Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Курс лекций
Альтаир–МГАВТ
Москва
2015
УДК514
Махова Н.Б., Мацур Ф.К.
Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций.— М.: Альтаир–
МГАВТ, 2015,— 67 стр.
Предназначен для студентов 1 и 2 курсов факультета «Эксплуатация инфраструктуры
водного транспорта», изучающих дисциплину «Высшая математика». Курс лекций составлен
в соответствии с государственным образовательным стандартом и содержит теоретическую
часть, и большое количество подробно рассмотренных примеров, решения задач.
В теоретической части изложен необходимый минимум, которым должны владеть все
студенты факультета «Эксплуатация инфраструктуры водного транспорта». В каждой
лекции подробно рассмотрены наиболее важные вопросы по соответствующей теме занятия.
Приведенные примеры изученный иллюстрируют теоретический материал.
Представленный курс лекций может быть использован для подготовки студентов к
интернет-тестированию по интегральному исчислению функции одной переменной.
Рецензент: д.ф-м.н., проф. Кафедры высшей математики МГАВТ Сидоров С.В.
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.
Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на заседании кафедры
Высшей математики (Протокол № 4 от 3 декабря 2014).
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов
несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебно-методические материалы
МГАВТ, 2015
Махова Н.Б., 2015
Мацур Ф.К., 2015
Содержание
Лекция 1 Интегрирование. Неопределённый интеграл. Первообразная и
неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Лекция 2 Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 9
Лекция 3 Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . 13
Лекция 4 Простейшие рациональные дроби и их интегрирование . . . . . . . 16
Лекция 5 Разложение рациональной дроби на простейшие . . . . . . . . . 21
Лекция 6 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен . 27
Лекция 7 Интегралы от иррациональных функций . . . . . . . . . . . . 30
Лекция 8 Основная теорема интегрального исчисления.
Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Лекция 9 Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Лекция 10 Вычисление объема тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Лекция 11 Механические приложения определённого интеграла . . . . . . . 50
Лекция 12 Несобственные интегралы и их сходимость . . . . . . . . . . . 54
Лекция 13 Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . 57
Лекция 14 Понятие главного значения несобственного интеграла . . . . . . . 62
3
Лекция 1
Интегрирование. Неопределённый интеграл.
Первообразная и неопределённый интеграл
Ранее мы рассматривали такую задачу: дана функция F(x), надо найти её
производную, т.е. f(x)=F’(x).
В данных лекциях мы будем решать обратную задачу: дана функция f(x), требуется
найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x), т.е. F’(x)=f(x).
Определение: Функция F называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a, b],
если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x) = f(x).
С механической точки зрения это означает: по известной скорости движения
материальной точки необходимо восстановить закон её движения.
Пример:
1) Найти первообразную от функции
2) Найти первообразную от функции
Верно, что если для данной функции существует первообразная, то она не является
единственной.
Пример 3)
исчерпываются все первообразные от функции
Докажем, что функциями вида
Теорема: Если и две первообразные от функции f(x), на отрезке [a, b], то
разность между ними равна положительному числу.
Док-во: По определению первообразной:
(1)
при любых значениях x на [a, b].
Пусть
,тогда по (1):
или
при любых x на [a, b].
Но, если
, то .
По теореме Лагранжа для функции:
Т.к.
, то , или:
Т.о. функция в любой точке x[a, b] сохраняет значение , т.е.
на [a, b].
Пусть , тогда
.
4
Из теоремы следует, если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь
первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где C – const.
Определение: Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то
выражение F(x)+C называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается
.
Т.о., по определению,
, если F’(x)=f(x).
f(x) — подынтегральная функция.
f(x)dx — подынтегральное выражение.
интеграл.
Т.о. неопределённый интеграл представляет собой семейство функций y=F(x)+C.
Геометрический смысл: неопределённый интеграл представляет собой совокупность
(семейство) кривых, каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых
параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси ОУ.
Если функция непрерывна на [a, b], то для этой функции существует первообразная, а
значит и неопределённый интеграл.
Нахождение первообразной называется интегрированием.
Из определения следует:
1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
т.е. производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.
2) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению.
3) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная:
Таблица интегралов.
5
Докажем некоторые формулы:
Свойства определённого интеграла
Теорема 1.: Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких
функций равен алгебраической сумме их интегралов.
6
Доказательство: Найдём производные от левой и правой частей этого равенства:
Следовательно, по т.1, любая функция, стоящая в левой части равенства (1)
отличается от любой функции стоящей в правой части равенства (1) на постоянное
слагаемое.
Теорема 2.: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если
a=const, то:
Для доказательства равенства (2) находим производные от левой и правой его частей:
Правила интегрирования.
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его.
Т.к. , тогда:
7
Или другим способом:
Пример 7:
Т.к.
, то
Пример 8:
Пример 9:
Пример 10:
Пример 11:
8
Лекция 2
Основные методы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования — метод интегрирования, при котором
данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции и
применения свойств неопределённого интеграла сводится к одному или нескольким
табличным интегралам.
Подведение под знак дифференцирования:
Пример 1:
2. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки.
Пусть надо найти интеграл
, причём непосредственно подобрать
первообразную для нельзя, но известно, что она существует.
Пусть является первообразной к и зависит от переменной.
Найдём производную от по .
Если проинтегрировать обе части выражения по , то получим:
Или по определению неопределённого интеграла:
(1) — основная формула замены переменной.
т.к.
, то правую часть формулы (1) можно переписать в виде .
В процессе интегрирования х не является независимой переменной, а зависит от t.
9
Итак: любая формула интегрирования вида
сохраняет силу,
если, как в подынтегральном выражении, так и в правой части, сделать произвольную замену
переменной .
Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить
неопределённый интеграл стоящий в правой части равенства (1).
Замечание: При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной
не в виде, а в виде .
Пример 2: Вычислить интеграл вида:
Пусть , тогда
.
Пример 3:
Пример 4:
Пример 5:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]