
UНО — нечеткое универсальное множество.
(x, y) — упорядоченная пара.
SR — носитель нечеткого отношения R.
|R| — мощность нечеткого отношения R.
ℕ — множество натуральных чисел.
ℝ — множество действительных чисел.
R — множество -уровня нечеткого отношения.
hR — высота нечеткого отношения R.
core(R) — ядро нечеткого отношения R.
BR — границы нечеткого отношения R.
cross(R) — точка перехода нечеткого отношения R.
R S — R строгое подмножество S.
R S — R нестрогое подмножество S.
R S — R объединение S.
R S — R пересечение S.
R – S — R разность S.
R S — R симметрическая разность S.
R +S — R алгебраическое объединение S.
R •S — R алгебраическое пересечениеS.
R S — R граничное объединение S.
R S — R граничное пересечение S.
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
НО — нечеткое отношение.
НМ — нечеткое множество.
БНО — бинарное нечеткое отношение.
ФП — функция принадлежности.
6
ВВЕДЕНИЕ
Нечеткое отношение является расширением понятия четкого отношения
как множества, являющегося подмножеством декартового произведения двух
четких множеств — объектов изучения классической теории множеств. В ней
принадлежность элементов некоторому множеству определяется в бинарных
терминах (принадлежит или не принадлежит), а для нечеткого множества задается функция, ставящая в соответствие каждому элементу некоторого множества некоторое действительное число из отрезка [0, 1], характеризующее степень принадлежности. Для нечетких отношений в качестве такого элемента выступает элемент декартового произведения нескольких универсальных четких
множеств.
Понятие нечеткого отношения, как и нечеткого множества, было впервые
введено в 1965 г. американским математиком Лотфи А. Заде [1]. Оно является
основным в теории нечеткой логики, которая служит основой для целого класса
интеллектуальных систем, широко применяемых в системах искусственного
интеллекта, в теории принятия решений, в системах автоматического управления и др.
7
1. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
Декартовым (прямым) произведением четких множеств I1, I2, …, Ik, обозначаемое I1 I2 … Ik, называется четкое множество, состоящее из k-арных
упорядоченных последовательностей с первой компонентой из множества I1,
второй компонентой из множества I2, …, k-арной компонентой из множества Ik,
то есть I1 I2 … Ik = {(x1, x2, …, xk): x1 I1, x2 I2, …, xk Ik}.
Замечание: декартовое произведение не подчиняется коммутативному за-
кону.
k-арным нечетким отношением (НО), заданным на I1 I2 … Ik, обозначается R = {(x1, x2, …, xk), R(x1, x2, …, xk)}, называется нечеткое множество
(НМ) [6], состоящее из совокупности k-арных упорядоченных последователь-
ностей, которым поставлено в соответствие некоторое действительное число из
интервала [0, 1], называемое функцией принадлежности (ФП) и характеризующее степень принадлежности k-арной упорядоченной последовательности НО
R.
В случае, когда k = 2, нечеткое отношение называется бинарным (БНО),
обозначается R = {(x, y), R(x, y)}, заданным на I1 I2, х I1, y I2.
В случае, когда k = 3, нечеткое отношение называется тернарным.
Нечеткое отношение можно, как любое нечеткое множество [6], задать
следующими способами:
1) перечислением элементов;
2) аналитическим заданием ФП.
Помимо этого, БНО можно задать:
1) матрицей, строки которой обозначаются элементами первого универ-
сального множества I1, а столбцы — второго I2, а на пересечении i-й строки и jго столбца ставится значение ФП, соответствующее упорядоченной паре (xi, yj);
2) таблицей, причем строки и столбцы обозначаются так же, как в случае
с матричным представлением;
3) взвешенным графом;
4) графически.
Пример. Рассмотрим вариант использования понятия БНО для поддержки принятия решений при выборе типа судна [9], оптимального для перевозки
конкретных грузов (через x1 обозначим «Перевозка угля», через x2 — «Перевозка руды»; через x3 — «Перевозка целлюлозы») в зависимости от следующих
критериев: через y1 = «Стоимость груза»; y2 = «Охрана груза»; y3 = «Уровень
8
конкуренции». Таким образом, БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
заданы на X Y, где X = {x1,
x2, x3} и Y = {y1, y2, y3}.
Указанные в источнике [9] БНО перечислением элементов записываются
следующим образом:
1;,,60.0;,,95.0;,,1;,,1;,,1;,,1;,,95.0;,,1;,
3323133222123121111
yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
,
1;,,1;,,1;,,95.0;,,1;,,1;,,60.0;,,95.0;,,1;,
3323133222123121112
yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
,
1;,,1;,,1;,,95.0;,,1;,,1;,,95.0;,,1;,,1;,
3323133222123121113
yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
.
Матричное представление БНО:
160.095.0
111
195.01
1
R
M
,
111
95.011
60.095.01
2
R
M
,
111
95.011
95.011
3
R
M
.
Табличное представление БНО показано ниже (табл. 1–3).
Таблица 1
Бинарное нечеткое отношение
1
R
1
R
y1
y2
y3
x1 1 0.95 1 x2 1 1 1 x3
0.95
0.60
1
Таблица 2
Бинарное нечеткое отношение
2
R
2
R
y1
y2
y3
x1 1 0.95
0.60
x2 1 1
0.95
x3 1 1
1
9
Таблица 3
Бинарное нечеткое отношение
3
R
3
R
y1
y2
y3
x1 1 1
0.95
x2 1 1
0.95
x3 1 1
1
Взвешенным графом БНО можно представить одним из следующих способов.
Первый способ показан на рисунках 1–3.
Рис. 1. Графовое представление БНО
1
R
Рис. 2. Графовое представление БНО
2
R
Рис. 3. Графовое представление БНО
3
R
y
1
x
1
y
2
y
3
x
2
x
3
0.95
1
1
1
0.6
0.95
1 1 1
y
1
x
1
y
2
y
3
x
2
x
3
0.95
0.6
1
1
1
1
0.95
1
1
y
1
x
1
y
2
y
3
x
2
x
3
1
0.95
1
1
1
1
0.95
1
1
10
Второй способ показан на рисунках 4–6.
x
i
y
j
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
(x1 y1, x1 y3, x2 y1, x2 y2, x2 y3, x3 y3) = 1
(x1 y2, x3 y1) = 0.95
(x3 y2) = 0.60
Рис. 4. Графовое представление БНО
1
R
x
i
y
j
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
(x1 y1, x2 y1, x2 y2, x3 y1, x3 y2, x3 y3) = 1
(x1 y2, x2 y3) = 0.95
(x1 y3) = 0.60
Рис. 5. Графовое представление БНО
2
R
x
i
y
j
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
(x1 y1, x1 y2, x2 y1, x2 y2, x3 y1, x3 y2, x3 y3) = 1
(x1 y3, x2 y3) = 0.95
Рис. 6. Графовое представление БНО
3
R
Графически БНО представляет собой трехмерную поверхность или совокупность изолированных точек в трехмерном пространстве (рис. 7–9).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]