Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенные и определенные интегралы. Курс лекций
.pdf
Высказывание:
Докажем, что если на функция f(x) и её производная непрерывны, то этот
предел существует.
Пусть:
Тогда:
Теорема Лагранжа:
Если функция f(x) непрерывна на [a, b]и дифференцируема во всех внутренних точках
этого отрезка, то внутри отрезка [a, b]найдётся по крайней мере одна точка
По теореме Лагранжа:
Значит:
Таким образом длина вписанной ломаной равна:
По условию f’(x) непрерывна, значит
Итак:
длина дуги в декартовой системе координат
тоже непрерывна.
II. В параметрическом виде
x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции при
41
Пусть
Тогда, сделав подстановку в формуле (1), получим:
Формула (2) остаётся в силе и для кривых, которые пересекаются С кривыми более
чем в одной точке (в частности, для замещающих кривых), лишь бы во всех точках кривой
были бы непрерывны производные
Пример: Найти длину астроиды.
В I-ойчетверти:
42
Пример: Вычислим длину в параметрических координатах для дуги.
Следовательно:
Еслиа=R, то:
III. В полярных координатах.
Пусть дано:
Перейдём к параметрическому виду:
43
Подставляя, получим:
Пример: Найти сумму кривой
Кардиоида:
44
Лекция 10
Вычисление объема тела
1. Вычисление объема тела вращения по известным площадям поперечных сечений
Объем тела заключенный между перпендикулярами к оси Ох (плоскостями )
— площадь поперечного сечения фигуры в т.к.
Возьмем разбиение
Объем тела между
Объем тела:
можно измерять как объем цилиндра
, где — площадь поперечного сечения
отрезок оси Ох. y
0 a
b x
2. Вычисление объема тела вращения
.
a) Рассмотрим тело, образованное вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох.
Возьмем разбиение
Объем V цилиндра, образованного вращением прямоугольника вокруг оси Ох равен
45
y
0 a b x
б) Рассмотрим тело, образованное вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу.
y
b
a x
0
Пример. Дан конус.
Сечение конуса плоскости параллельно основанию, отстоящему от вершины на Х —
это круг радиуса r.
R
H x H
R
46
O
x
r
H
A R B
a) Вращение вокруг оси Ох фигур, ограничена осью Ох и ??? синусоиды
б) Дуга параболы отсеченная прямой вращается во круг Oy.
т.к. если вращение вокруг оси Oy, то
y
h
x
47
3) Вычисление площади поверхности вращения
1. В декартовой системе координат.
Дуга кривой вращается вокруг оси Ох.
Площадь поверхности вращения -
y
B
a b
0 x
z
2. В параметрическом виде.
Пример.
Площадь поверхности, образованной вращением астроиды
Для I четверти
вокруг оси Ох.
48
или
Замена:
49
Лекция 11
Механические приложения определённого интеграла
1. Работа переменной силы
Пусть математическая точка М перемещается вдоль оси ОХ под действием
переменной силы F=F(x), направленной параллельно этой оси.
Работа, производимая силой, при перемещении т. М из положения х=а в положение
х=b (а<b) равна:
Пример.: Какую работу нужно затратить чтобы растянуть пружину на 0,05 м., если
сила 100Н Растягивает пружину на 0,01 м.
F=1000 Н
х=0,01 м
F=kx
100=0,01k
k=10000
F=10000x
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(x).
Путь S, преодолевается ею за промежуток времени от до
Ex.: Определить путь, проходимый телом за 4 сек. от начала движения со скоростью:
v=10t+2 м/с
2. Путь, проходимый телом
.
3. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоских кривых.
Пусть на плоскости ОХYзадана система материальных точек
c моментами
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]