Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нечеткие отношения. Учебное пособие
.pdf
21
В результате операции концентрирования БНО R и S образуются новые
бинарные отношения, таблицы которых представлены ниже.
Таблица 20
Бинарное нечеткое отношение R
2
Таблица 21
Бинарное нечеткое отношение S
2
R2
1 2 3 4 5
1
1
0.64
0.25
04 0 2
0.64
1
0.64
0.25
04
3
0.25
0.64
1
0.64
0.25
4
04
0.25
0.64
1
0.64 5 0
04
0.25
0.64
1
S2
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0 2
0.4 0 0 0 0
3
0.25
0.4 0 0
0
4
0.49
0.25
0.4 0 0 5 0.81
0.49
0.25
0.4
0
В результате операции растяжения БНО R и S образуются новые бинарные отношения, таблицы которых представлены ниже.
Таблица 22
Бинарное нечеткое отношение R
0.5
Таблица 23
Бинарное нечеткое отношение S
0.5
R
0.5
1 2 3 4 5
1
1
0.89
0.71
0.45
0
2
0.89
1
0.89
0.71
0.45
3
0.71
0.89
1
0.89
0.71
4
0.45
0.71
0.89
1
0.89
5
0
0.45
0.71
0.89
1
S
0.5
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0
0
2
0.45 0 0 0 0
3
0.71
0.45 0 0 0 4
0.84
0.71
0.45 0 0
5
0.95
0.84
0.71
0.45
0
Теорема 1. Пусть R, S и T — произвольные НО, заданные на одном де-
картовом произведении I1 I2 … Ik. Тогда справедливы следующие тожде-
ства [3–5, 7, 8].
1.
Законы идемпотентности:
R R R,
R НО
НО
,
R UНО R,
R R R,
R НО = R,
R UНО UНО.
2.
Свойства ассоциативности:
R (S T) (R S) T,
R (S T) (R S) T.
22
3.
Свойства коммутативности:
R S S R,
R S S R.
4.
Свойства дистрибутивности:
R (S T) (R S) (R T),
R (S T) (R S) (R
T).
5.
Законы поглощения:
R (R S) R,
R (R S) R.
6.
Законы де Моргана:
SR
R S,
SR
R S.
7.
Закон двойного дополнения:
R
R.
Замечание. В общем случае не выполняются свойства дополнения, то есть
R R НО, R R UНО.
Теорема 2. Пусть R, S и T — произвольные НО, заданные на одном де-
картовом произведении I1 I2 … Ik. Тогда справедливы следующие тожде-
ства [3–5, 7, 8].
1.
Законы идемпотентности:
R • НО НО,
R • UНО R,
R + НО = R,
R + UНО U
НО
.
2.
Свойства ассоциативности:
R • (S • T) (R • S) • T,
R + (S + T) (R + S) + T.
3.
Свойства коммутативности:
R • S S • R,
R + S S + R.
4.
Законы де Моргана:
SR
R + S
SR
R • S
Замечание. В общем случае не выполняются следующие законы:
5.
Законы идемпотентности:
R • R R,
R + R R.
6.
Свойства дистрибутивности:
R•(S + T) (R•S) + (R•T),
R + (S•T) (R + S)•(R + T).
7.
Законы поглощения:
R • (R + S) R,
R + (R • S) R.
8.
Свойства дополнения:
R • R НО,
R + R U
НО
.
23
4. КОМПОЗИЦИЯ БИНАРНЫХ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Пусть R = {(x, y), R(x, y)} и S = {(y, z), S(y, z)} — два бинарных нечетких отношения, причем R задано на I1 I2, S задано на I2 I3.
Композицией двух БНО R и S называется новое бинарное нечеткое отношение, обозначается R ○ S, заданное на I1 I3, ФП которого может опреде-
ляться любым из следующих способов [4]:
1)
R ○ S
(x, z) = max{min {R (x, y), S (y, z)}} — максиминная компози-
ция;
2)
R ○ S
(x, z) = min {max {R (x, y), S y, z)}} — минимаксная компози-
ция;
3)
R ○ S
(x, z) = max{{R (x, y) * S (y, z)}} — (max-prod)-композиция;
4)
R ○ S
(x, z) = max{ max {R (x, y), S (y, z)}} — максимаксная компози-
ция;
5)
R ○ S
(x, z) = min { min {R (x, y), S (y, z)}} — миниминная компози-
ция;
6)
R ○ S
(x, z) = 0,5 max{{R (x, y) + S (y, z)}} — (max-average)-
композиция;
7)
R ○ S
(x, z) = f (∑(R (x, y), S (y, z)) — (sum-prod)-композиция,
где ∑ — знак суммы, а f — некоторая логистическая функция типа сигмоидной,
которая ограничивает значения ФП действительным числом из интервала [0, 1].
