Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
расходится
61
Понятие главного значения несобственного интеграла
По Коши:
Лекция № 14
v.p.
Предел и в том случае, если интеграл расходится.
Определение:
Предел вида (1) называется главным значением интеграла на
интеграл сингулярным на интервале (a, b).
Определение:
Главным значением интеграла, взятого по всей числовой оси, называют предел вида:
Пример:
Интеграл
расходится, т.к. первообразная функция ln|x| имеет бесконечный
разрыв на интервале интегрирования при х=0.
Но при этом:
–главное значение существует,
, а
т.к. слагаемое взаимоуничтожается до перехода к пределу.
Пример:
Т.е. главное значение интеграла существует, хотя сам интеграл расходится и потому
является сингулярным.
Но не все расходящиеся интегралы обладают главным значением.
Пример:
Т.к.
– сходится
равносильные или эквивалентные бесконечно малые величины, то такие
величины, предел отношения которых равен 1 при x>0
=
62
Но в силу главного значения:
Пример:
Итак, несобственные интегралы представляют из себя либо определенный интеграл от
непрерывной функции, но с бесконечными промежутками интегрирования(I род), либо
определенный интегралс конечным промежутком интегрирования, но функции, имеющей на
оси бесконечный разрыв (II род).
Пример:
Пусть на [a, b]a<bзадана непрерывная функция f(x). Чтобы вычислить интеграл
, численно равный площади криволинейной трапеции, надо разбить фигуру на
трапеции.
Длина отрезка равна
отрезка
Приблизительное вычисление определенного интеграла
1. Формула средних прямоугольников
построим ординатуграфика функции
виды разбиения. В середине каждого
формула обратных
прямоугольников
63
2. Абсолютная погрешностьпо функции (1) определяется следующей формулой:
где
наибольшее значение
на отрезке [a, b]
3. Формула трапеции
Формула получим аналогично предыдущей:
Заменим кривую y=f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат
Тогда:
или
Формула Симпсона
Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке
разбиения не
отрезками прямых, как в предыдущих методах, а дугами парабол, то получим более точную
формулу приближенного значения интеграла
64
формула Сипсона (парабол).
В точках деления вычислим значение подынтегральной функции
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с
основаниями, равными h, на одну параболическую трапецию с основанием 2h.
Абсолютная погрешность:
Ex.:
а) по формуле прямоугольников:
б) по формуле трапеций:
65
в) по формуле парабол:
Точное значение интеграла:
Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы:
а) 0,125
б) 0,25
в) 0
66
Махова Наталья Борисовна
Мацур Франческа Каземировна
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Курс лекций
Компьютерная верстка: Михайлик Е.В.
По дпи са но в печат ь . . 2015г.
Фо рмат 60 х90 /1 6 Объ ем п. л
Заказ № _________ Тираж экз .
Ал ьта ир –МГ АВ Т
Мо ско вс ко й гос уд арс тв енной акад ем ии во дн ого т ра нспор та
117 105 , г.Москва, Но вод ани ло вска я н абер еж ., ст рое ние 2 , кор.1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]