Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

С. П. Вихров,

Н. В. Бодягин, Т. Г. Ларина

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

И НЕОБРАТИМОСТЬ

ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

2-е издание

Вузовское образование

Саратов • 2019

УДК 621.3 ББК 32.86

Рецензент:

Холомина Т. А. — профессор кафедры биомедицинской

и полупроводниковой электроники

Рязанской государственной радиотехнической академии

Неопределенность и необратимость физических процессов [Электронный

ресурс] : учебное пособие / [С. П. Вихров и др.]. — 2-е изд. — Электрон. дан. и прогр.

(6 Мб). — Саратов: Вузовское образование, 2019. — 74 с.

ISBN 978-5-4487-0362-1

В учебном пособии рассмотрены современное состояние классической и квантовой механики, проблемы необратимости и неустойчивости в нелинейных самоорганизующихся системах. Определены физические механизмы образования неустойчивости в макросистемах и на квантовом уровне. Описаны основы исследования динамики физических процессов в макроскопических системах.

Подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.

Предназначено для изучения дисциплины «Квантовая механика» по направлению подготовки высшего образования 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника». Кроме того, учебное пособие будет полезно студентам и аспирантам инженерно-технических специальностей и направлений, изучающих данную дисциплину.

Для создания электронного издания использовано:

Приложение pdf2swf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,

разработанное на основе Adobe Air

Коллектив авторов, 2005

ВВЕДЕНИЕ

В классической картине мира, в которую, как правило, включают классическую динамику Ньютона, квантовую механику и теорию относительности, законы природы выражают определенность. Она заключается в том, что при заданных подходящих начальных условиях мы можем с определенностью предсказывать будущее или восстанавливать прошлое. Из этих теоретических построений следует эквивалентность между прошлым и будущим, то есть по существу отрицается наличие стрелы времени в объективном мире.

Тем не менее, повсюду – в химии, физике, геологии, космологии, биологии и гуманитарных науках – прошлое и будущее играют различные роли. Везде мы наблюдаем изменчивость, необратимость, неустойчивость. Как следствие, наши знания о природе имеют неустранимый оттенок неопределенности, непредсказуемости [1]. Кроме того, все, что было произведено и производится человеком, при ближайшем рассмотрении оказывается принципиально невоспроизводимым. Это означает, что, например, при выращивании различных твердотельных материалов фактически не удается получать в точности подобную структуру материала от процесса к процессу [2]. Это верно даже при максимально возможной точности фиксации условий технологического процесса.

Сложившаяся ситуация противоречия между укоренившейся за многие столетия верой в детерминистический характер физических законов и необратимым и неустойчивым характером динамики реальных процессов требовала разработки принципиально новых теоретических подходов. Разумеется, суть этих подходов должна была находиться вне пределов законов Ньютона (раздел 1).

Ключевыми моментами в создании новой теоретической схемы стали рождение физики неравновесных процессов и физики неустойчивых систем [3]. Развитие первой дисциплины привело к возникновению таких новых понятий как самоорганизация и диссипативные структуры, которые ныне повсеместно используются в широком спектре дисциплин (раздел 2).

Благодаря этому подходу стало понятно, что необратимость приводит к когерентности, к эффектам, охватывающим миллиарды и миллиарды частиц. Фигурально говоря, вещество в состоянии равновесия в отсутствии стрелы времени «слепо», а при наличии стрелы времени обретает способность «видеть». Классическая наука всячески подчеркивала порядок и устойчивость. Благодаря физике неустойчивых систем мы, наоборот, видим флуктуации, неустойчивость, выбор одной из многих возможностей и ограниченную предсказуемость на всех уровнях наблюдения. Широкое

распространение получала идея детерминированного хаоса (раздел 2). Коль скоро мы вынуждены ввести в картину мира неустойчивость и, как следствие, непредсказуемость, мы оказываемся в совершенно иной ситуации, и смысл законов природы коренным образом изменяется, ибо теперь они выражают возможности, или вероятности [4-5].

Главной физической идеей, которая лежит в основе физики неустойчивых систем, являются резонансы Пуанкаре [6]. Как будет показано в разделе 1, каждой моде движения отвечает определенная характеристическая частота. Пуанкаре доказал существование резонансов между степенями свободы, которые приводят в конечном счете к неустойчивости. Это заставляет коренным образом изменить наше описание природы. Наблюдаемый нами мир не может быть сведен к отдельным траекториям или волновым функциям. В итоге мы должны использовать описание в терминах статистических ансамблей.

