Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
Пример 6:
Пример 7:
Пример 8:
11
12
Лекция 3
Метод интегрирования по частям
Пусть u и v — две дифференцируемые функции от х.
Тогда, как известно, дифференциал произведения равен:
Проинтегрировав, получим:
(1)-Формула интегрирования по частям.
Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно
представить в виде произведения двух множителей u и dv. При этом отыскание функции v по
её дифференциалу dv и вычисление интеграла
более простую, чем непосредственное вычисление интеграла
Пример 9:
Замечание:
При определении функции v по дифференциалу dv можно брать любую произвольную
постоянную, т.к. в конечный результат она не входит (формула (1)) (речь идёт о C=const).
Правило интегрирования по частям применяется так же для интегралов вида:
составляют в совокупности задачу
.
Кроме того, применяется и для интегралов содержащих обратные
тригонометрические функции.
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
13
1)
где P(x) — многочлен, k — число.
u = P(x), за dv — обозначаются все остальные сомножители.
2)
P(x)dx=dv, u — все остальные сомножители.
3)
a, b — числа.
Пример 10:
Пример 11:
14
Пример 12:
15
Лекция 4
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных
функциях. Поэтому важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются
через элементарные функции.
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной
формулой вида y=f(x), где справа стоит выражение, составленное из основных элементарных
функций и постоянных, при помощи конечного числа операций сложения, умножения,
вычитания, деления и взятия функции от функции.
По определению, элементарные функции являются функциями, заданными
аналитически.
Примеры:
Но не является элементарной, т.к. число операций неограниченно
возрастает с возрастанием n.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в
виде отношения двух многочленов:
Пусть эти многочлены не имеют общих корней. Если степень числителя меньше, чем
степень знаменателя, то дробь называется правильной (в противном случае — неправильной).
Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель (по правилу деления
многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой
правильной дроби:
Пример:
16
Интегрирование многочленов не представляется затруднительным, но основная
трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании
правильных рациональных дробей.
Определение: Правильные рациональные дроби вида:
Называются простейшими дробями I, II, III, IVтипов.
Интегрирование простейших дробей.
17
Произведём преобразования:
Первый интеграл берётся подстановкой:
Второй интеграл обозначим через
Итак:
и запишем в виде:
Теперь преобразуем последний интеграл:
Интегрируя по частям, будем иметь:
-15-
18
В правой части выражения содержится интеграл того же типа, что
знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже, то выразим через
Продолжая и дальше такими же преобразованиями понижать степень
интеграла вида:
Затем подставим х и получим значение интеграла через х и зададим числа А, В, p, q.
Пример:
1) Первый интеграл:
, но степень
.
дойдём до
2) Второй интеграл:
2a) Третий интеграл:
2б) Четвёртый интеграл:
Итак:
19
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]