Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие отношения. Учебное пособие
.pdf
11
Рис. 7. Графическое представление БНО
1
R
Рис. 8. Графическое представление БНО
2
R
Рис. 9. Графическое представление БНО
3
R
12
2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
По определению, нечеткое отношение является нечетким множеством [6],
поэтому для него также определены характеристики, такие как носитель, ядро,
границы и т. д.
Пустым нечетким отношением, обозначаемым НО, называется НО, которое не содержит элементов, то есть это НО, ФП каждой k-арной упорядоченной
последовательности которого R(x1, x2, …, xk) = 0 для всех (x1, x2, …, xk) I1 I2
… Ik.
Универсальным нечетким отношением, обозначаемым UНО, называется
НО, ФП каждой k-арной упорядоченной последовательности которого R(x1, x2,
…, xk) = 1 для всех (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik.
Носителем НО (support of a fuzzy set) называется четкое множество SR,
которое содержит те и только те элементы (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik, для
которых значения ФП соответствующего НО отличны от нуля, то есть SR =
{
0,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,(
21212121
kkkk
xxxIIIxxxxxx
R
}.
Пример. Рассмотрим примеры БНО, использующихся для поддержки
принятия решений при выборе типа судна [9], определим носители
1
R
,
2
R
и
3
R
:
332313322212312111
,,,,,,,,,,,,,,,,,
1
yxyxyxyxyxyxyxyxyxSR
,
332313322212312111
,,,,,,,,,,,,,,,,,
2
yxyxyxyxyxyxyxyxyxS
R
,
332313322212312111
,,,,,,,,,,,,,,,,,
3
yxyxyxyxyxyxyxyxyxS
R
.
Мощностью нечеткого отношения (power of a fuzzy set), обозначаемой
|R|, называется количество элементов носителя НО.
По числу элементов нечеткие отношения бывают конечными и бесконечными.
Конечными называются НО, имеющие конечную мощность носителя.
Бесконечными называются НО, имеющие бесконечный носитель.
Два множества называются равномощными, если между их элементами
установлено взаимно однозначное соответствие.
Бесконечные нечеткие отношения делятся на два класса: счетные и континуальные НО.
Счетным нечетким отношением называется НО, носитель которого равномощен ℕ, то есть элементы носителя можно пронумеровать.
13
Континуальным называется НО, носитель которого равномощен ℝ.
Множеством -уровня (α-cut or α-level set of a fuzzy set) называется четкое
множество R
=
= {
]1 ,0[ ,,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,(
21212121
kkkk
xxxIIIxxxxxx
R
}.
Множеством строгого -уровня называется четкое множество
R
= {
]1 ,0[ ,,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,(
21212121
kkkk
xxxIIIxxxxxx
R
}.
Замечание: носитель произвольного НО совпадает с множеством строгого
0-уровня.
Пример. Рассмотрим примеры БНО, использующихся для поддержки
принятия решений при выборе типа судна [9], определим множества (строгого)
-уровня для
1
R
,
2
R
и
3
R
.
Множества -уровня при = 0.25 и = 0.5 совпадают:
3323133222123121111
,,,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
,
3323133222123121112
,,,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
,
3323133222123121113
,,,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
.
Множества -уровня при = 0.75:
3313322212312111 1
,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxR
,
33231332221221112
,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxR
,
3323133222123121113
,,,,,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxyxR
.
Высотой НО (height of a fuzzy set) называется величина hR = sup{R(x1, x2,
…, xk)}, где sup берется по всем значениям ФП для всех (x1, x2, …, xk) I1 I2
… Ik.
Замечание 1: высота пустого НО равна нулю.
Замечание 2: высота конечного НО совпадает с максимальным значением
ФП для всех (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik.
Пример. БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующиеся для поддержки принятия
решений при выборе типа судна [9], имеют высоту, равную 1, поскольку существуют такие элементы, например (x1, y1) X Y, имеют значение ФП, рав-
ное 1.
Нечеткое отношение называется нормальным, если (x1, x2, …, xk) I1
I2 … Ik, для которого R(x1, x2, …, xk) = 1, то есть максимальное значение его
ФП равно 1.
14
Нечеткое отношение называется субнормальным, если его высота равна
1, но не существует (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik, для которого R(x1, x2, …, xk)
= 1.
Пример. В частности, БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующиеся для поддерж-
ки принятия решений при выборе типа судна [9], являются нормальными, так
как имеют высоту, равную 1.
Ядром (core of a fuzzy set) НО называется четкое множество core(R), элементы которого удовлетворяют условию:
}1,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,{()(
21212121
kkkk
xxxIIIxxxxxxcore
R
R
.
Пример. Для БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующихся для поддержки приня-
тия решений при выборе типа судна [9], ядра представляют собой множества
следующего вида:
)(
1
Rcore
333222123111
,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyx
,
)(
2
Rcore
332313221211
,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyx
,
)(
3
Rcore
33231322122111
,,,,,,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyx
.
