Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
Статическим моментом
системы материальных точек относительно оси ОХ,
называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих
точек от оси ОХ)
Аналогично относительно оси OY:
Если масса распределена непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для
выражения статического момента необходимо интегрировать.
Пустьy=f(x) (a<x<b)- уравнение построения кривой АВ.
Пусть она однородная, с постоянной линейной плотностью
Найдём на кривой элементарный участок dl, содержащий точку (x,y).
Масса его: .
Статический момент и координаты центра тяжести плоской фигуры
Пример: Найти координаты центра тяжести полукруга.
51
Пример: Найти центр тяжести криволинейной трапеции.
3. Вычисление работы переменной силы.
x=y(x) — переменная сила, действующая вдоль оси ОХ на отрезке [a, b].
Работа переменной силы:
52
Пример: Найти центр тяжести однородной дуги, определяемой уравнением
, расположенной в Iчетверти координат.
53
Пусть функция f(x) — определена на интервале при любых х
Рассмотрим интеграл:
Имеет смысл при любом , то есть при изменении b, I(b) — непрерывная
функция от b.
Определение: Если существует конечный предел
Лекция 12
Несобственные интегралы и их сходимость
то этот предел называют несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на
интервале и обозначают
то есть
существует или сходится.
не существует или расходится.
Опр.: Интеграл называется несобственным, если:
1) его подынтегральная функция не ограничена на отрезке интегрирования (имеет разрыв IIго рода);
или
2) не ограничена сама область интегрирования.
Геометрический смысл несобственного интеграла, если:
54
Несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области,
заключённой между линиями y=f(x), x=aи осью абсцисс (в отличии от определённого
интеграла, который выражает площадь ограниченной фигуры).
Аналогично опр. 1 а)
Если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то
существует или сходится, по определению, и интеграл, стоящий слева.
Пример: Вычислить:
так как
интеграл расходится к бесконечности.
Пример: Вычислить:
так как
интеграл не существует, ни конечный, ни бесконечный, т. к. , при всё
время колеблется между +1 и -1.
Значит, интеграл расходится, колеблясь между конечными значениями 0 и 2.
Пример:
55
таким образом
Итак:
56
1. Признак сравнения.
Если для всехвыполняется неравенство и если
или, аналогично
Доказательство:
Лекция 13
Признаки сходимости несобственных интегралов
при перейдём к пределу (lim), то есть:
Пример: Исследовать, сходится ли интеграл
Очевидно, что:
сходится и данный интеграл.
Интеграл абсолютно сходящийся.
Пример:
57
Подынтегральная функция знакопеременная.
Но
3.
одновременно.
Доказательство:
При g(x)>0 умножим неравенство на g(x).
Тогда
4. Признак Дирихле.
1) f(x) имеет ограниченную первообразную, то есть:
ограничена на
2) g(x) непрерывно дифференцируема на и монотонно убывает при
Пример:
1)
58
Пример:
так как
так как
Примеры:
По определению:
Если с=0, то по определению:
аналогично
59
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]