Этот метод композиции применяется в приложениях искусственных нейронных
сетей для установления взаимосвязей между параллельными слоями в многослойных нейронных сетях.
24
5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПОЗИЦИИ НЕЧЕТКИХ
ОТНОШЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СУДОВОЖДЕНИЯ
Рассмотрим два примера использования понятия композиции нечетких
отношений для решения задач судовождения [2].
Пример 1. Рассмотрим множество посылок X ={x1, x2}, состоящее из двух
элементов: x1 — недостаточная подготовленность экипажа, x2 — плохая организация вахтенной службы, а также множество заключений Y = {y1, y2, y3}, состоящее из трех элементов: y1 — нарушение правил несения вахтенной службы,
y2 — ошибки вахтенных при принятии решений, y3 — плохой психологический
климат на судне.
Связь между посылками и заключениями оформляется в виде БНО, элементы которого определяются с помощью экспертов.
Предположим, что экспертами было определено БНО R на X Y следующего вида [2]:
MR =
5.05.06.0
2.01.09.0
.
Первая строка матрицы свидетельствует о зависимостях между симпто-
мами и недостаточной подготовленностью экипажа, а вторая — между этими
же симптомами и плохой организацией вахтенной службы.
Бинарное нечеткое отношение R в виде ориентированного графа пред-
ставлено на рисунке 10.
Рис. 10. Графовое представление БНО R
Предположим, что текущая ситуация может быть представлена в форме
следующего НО: B = {(y1, 0.9), (y2, 0.1), (y3, 0.2)}. Задача состоит в том, чтобы
определить возможные причины возникшей ситуации, используя для этого экспертную информацию в форме НО R.
Другими словами, в этой задаче, применяемой для оценки работы вахтен-
ной службы, необходимо найти такое НО A = {(x1, A(x1), (x2, A(x2)}, которое
соответствовало бы НО B.
С этой целью представим B в форме вектора b = (0.9 0.1 0.2), компоненты
которого равны значениям ФП соответствующих элементов. Нечеткое множе-
y
1
x
1
x
2
y
2
y
3
25
ство A также представим в форме вектора a = (a1 a2), компоненты которого неизвестны и требуют определения. Базовой предпосылкой для решения этой за-
дачи является предположение о том, что компоненты вектора а должны удовлетворять следующему условию:
а ○ MR = b,
(1)
что в матричной форме возможно записать следующим образом:
(a1 a2) ○
5.05.06.0
2.01.09.0
= (0.9 0.1 0.2).
Если в качестве метода нечеткой композиции использовать максиминную
композицию, то выражение (1) преобразуется в следующую систему нечетких
уравнений:
(0.9 a1) (0.6 a2) = 0.9,
(2)
(0.1 a1) (0.5 a2) = 0.1,
(3)
(0.2 a1) (0.5 a2) = 0.2.
(4)
Здесь связка используется для сокращения записи операции max, а
связка — для сокращения записи операции min. Необходимо решить эту систему нечетких уравнений, то есть найти такие значения a1 и a2, которые бы
удовлетворяли соотношениям (2)–(4).
В уравнении (2) второй член правой части не влияет на левую часть урав-
нения, поэтому получим следующий результат:
0.9 = 0.9 a1, отсюда необходимо, что a1 > 0.9.
(5)
Из уравнения (3) получим:
0.1 = 0.5 a2, следовательно, а2 < 0.1.
(6)
Заметим, что оба выражения (5) и (6) удовлетворяют выражению (4).
Окончательное решение будет следующим:
1 > а1 > 0.9, 0 < а2 < 0.1.
(7)
В рассмотренном случае причиной является а1, то есть применительно к
рассматриваемой ситуации необходимо обратить внимание на образовательный
уровень экипажа. Причина а2 не является определяющей и существенного влияния на качество организации вахтенной службы не оказывает. Следует также
отметить, что в общем случае для максиминной композиции существуют всегда
единственное максимальное и несколько «меньших решений». Так, в рассмотренной ситуации из уравнения (4) может быть получено второе «меньшее ре-
шение»: 0.2 > 0.5 a2, откуда a2 < 0.2, которое в этом случае фактически не
влияет на окончательный результат (7).
Пример 2. Рассмотрим использование БНО для прогнозирования разви-
тия аварийных ситуаций в зависимости от проведенных мероприятий по совершенствованию системы управления безопасностью [2].