Существование неопределенности является фундаментальной чертой всех иерархических уровней описания природы: от микро- до макромасштабов. Присуща она и квантовому уровню. Знаменитые соотношения неопределенностей Гейзенберга утверждают, что в квантовой системе не могут быть известны одновременно две определяющие систему величины [7]. Таким образом, между неопределенностями этих величин существуют математические соотношения, не допускающие точного их знания одновременно (раздел 3).

Несмотря на кажущуюся идентичность терминологии, используемой применительно к макроскопическим и квантовым системам, понятия неопределенности и непредсказуемости для них имеют существенные смысловые отличия. В классической механике причиной неопределенности являются «внешние» факторы, исключить которые есть гипотетическая возможность. Однако на практике сделать этого по ряду принципиальных причин невозможно. Для квантовых же систем неопределенность «генетически» встроена в саму их структуру (раздел 4).

В заключении рассматривается методологическая проблема соотношения между детерминизмом и причинностью, с одной стороны, и свободой выбора – с другой. Именно по узкой тропе между этими подходами и будет дальше развиваться физика динамических процессов.

1. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

1.1. От Ньютона до Гамильтона

Основная проблема ньютоновской механики состоит в расчете движения взаимодействующих тел на основе знаменитого уравнения движения Ньютона F = ma, связывающего ускорение (т.е. вариацию состояния движения) с силой.

С траекторией связаны такие величины, как координаты тела r(t), скорость υ, определяемая как dr/dt, и ускорение а = d2r/dt2. Важно отметить, что время входит в уравнение Ньютона только через вторую производную. Вследствие этого уравнение Ньютона остается инвариантным при замене t на –t. Закон Ньютона служит прототипом «закона природы»: он обратим во времени и детерминистичен. Зная начальное положение r(t0) и начальную скорость υ(t0), можно приступить к интегрированию уравнения Ньютона и найти положение и скорость тела в любой момент времени t до или после t0.

Почти три столетия ньютоновская динамика казалась замкнутой концептуальной системой, способной дать ответ на любой поставленный ей вопрос. Почти по определению, вопрос, на который динамика не давала ответа, отвергался как псевдопроблема. «Ньютоновский» подход определяет мир как совокупность траекторий r(t), тем самым исключая всякое различие между прошлым и будущим: если какая-то траектория ведет из А в В, то какая-то другая столь же возможная траектория ведет из В в А (рис. 1.1).

В общем случае состояние динамической системы задается координатами q1, …, qs, которые являются независимыми переменными, и соответствующими им скоростями υ1, …, υs, которые являются зависимыми переменными, поскольку определяются как производные от координат по времени. Современная физика использует вместо ньютоновского описания гамильтоновское. В гамильтоновском описании и координаты, и скорости, или, точнее, импульсы р1, ..., рs (в простых ситуациях импульс равен произведению массы на скорость), определяются как независимые переменные. Преимущество такого подхода заключается в существенном упрощении уравнений движения.

Центральная величина всей гамильтоновской динамики — функ- ция Гамильтона, или гамильтониан, Н. Мы будем рассматривать главным образом консервативные системы, в которых Н не зависит явно от времени. Во многих ситуациях (например, в случае гравитационного взаимодействия между частицами) гамильтониан имеет вид

H = E(p1, …, ps) + V (q1, …, qs), (1.1)

где Е – кинетическая, зависящая только от импулься, а V – потенци-

Рис. 1.1.

Эквивалентность

траекторий АВ и ВА

А В

альная энергия, зависящая только от координат. Гамильтониан выражает энергию системы в канонических переменных р и q (здесь и далее мы будем опускать индексы, если это не приводит к недоразумениям). В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается, но уравнения движения существенно упрощаются. Рассмотрим систему N точек. Каждой из 3N координат N

точек соответствует каноническое уравнение движения

(1.2)

Аналогично, каждому из 3N импульсов соответствует каноническое уравнение движения вида

(1.3)

В качестве частного случая рассмотрим свободные, т.е. не взаимодействующие, частицы. Гамильтониан зависит только от импульсов (потенциальной энергии нет). Из канонических уравнений следует, что

импульсы постоянны во времени (

) и

что координаты, задающие положение частиц, — линейные функции времени. Ясно, что это тривиальный случай, но он играет весьма важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых уравнений движения.

