Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
Лекция 5
Разложение рациональной дроби на простейшие
Опр.║ Функция вида
— постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой
рациональной функцией).
n-степень многочлена
Опр.║ Корнем многочлена (1) называется такое значение
которой многочлен обращается в ноль, т.е.
.
, то многочлен делится без остатка на х-
— многочлен степени . (Следствие
, т.е.
Т1: Если есть корень многочлена
, где
из т. Безу)
Т2:(основная т. Алгебры) Всякий многочлен n-ой степени (n>0)имеет по крайней
мере один корень, действительный или комплексный.
Докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.
Т3: Всякий многочлен
, где -корни многочлена, -коэффициент многочлена при
можно записать в виде
-тоже многочлен и имеет корень, обозначим его через
;
, где
-многочлен (n-2)-ой степени, следовательно:
то
Док-во: Т.к.
И т.д. …в итоге получим
Множители
.
в равенстве (3) называются линейными множителями.
Пример:
При х=1 ;
Если в разложенном многочлене (3) какой-либо корень встретился k раз, то он
называется корнем кратности k.
В случае k=1 корень называется простым.
Т.е.
При том , а r- число различных корней.
переменной x, при
,
.
21
Пример:
Следствия из Т3:
Если многочлен
тождественно равен 0, то все его
коэффициенты равны 0.
1) Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного
многочлена равны соответственно коэффициентам другого.
Пример:
Если , то a=1, b= -3, c=0, d=1.
2) Если многочлен
с действительными коэффициентами имеет комплексный
корень a+bi, то он имеет и соответственно корень a-bi.
В разложенном многочлене (3) комплексные корни входят в сопряженные корни.
Перемножив линейные множители получим трехчлен
второй степени с действительными коэффициентами .
Т.е.
, где
.
Т4: Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на
линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами. Т.е. многочлен
можно представить в виде:
.
При этом – все квадратные трехчлены
не имеют вещественных корней.
Пример:
Разложение рациональной дроби на простейшие
Покажем, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших.
Пусть: 1) дана правильная рац. дробь
;
2) коэффициенты входящих в нее многочленов действительные числа;
3) данная дробь несократима.
Теорема Безу:
При делении многочлена f(x) y на разность (x-a) получается остаток, равный f(a).
Следствие:
Если а — корень многочлена т.е. f(a)=0, то f(x) делится на разность (x-a), и
следовательно, представляется в виде произведения: f(x)=(x-a)k-1f1(x) =>
, где
f(x)-многочлен.
Теорема 1:
Пусть x=a — корень знаменателя кратности k , т.е. f(x)=(x-a)k-1f1(x), где
Тогда данную правильную дробь
можно представить в виде суммы двух других
.
22
правильных дробей следующим образом:
многочлен степень которого меньше степени знаменателя
, где ,
.
Доказательство:
Напишем тождество:
т.е.
,
-19-
(Справедливо при) и определим const A так, чтобы многочлен
делился на
выполнялось равенство
. Для этого по т. Безу необходимо и достаточно, чтобы
определяется равенством:
, т.к.
, , то А однозначно
.
При таком А будем иметь:
, где
— многочлен, степень которого ниже степени многочлена
(3)
.
В формуле (2) сократили дробь на (x-a) с учетом формулы (3) — получим равенство (1)
.
Следствие:
К правильной рациональной дроби
входящей в равенство (1) можно
применить аналогичные рассуждения. Т.о. знаменатель имеет корень x=a кратности k, то
можно записать:
, где
— правильная рац. дробь.
Рассмотрим кратко случай комплексных корней знаменателя. При этом комплексные
корни многочлена с действительными коэффициентами везде попарно сопряжены (т.е.
, ).
В разложенном многочлене не действительные множители каждой паре комплексных
корней (многочлена) соответствует выражение вида: .
Если же комплексные корни имеют кратность µ, то им соответствует выражение
Теорема 2:
Если , где многочлен не делится на , то
правильную рациональную дробь
можно представить в виде суммы двух других
правильных дробей следующим образом:
степени многочлена
,где
— многочлен степень которого ниже
23
Применяя к правильной рациональной дроби
результаты Т1 и Т2 можно выделить
последовательно все простейшие дроби соответствующие всем корням знаменателя .
То получим:
Если
может быть представлена в виде
, то дробь
Коэффициенты A, А1,…, В, В1,В2… можно определить из следующих соображений:
1) Написанное равенство — тождество, поэтому приведя дроби к одному
знаменателю, получим тождественные многочлены слева и справа.
2) Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых х получим систему
уравнений для определения неизвестных коэффициентов A, А1,…, В, В1,В2… .
Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных
коэффициентов.
Т.о. всякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших
рациональных дробей.
Пример: Вычислить интеграл:
1) Приведем к общему знаменателю и приравняем числители получившихся дробей.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны
коэффициенты при одинаковых степенях х.
Приравнивая коэффициенты получаем систему уравнений для определения А, В, С,D.
При
Решим эту систему, записав матрицу коэффициентов
15B = 4 => B =
=>
=>
24
Итак:
Вместе с тем исследуя тождество (4) можно найти искомые коэффициенты проще.
Обратить одну из скобок в О, например
Итак
1) т.к. многочлены, получившиеся в левой и правой частях равенства после
приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны
при любых частных значениях х.
2) придавая частные значения получим уравнения для определенных коэффициентов.
Итак:
Пример:
при x= -1 =>
1=C
При х= -2 => 4= -A, A = -4
B+1= 1 => B=0
Итак:
III.Среди корней знаменателя есть комплексные некогерентные (т.е. различные)
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.
Пример:
25
IV.Среди корней знаменателя есть комплексные кратные корни. (Используется
очень редко)
В этом случае разложение дроби
будет содержать и простейшие дроби IV типов.
Т. о. интеграл от любой рациональной дроби может быть выражен через
элементарные функции в конечном виде, а именно:
1) через логарифм – в случае простейшей дроби I-ого типа;
2) через рациональные функции - в случае простейшей дроби II типа;
3)через логарифм и арктангенс – в случае простейшей дроби III типа;
4) через рациональные дроби и арктангенс - в случае простейшей дроби IV типа.
26
Лекция 6
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
Преобразуем трёхчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или
разности квадратов:
«+» или «-» берётся в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева
положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трёхчлена
комплексными или действительными.
Ответы:
Пример:
II. Рассмотрим интеграл более общего вида:
27
Тождественно преобразуем подынтегральную функцию:
Значит:
Итак:
Пример:
III. Рассмотрим интеграл:
28
С помощью преобразований этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к
табличным интегралам:
1)
IV. Интеграл вида:
Вычисляется с помощью преобразований, рассмотренных ранее:
Применив к первому из полученных интегралов подстановку:
Во втором интеграле подстановка та же, что и в III.
Пример:
29
Лекция 7
Интегралы от иррациональных функций
1.Рассмотрим интеграл вида:
где R- рациональная функция своих аргументов, т.е. над величинами
проводятся только рациональные операции.
Пусть К-общий знаменатель дробей
Сделаем подстановку:
Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно,
подынтегральная функция преобразуется в рациональную дробь от t.
Пример1:
Общий знаменатель дробей
является 4. Поэтому делаем замену
Пример 2:
НОК знаменателя дроби
Значит:
является 6.
.
,
2.Рассмотрим интеграл вида:
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью
подстановки.
, где k — общий знаменатель дробей
.
Пример:
Делаем подстановку , тогда
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]