Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
Интегралы вида
Рассмотрим интеграл вида
, где а0 тогда интеграл
приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью
следующих подстановок Эйлера.
1.Первая подстановка Эйлера
Если а>0, то получаем:
Перед корнем
возьмем знак «+» для определенности.
(возводим в квадрат обе части)
Отсюда х определяется как рациональная функция от t.
Значит dx тоже будет выражаться рационально через t.
Следовательно:
преобразуется в интеграл от рациональной
функции от t.
Пример:
Если а>0, то «+»
Если а<0, то «-»
Т.к. а=1>0, получаем
Откуда
Т.к.
, тогда
2.Вторая подстановка Эйлера
Если с>0 (корни комплексные), то получаем:
в интеграл . Мы сведем его к интегралу от
Т.к. dx и
также выражены через t, то подставим значение х,
рациональной функции от t.
3.Третья подстановка Эйлера
Пусть — действительные корни трехчлена
Получаем:
31
Т.к.
, то
, т.е.
интеграл от рациональной
=
Отсюда
функции от t.
4.Четвертая подстановка Эйлера
Выделение полного квадрата и приведение к виду:
при a>0 или
при a<0.
Замечание:
Третья подстановка Эйлера применима не только при a<0, но и при a>0 при условии,
что многочлен имеет два действительных корня.
Пример:
Т.к. , то
Тогда
Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональных функций
1.
2.
3.
32
Лекция 8
Основная теорема интегрального исчисления.
Формула Ньютона-Лейбница
Если есть некая первообразная от непрерывной функции, то формула.
Доказательство: Пусть – некая первообразная от функции.
По теореме 1 (о производной по верхнему пределу и по свойству 3 интегр.
переменных верхним пределом) функция
функции.
Но две первообразные от данной функции отличаются на слагаемые С.
Следовательно:
Это равенство есть тождество.
Определим при тогда
Следовательно:
Полагая получаем формулу Ньютона-Лейбница.
есть так же первообразная от
Разность не зависит от выбора первообразной т.к. все первообразные
отличается непостоянную величину.
Если
Знак
обозначает двойную подстановку.
, то
33
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл
, где функция непрерывна на .
Введем новую переменную по формуле . Если
1.
2.
3.
Геометрическое приложение определенного интеграла.
Вычисление площадей
1. В декартовой системе координат
1) Криволинейная трапеция ограниченная линиями .
а) ,где
неприрывная
Рассмотрим Т- произвольное разбиение [a,b] (рис.1)
и
значения.
Т.к. непрерывная функция, то составим интегральные суммы
Если (по формуле (6)
свойства интегральных сумм. Перейдем к пределам.
При
34
(по Т. о существовании определенного интеграла)
y
y=f(x)
X
(рис.1)
б)
Тогда определим интеграл
То абсолютная величина данного интеграла равна площади криволинейной трапеции.
Если конечное число раз меняет знак, на
, разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам.
, то интеграл
на
Если , то положителен
Если0, то отрицателен
y
+1 +3
x
a -2 b
35
Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой
y
x
Т.к.
или
2) Фигура ограниченная двумя кривыми
y
Если , то
и прямыми
x
36
3)
y
b x
a
или
4) y
b x
0 a
2. В полярной системе координат
1)
y
r
y
x x
Пусть, где - непрерывная функция при .
37
Определим площадь сектора ABC (рис 1.) ограниченного кривой и радиус-
векторами .
Разобьем данную область радиус-векторами.
на n частей.
–углы между провиденными радиус-векторами.
y
B
x
Пусть — длина радиус-вектора, соответствующая какому-нибудь углу
заключенному между
Рассмотрим круговой сектор с радиусом и центр углом
.
,
Сумма:
площадь сектора.
Т.к. эта сумма является интегральной суммой для функции
, то ее предел при есть определенный интеграл.
Площадь криволинейного сектора
или
Вычислить площадь кардиоры (кривая 4-го порядка)
кривая получаемая при радиуса-вектора каждой точки данной кривой на
постоянный отрезок C.
на отрезке
38
0
y
A
x
a a
3. Вычислить площади фигур, заданных пaраметрически
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,
отрезком и оси Ox и кривой, заданной параметрическими уравнениями.
39
Рассмотрим кривую:
где f(x) — функция, имеющая на [a,b] непрерывную производную.
Лекция 9
Г. Длина дуги кривой
I. В декартовой системе координат
Найдём длину дуги
x=a, x=b.
Произведём разбиение отрезка
Найдём соответствующие точки на дуге
этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми
.
.
Проведём хорды
, длины которых равны:
.
Длиной Lдуги
называется такой предел, к которому стремится длина вписанной
ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]