Каноническое представление уравнений движения по праву считается выдающимся достижением классической динамики. После появления канонических уравнений законы движения записывались только через одну-единственную величину — гамильтониан Н. Кроме того, вводят фазовое пространство. Для динамической системы, состоящей из N частиц, фазовое пространство 6N-мерно (3N координат и 3N импульсов). Каждое состояние динамической системы может быть представлено точкой в фазовом пространстве. Положение начальной точки вместе с гамильтонианом полностью определяет траекторию. В результате две траектории в фазовом пространстве, исходящие из различных начальных точек, навсегда останутся различными. Они никогда не пересекутся и не сольются в одну общую траекторию. Каждая точка в фазовом пространстве принадлежит одной и только одной траектории.

Чтобы ввести понятие интегрируемой системы [8], обратимся к

sin/2 mJ

cos2 Jm

Рис. 1.2. Переменные уголдействие как функции декартовых координат

простому примеру одномерного гармонического осциллятора (т.е. грузика, колеблющегося на конце пружины). Его гамильтониан имеет вид

Н = р2/2т + kq2/2, (1.4)

где m — масса; k — упругая постоянная (мера жесткости) пружины; р2/2т – обычная кинетическая энергия; kq2/2— потенциальная энергия, имеющая минимум при q = 0 (положении равновесия пружины). Постоянная k связана с частотой υ осциллятора соотношением υ =

(1/2π)√(km).

Чтобы упростить гамильтоновы уравнения, введем новые переменные α и J вместо старых q и p (рис. 1.2), которые удовлетворяют каноническим уравнениям движения и связаны с q и р соотношениями

q =

и p =

, где ω = 2πν. Переход от старых пере-

менных к новым вполне аналогичен преобразованию от декартовых координат к полярным; α называется угловой переменной, J – переменная действия. В переменных угол–действие гамильтониан принимает простой вид: Н = ωJ. Он зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц,

(1.5)

т.е. переменная действия J является инвариантом движения. Что же касается угловой переменной α, то

. Следовательно, эволю-

ция угловой переменной во времени описывается линейной функцией времени:

α = ωt + α0. (1.6)

Переход от переменных p и q к переменным J, α называется кано-

ническим преобразованием. В нашем случае каноническое преобразование позволяет исключить взаимодействие (потенциальную энергию) из гамильтониана. В результате движение выражается в терминах циклических переменных J, α и, как отмечалось выше, уравнения Гамильтона становятся простыми и легко интегрируются. Действительно, в циклическом представлении гамильтониан Н есть функция только переменных действия J1, …, Js. Как и в случае свободного

движения, каждый импульс есть инвариант (dJ/dt = 0) и каждое

положение, задаваемое угловыми переменными α1, …, αs, есть

линейная функция времени (dα/dt = ω). Возможность исключить потенциальную энергию с помощью преобразования – основная характерная особенность интегрируемых динамических систем в смысле Пуанкаре.

Термин «циклические переменные» для набора переменных, исключающих взаимодействия в гамильтониане, относится к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных. Действительно, как было показано на примере гармонического осциллятора, координаты q представимы в виде периодических функций угловых переменных α. Если интегрируемая система имеет одну степень свободы, то ее эволюцию можно представить как движение по окружности. В случае двух степеней свободы мы имеем движение на торе.

Очень важную роль играют частоты системы ω1, …, ωs. Как уже отмечалось, все они являются производными по времени различных угловых переменных α1, …, αs и определяются каноническими уравнениями

(1.7)

Именно через эти частоты приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значение для теоремы Пуанкаре [6, 9].

Всем нам знакомо понятие резонанса. Когда вынуждаем струну отклониться от положения равновесия, а затем отпускаем ее, струна колеблется с некоторой характеристической частотой. Предположим теперь, что на колеблющуюся струну внешняя сила действует с частотой, которая может меняться в определенных пределах. Когда две частоты — частота собственных колебаний пружины и частота внешней силы — относятся между собой как небольшие целые числа (т.е. когда одна частота либо равна другой, либо больше ее в 2, 3, 4, ... раз), амплитуда колебаний струны резко возрастает. Аналогичным образом, если раскачивать качели толчками в такт с периодом колебаний качелей, то амплитуда колебаний усиливается. То же явление наблюдается и в музыке, когда берем на инструменте ноту с частотой, равной целому кратному собственной частоты инструмента. Таким образом, резонанс можно охарактеризовать как передачу энергии между двумя связанными периодическими движениями с равными (или кратными) частотами.