26
Предположим, что эта система включает три входа и три выхода, соответствующие трем видам аварийности, причиной которых является человеческий фактор: навалы (10 % от общего числа аварий, причина которых — человеческий фактор), столкновения (20 %) и посадка на мель (40 %).
Точно определить количество процентов, приходящихся на каждый вид
аварий, затруднительно, особенно сложно определить динамику изменений с
учетом мероприятий по совершенствованию системы управления безопасностью.
Предположим, что эксперты [2] определили БНО, соответствующее данной ситуации, матрица которого представляет собой:
8.04.03.0
4.08.04.0
3.04.08.0
,
а взвешенный ориентированный граф изображен на рисунке 11.
Рис. 11. Взвешенный ориентированный граф БНО
Предположим, что группа экспертов определила следующую текущую
ситуацию в виде вектора: (0.4 0.5 0.1).
Для прогнозирования на предстоящий период используем максиминную
и max-prod-формулы определения композиции НО:
(0.4 0.5 0.1) ○
8.04.03.0
4.08.04.0
3.04.08.0
= (0.4 0.5 0.4),
(0.4 0.5 0.1) ○
8.04.03.0
4.08.04.0
3.04.08.0
= (0.32 0.4 0.2).
Таким образом, степень принадлежности 10 % навалов = 0.4 (0.32 по maxprod-формуле); 20 % столкновений — 0.5 и 0.4 соответственно; 40 % посадок на
мель — 0.4 и 0.2 соответственно. Получив значения ФП и проведя соответствующий анализ результатов, возможно осуществлять прогноз на последующий период.
y
1
x
1
y
2
y
3
x
2
x
3
0.4
0.3
0.8
0.8
0.4
0.3
0.4
0.8
0.4
27
6. СВОЙСТВА БИНАРНЫХ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
Бинарное нечеткое отношение, заданное на одном универсальном множестве, определяется как НО R = {(x, y), R(x, y)}, заданное на I I, где x, y I.
Говорят, что БНО R = {(x, y), R(x, y)}, заданное на одном универсальном
множестве I,
1) рефлексивно, если R(x, x) = 1, x I;
2) антирефлексивно, если R(x, x) = 0, x I;
3) симметрично, если R(x, y) = R(y, x), (x, y) I I;
4) асимметрично, если min{R(x, y), R(y, x)} = 0, (x, y) I I;
5) антисимметрично, если min{R(x, y), R(y, x)} = 0, (x, y) I I, при-
чем x y;
6) транзитивно, если R(x, z) ≥ max{min {R(x, y), R(y, z)}}, x, y, z I;
7) антитранзитивно, если R(x, z) min {max {R(x, y), R(y, z)}}, x, y, z
I.
Бинарное нечеткое отношение R = {(x, y), R(x, y)}, заданное на одном
универсальном множестве I,
1) рефлексивно, если все элементы главной диагонали матрицы равны 1;
2) антирефлексивно, если все элементы главной диагонали матрицы рав-
ны 0;
3) симметрично, если матрица БНО симметрична относительно главной
диагонали;
4) асимметрично, если все элементы главной диагонали матрицы равны
0, а также хотя бы один из двух элементов, расположенных относительно глав-
ной диагонали, равен 0;
5) антисимметрично, если хотя бы один из двух элементов, расположен-
ных относительно главной диагонали, равен 0.
Бинарное нечеткое отношение R = {(x, y), R(x, y)}, заданное на одном
универсальном множестве I, называется сильно полным, если max {R(x, y),
R(y, x)} = 1, (x, y) I I.
Бинарное нечеткое отношение R = {(x, y), R(x, y)}, заданное на одном
универсальном множестве I, называется слабо полным, если max {R(x, y), R(y,
x)} > 0, (x, y) I I, причем x y.
28
Пример. Определим свойства БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
, использующихся для
поддержки принятия решений при выборе типа судна [9]. Напомним, что их
матрицы имеют вид:
160.095.0
111
195.01
1
R
M
;
111
95.011
60.095.01
2
R
M
;
111
95.011
95.011
3
R
M
.
Рефлексивность. БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
обладают свойством рефлексивности
и не имеют свойства антирефлексивности, так как все элементы главных диагоналей матриц БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
равны 1.
Симметричность. БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
не обладают свойством симметрич-
ности, так как матрицы
1
R
M
,
2
R
M
и
3
R
M
не симметричны относительно главной
диагонали. Поскольку все элементы главной диагонали матрицы асимметричного отношения с конечным универсумом должны быть равны 0 (то есть обладать свойством антирефлексивности), а также как минимум один из двух симметричных относительно главной диагонали элементов должен быть равен 0,
следовательно, БНО
1
R
,
2
R
и
3
R
не обладают свойством асимметричности.