Границами НО (boundary of a fuzzy set) называется четкое множество BR,
состоящее из элементов универсального, значения ФП которых лежат в интервале 0 < R(x1, x2, …, xk) < 1, то есть представляет собой множество следующего
вида:
BR =
}. 1,...,, и 0,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,{(
2121212121
kkkkk
xxxxxxIIIxxxxxx
R
Пример. Для БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующихся для поддержки принятия
решений при выборе типа судна [9], границы представляют собой множества
следующего вида:
1
R
B
231321
,,,,, yxyxyx
,
2
R
B
323121
,,,,, yxyxyx
,
3
R
B
3231
,,, yxyx
.
Точкой перехода НО R (сrossover points of a fuzzy set) называется четкое
множество cross(R), элементы которого удовлетворяют условию:
}5.0,...,, ,...) ,...,,(:) ,...,,{()(
21212121
kkkk
xxxIIIxxxxxxcrossRR
.
Пример. Для БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующихся для поддержки приня-
тия решений при выборе типа судна [9], точки перехода представляют собой
пустые множества, поскольку нет ни одного (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik, для
которого R(x1, x2, …, xk) = 0.5.
15
3. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ ОТНОШЕНИЯМИ
Пусть R = {(x1, x2, …, xk), R(x1, x2, …, xk)}и S = {(x1, x2, …, xk),
S
(x1
,
x2, …, xk)} — два НО, заданных на одном декартовом произведении I1 I2 …
Ik.
Два НО R и S считаются равными (обозначается как R = S), если их ФП
принимают равные значения на всем I1 I2 … Ik.
Говорят, что НО R включает НО S, обозначается R S или R S, если
для всех (x1, x2, …, xk) I1 I2 … Ik выполняется R(x1, x2, …, xk)
S
(x1
,
x2, …, xk), при этом также говорят, что S доминирует над R или R содержится
в S.
Замечание 1. Запись R S означает, что не исключается случай возмож-
ного равенства двух НО R и S. В случае, когда равенство исключается, целесообразно использовать запись R S, при этом говорят, что R является собственным подмножеством S.
Замечание 2. Справедливо следующее включение: R R.
Несобственными подмножествами называются НО и само НО R.
Таблица 4
Основные операции над нечеткими отношениями [3–5, 7, 8]
I
II
III
IV
№
п./п.
Название опера-
ции
Обозначе-
ние опера-
ции
Формула для задания ФП
1
объединение
R S
max{R(x1, x2, …, xk),
S
(x1
, x2, …, xk)}
2
пересечение
R S
min{R(x1, x2, …, xk),
S
(x1
, x2, …, xk)}
3
разность
R – S
max{R(x1, x2, …, xk) –
–
S
(x1
, x2, …, xk), 0}
4
симметрическая
разность
R S
|R(x1, x2, …, xk) –
S
(x1
, x2, …, xk)|
16
5
дополнение
R
1 – R(x1, x2, …, xk)
6
алгебраическое
объединение
R + S
R(x1, x2, …, xk) +
S
(x1
, x2, …, xk) – R(x1, x2,
…, xk)
S
(x1
, x2, …, xk)
7
алгебраическое
пересечение
R •S
R(x1, x2, …, xk)
S
(x1
, x2, …, xk)
8
граничное
объединение
R S
min{R(x1, x2, …, xk) +
+
S
(x1
, x2, …, xk), 1}
9
граничное
пересечение
R S
max{R(x1, x2, …, xk) +
+
S
(x1
, x2, …, xk) –1, 0}
10
операция -суммы
R +
S
R(x1, x2, …, xk) +
+ (1 – )
S
(x1
, x2, …, xk)
11
умножение
на число
R
R(x1, x2, …, xk)
12
возведение
в степень
R
(R(x1, x2, …, xk))
Замечание 1. В случае, когда = 2, операция возведения в степень называется концентрированием, когда = 0,5, — растяжением.
Замечание 2. В таблице 4 представлены операции над НО R и S, в ре-
зультате каждой операции образуется новое НО, заданное на том же самом декартовом произведении I1 I2 … Ik, ФП которого определяется согласно
столбцу IV.
Замечание 3. В таблице 4 , — положительные действительные числа,
причем hR 1, [0, 1].
Замечание 4. Справедлива следующая цепочка вложений:
НО R S R •S R S R S R + S R S UНО.
Пример. Рассмотрим два БНО R и S, заданных на декартовом произве-
дении I I, где I = {1, 2, 3, 4, 5}.