Рассмотрим теперь интегрируемую систему с двумя степенями свободы, движение которой представимо на торе. Возможны (и действительно существуют) две ситуации. Если

n1ω1 + n2ω2 = 0, (1.8)

где n1 и n2 — целые числа, не равные нулю одновременно, то имеем

122

резонанс. Это означает, что

, (1.9)

т.е. отношение частот равно рациональному числу. Если есть резонанс, то движение на торе периодическое. Наоборот, если сумма n1ω1 + n2ω отлична от нуля при произвольных целых числах n1 и n2, то изображающая точка никогда не возвращается в начальное положение. В этом случае имеем квазипериодическое движение: геликоидальную траекторию, которая, никогда не замыкаясь, навивается на поверхность тора. Для системы с двумя степенями свободы квазипериодическое движение возникает, например, если ω1 = 1 и ω2 – иррациональное число (скажем, √2).

Квазипериодическое движение выглядит очень сложным. Поскольку представляющая траектория нигде не замыкается и не пересекается с собой, она постепенно заполняет весь тор. В конце концов, такая траектория проходит через любую, сколь угодно малую, окрестность произвольной точки на поверхности тора. Такая траектория называется «всюду плотной».

Обрисовав в общих чертах наиболее существенные особенности понятия резонанса, можем теперь приступить к более основательному рассмотрению теоремы Пуанкаре.

1.2. Теорема Пуанкаре: интегрируемые

и неинтегрируемые динамические системы

Теперь подходим к одному из краеугольных камней современной динамики — различию между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами. Ранее уже упоминали о том, что определение интегрируемой динамической системы связано с возможностью исключения взаимодействий между частицами. Как и в случае свободных частиц, гамильтониан после исключения взаимодействий зависит только от импульсов. В терминах переменных угол–действие это означает, что гамильтониан зависит только от переменных действия J и поэтому имеет вид H(J). В этом случае, как следует из уравнений движения, переменные действия являются инвариантами движения (dJ/dt = 0). Такие системы Пуанкаре назвал интегрируемыми.

До Пуанкаре молчаливо предполагалось, что все динамические системы интегрируемы. Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получить каноническое преобразование (сохраняющее вид гамильтоновых уравнений), которое приводило бы к

циклическим переменным. Система двух тел, например система Земля – Солнце, в этом смысле интегрируема, но если ввести третье тело (как в случае тройной системы Земля – Юпитер – Солнце), то система становится неинтегрируемой. Коротко говоря, подавляющее большинство динамических систем неинтегрируемы.

Опишем подход Пуанкаре более подробно. Первое, с чего он начал, был вопрос о том, существует ли для данной динамической системы каноническое преобразование, переводящее гамильтониан H(р, q) в гамильтониан вида H(J), зависящий только от переменных действия (напомним, что р, q и J означают упорядоченные наборы независимых переменных). Вопрос Пуанкаре был сформулирован в терминах теории возмущений. Он начал с гамильтониана, записанного в виде суммы H(J0) + λV(J, a). Свободный гамильтониан H0 соответствует интегрируемой системе, изоморфной системе свободных частиц. Затем свободный гамильтониан возмущается потенциалом взаимодействия λV(J, a), где λ — константа связи (параметр, измеряющий интенсивность взаимодействия).

Вопрос, который задал себе Пуанкаре, заключался в следующем: можно ли определить новые переменные действия J’ вида

J + λJ1 + λ2J2 + ..., (1.10) (где J1, J2, … — функции от J и α) так, чтобы при λ→0 новые переменные действия J’ гладко переходили в J. Если говорить на более точном языке терминов, то требовалось найти переменные действия, аналити- ческие по константе связи λ, т.е. функции от J и α, представимые в виде степенных рядов по λ. Аналитичность замены переменных гарантирует малость отличия J’ от J при малых λ. Если такая замена возможна, то можем исключить потенциальную энергию V возмущенной системы и ввести новый гамильтониан, зависящий только от J’. Интегрирование возмущенной системы в этом случае было бы столь же простым, так как новые переменные действия J’ были бы постоянными движения. Однако Пуанкаре показал, что такая замена возможна далеко не всегда [6].

Стоит остановиться на минуту и поразмыслить над фундаментальным результатом Пуанкаре. Предположим, что Пуанкаре удалось бы доказать интегрируемость всех динамических систем. Это означало бы, что все динамические движения по существу изоморфны движению свободных (не взаимодействующих) частиц! Для когерентности и самоорганизации просто не было бы места. В интегрируемом мире не нашлось бы места и для жизни.

Но Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал причину неинтегрируемости, а именно: существование резонансов между степенями свободы. Как уже отмечалось, резонансы сильно связывают степени свободы. Неудивительно поэтому, что резонансы

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]