Они также не обладают свойством антисимметричности, так как один из
двух симметричных относительно главной диагонали элементов матриц
1
R
M
,
2
R
M
и
3
R
M
должен быть равен 0, что не выполняется.
Транзитивность. Для БНО
1
R
рассмотрим таблицу следующего вида
(табл. 24).
29
Таблица 24
Вспомогательная таблица для определения транзитивности БНО
1
R
ji
xx ,
kj
xx ,
ki
xx ,
(*)
(**)
ki
xx ,
1
R
(**)(*),min
ji
xx ,
1
R
kj
xx ,
1
R
11
; xx
11
; xx
11
; xx
1 1 1
1
11
; xx
21
;xx
21
;xx
1
0.95
0.95
0.95
11
; xx
31
; xx
31
; xx
1 1 1
1
21
;xx
12
;xx
11
; xx
0.95 1 1
0.95
21
;xx
22
; xx
21
;xx
0.95
1
0.95
0.95
21
;xx
32
; xx
31
; xx
0.95 1 1
0.95
31
; xx
13
; xx
11
; xx
1
0.95 1 0.95
31
; xx
23
;xx
21
;xx
1
0.6
0.95
0.6
31
; xx
33
;xx
31
; xx
1 1 1
1
… … … … … … …
Согласно определению транзитивности, должно выполняться условие:
kjji
x
ki
xxxxxx
j
,,,minmax,
RRR
. Используя элементы
131
; Rxx
и
113
; Rxx
, получим
111
; Rxx
, причем
95.0,,,min
1331
11
xxxx
RR
, а
элементы
131
; Rxx
и
123
; Rxx
образуют
121
; Rxx
, причем
6.0,,,min
2331
11
xxxx
RR
, а также элементы
131
; Rxx
и
133
; Rxx
об-
разуют
131
; Rxx
, причем
1,,,min
3331
11
xxxx
RR
. Максимум этих трех
значений равен 1, следовательно, в случае транзитивного БНО каждый из элементов
111
; Rxx
,
121
; Rxx
и
131
; Rxx
должен иметь значение ФП боль-
шее или равное 1, однако
1,
11
1
xx
R
и
1,
31
1
xx
R
, а
95.0,
21
1
xx
R
. Таким
образом, БНО
1
R
транзитивным не является.
Для БНО
2
R
рассмотрим таблицу следующего вида (табл. 25).
30
Таблица 25
Вспомогательная таблица для определения транзитивности БНО
2
R
ji
xx ,
kj
xx ,
ki
xx ,
(*)
(**)
ki
xx ,
2
R
(**)(*),min
ji
xx ,
2
R
kj
xx ,
2
R
11
; xx
11
; xx
11
; xx
1 1 1
1
11
; xx
21
;xx
21
;xx
1
0.95
0.95
0.95
11
; xx
31
; xx
31
; xx
1 1 1
1
21
;xx
12
;xx
11
; xx
0.95 1 1
0.95
21
;xx
22
; xx
21
;xx
0.95
1
0.95
0.95
21
;xx
32
; xx
31
; xx
0.95
0.95
0.6
0.95
31
; xx
13
; xx
11
; xx
0.6 1 1
0.6
31
; xx
23
;xx
21
;xx
0.6
1
0.95
0.6
31
; xx
33
;xx
31
; xx
0.6 1 0.6
0.6
… … … … … … …
Используя элементы
211
; Rxx
и
211
; Rxx
, получим
211
; Rxx
, при-
чем
1,,,min
1111
22
xxxx
RR
, а элементы
211
; Rxx
и
221
; Rxx
образуют
221
; Rxx
, причем
95.0,,,min
2111
22
xxxx
RR
, а также элементы
211
; Rxx
и
231
; Rxx
образуют
231
; Rxx
, причем
1,,,min
3111
22
xxxx
RR
. Максимум этих трех значений равен 1, следова-
тельно, в случае транзитивного БНО каждый из элементов
211
; Rxx
,
221
; Rxx
и
231
; Rxx
должен иметь значение ФП большее или равное 1, од-
нако
1,
11
2
xx
R
и
1,
31
2
xx
R
, а
95.0,
21
2
xx
R
. Таким образом, БНО
3
R
транзитивным не является.
Для БНО
3
R
рассмотрим таблицу следующего вида (табл. 26).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]