17
Таблица 5
Бинарное нечеткое отношение R
Таблица 6
Бинарное нечеткое отношение S
R 1 2 3 4
5
1 1 0.8
0.5
0.2 0 2
0.8 1 0.8
0.5
0.2 3 0.5
0.8 1 0.8
0.5 4 0.2
0.5
0.8 1 0.8 5 0
0.2
0.5
0.8
1
S 1 2 3 4
5
1 0 0 0 0 0 2
0.2 0 0 0 0 3 0.5
0.2 0 0 0 4
0.7
0.5
0.2 0 0 5 0.9
0.7
0.5
0.2
0
Объединением этих двух БНО R и S является новое бинарное отношение,
таблица которого представлена ниже.
Таблица 7
Бинарное нечеткое отношение R S
R S
1 2 3 4 5
1
1
0.8
0.5
0.2 0 2
0.8 1 0.8
0.5
0.2 3 0.5
0.8 1 0.8
0.5 4 0.7
0.5
0.8
1
0.8 5 0.9
0.7
0.5
0.8
1
Пересечением БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица
которого представлена ниже.
Таблица 8
Бинарное нечеткое отношение R S
R S
1 2 3 4 5
1
0 0 0 0 0 2 0.2 0 0 0 0 3 0.5
0.2 0 0
0
4
0.2
0.5
0.2 0 0
5
0
0.2
0.5
0.2
0
18
Разностью БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 9
Бинарное нечеткое отношение R – S
R – S
1 2 3 4 5
1
1
0.8
0.5
0.2 0 2
0.6 1 0.8
0.5
0.2 3 0
0.6 1 0.8
0.5 4 0 0 0.6 1 0.8 5 0 0 0
0.6
1
Симметрической разностью БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 10
Бинарное нечеткое отношение R S
R S
1 2 3 4 5
1
1
0.8
0.5
0.2 0 2
0.6 1 0.8
0.5
0.2 3 0
0.6 1 0.8
0.5 4 0.5 0 0.6 1 0.8 5 0.9
0.5 0 0.6
1
Дополнения двух БНО R и S являются новыми бинарными отношениями,
таблицы которых представлены ниже.
Таблица 11
Бинарное нечеткое отношение R
Таблица 12
Бинарное нечеткое отношение S
R
1 2 3 4 5
1 0 0.2
0.5
0.8
1
2
0.2 0 0.2
0.5
0.8
3
0.5
0.2 0 0.2
0.5 4 0.8
0.5
0.2 0 0.2 5 1
0.8
0.5
0.2
0
S
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1
2
0.8 1 1 1 1
3
0.5
0.8 1 1 1 4
0.3
0.5
0.8 1 1 5 0.1
0.3
0.5
0.8
1
19
Алгебраическим объединением БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 13
Бинарное нечеткое отношение R + S
R + S
1 2 3 4 5
1
1
0.8
0.5
0.2 0 2
0.84
1
0.8
0.5
0.2 3 0.75
0.84
1
0.8
0.5 4 0.76
0.75
0.84
1
0.8 5 0.9
0.76
0.75
0.84
1
Алгебраическим пересечением БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 14
Бинарное нечеткое отношение R •S
R •S
1 2 3 4 5
1
0 0 0 0 0 2 0.16 0 0 0 0 3 0.25
0.16 0 0 0 4
0.14
0.25
0.16 0 0 5 0
0.14
0.25
0.16
0
Граничным объединением БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 15
Бинарное нечеткое отношение R S
R S
1 2 3 4 5
1
1
0.8
0.5
0.2 0 2
1 1 0.8
0.5
0.2 3 1 1 1
0.8
0.5 4 0.9 1 1 1 0.8 5 0.9
0.9 1 1
1
20
Граничным пересечением БНО R и S является новое бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 16
Бинарное нечеткое отношение R S
R S
1 2 3 4 5
1
0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
В результате операции -суммы БНО R и S при = 0.5 образуется новое
бинарное отношение, таблица которого представлена ниже.
Таблица 17
Бинарное нечеткое отношение R +
S
R +
S
1 2 3 4 5
1
0.5
0.4
0.25
0.1 0 2
0.5
0.5
0.4
0.25
0.1 3 0.5
0.5
0.5
0.4
0.25
4
0.45
0.5
0.5
0.5
0.4
5
0.45
0.45
0.5
0.5
0.5
В результате умножения на число = 0.5 БНО R и S образуются новые
бинарные отношения, таблицы которых представлены ниже.
Таблица 18
Бинарное нечеткое отношение R
Таблица 19
Бинарное нечеткое отношение S
R
1 2 3 4 5
1
0.5
0.4
0.25
0.1 0 2
0.4
0.5
0.4
0.25
0.1
3
0.25
0.4
0.5
0.4
0.25
4
0.1
0.25
0.4
0.5
0.4 5 0
0.1
0.25
0.4
0.5
S
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0 2
0.1 0 0 0 0 3 0.25
0.1 0 0 0 4
0.35
0.25
0.1 0 0 5 0.45
0.35
0.25
0.1
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]