Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

«отвечают» за невозможность исключить взаимодействия. В качестве

примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Предположим, что гамильтониан представим в виде суммы невозмущенного гамильтониана H0, зависящего только от переменных действия J1 и J2, и возмущения, зависящего от переменных действия и угловых переменных α1 и α2. Если бы потенциальная энергия λυ обратилась в нуль, то J1 и J2 были бы инвариантами движения, и имелось бы две невозмущенные частоты, связанные с гамильтонианом H0 и задаваемые каноническими уравнениями

. (1.11)

Включая в гамильтониан потенциальную энергию λV(J,a), нужно воспользоваться теорией возмущений, чтобы попытаться определить новые переменные действия J’. Но, как показал Пуанкаре, теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с «опасными» знаменателями 1/(n1ω1 + n2ω2). Если существуют резонансы (т.е. такие точки в фазовом пространстве, в которых n1ω1 + n2ω2 = 0), то члены ряда теории возмущений расходятся, так как конечные величины, стоящие в их числителях, приходится делить на нуль. Таким членам можно приписать только одно значение — бесконечность. Но когда в физике возникают бесконечности, или расходимости, это значит, что что-то в ней «не так».

Так называемая проблема малых знаменателей была известна астрономам еще в XIX веке. Теорема Пуанкаре показала, что основная трудность — появление расходимостей в решении задач динамики — не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических проблем, начиная с проблемы трех тел.

Сколь важна проблема малых знаменателей? Вот как оценивал эту проблему Макс Борн: «Было бы весьма странно, если бы природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел». Действительно, трудно поверить в то, что техническая трудность (расходимости из-за резонансов) могла бы изменить концептуальную структуру динамики. Но теперь проблема малых знаменателей предстает перед нами в совершенно ином свете. Для нас расходимости Пуанкаре являются не препятствием, а возможностью! Выходя за рамки отрицательного утверждения Пуанкаре (о несуществовании переменных действия J’), т.е. исключая расходимости Пуанкаре, прокладываем путь к обновлению динамики и решению парадокса времени.

1.3. Новая динамика: теория КАМ

С появлением работ Колмогорова, продолженных Арнольдом и Мозером, – так называемой теории КАМ (Колмогорова – Арнольда – Мозера) – проблему неинтегрируемости перестали рассматривать как разочаровывающее проявление сопротивления природы прогрессу знания (если перефразировать Борна), а начали рассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики [1,6].

Теория КАМ рассматривает влияние резонансов на траектории. Следует подчеркнуть, что простой случай гармонического осциллятора с постоянной частотой, не зависящей от переменных действия J, является исключением: частоты, вообще говоря, зависят от значений, принимаемых переменными действия J. В различных точках фазового пространства частоты различны. Это приводит к тому, что в одних точках фазового пространства динамической системы существует резонанс, тогда как в других точках резонанса нет. Как уже отмечалось, резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами. Классический результат теории чисел сводится к утверждению, что мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных чисел равна нулю. Это означает, что резонансы встречаются редко: большинство точек в фазовом пространстве нерезонансные. Кроме того, как было показано в предыдущем пункте, в отсутствие возмущений резонансы приводят к периодическому движению (так называемые резонансные торы), тогда как в общем случае имеем квазипериодическое движение (нерезонансные торы). Резюмируя, можем сказать кратко: периодические движения — не правило, а исключение.

Наиболее важный результат теории КАМ — появление стохастических траекторий — подтверждается численными экспериментами. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Ее фазовое пространство содержит две координаты q1, q2 и два импульса p1, p2. Вычисления производятся при данном значении энергии H (q1, q2, p1, p2), и поэтому остается только три независимых переменных. Чтобы избежать построения траекторий в трехмерном пространстве, условимся рассматривать только пересечение траекторий с плоскостью q2p2. Для еще большего упрощения картины будем строить только половину этих пересечений, а именно учитывать только такие точки, в которых траектория «пронзает» плоскость сечения снизу вверх. Таким приемом пользовался еще Пуанкаре, и он называется сечением Пуанкаре (или отображением Пуанкаре). В сечении Пуанкаре отчетливо видно качественное различие между периодическими и стохастическими траекториями (рис. 1.3).

а б в

Рис. 1.4. Диффузионное движение. Через время t система из начальной точки P0 может перейти в любую из точек P1, P2, P3, … области D

Рис. 1.3. Отображение Пуанкаре: а – периодическое движение;

б – квазипериодическое движение; в – случайное движение

Если движение периодическое, то траектория пересекает плоскость q2p2 в одной точке. Если движение квазипериодическое, т.е. ограничено поверхностью тора, то последовательные точки пересечения заполняют на плоскости q2p2 замкнутую кривую. Если же движение стохастическое, то траектория случайным образом блуждает в некоторых областях фазового пространства, и точки ее пересечения также случайным образом заполняют некоторую область на плоскости

q2p2.

диффузии. Но эта диффузия связана с приближением к равномерному распределению точек в нашем будущем. Именно необратимый процесс

Еще один важный результат

теории КАМ состоит в том, что при увеличении параметра связи λ увеличиваются области, в которых преобладает стохастичность. При некотором критическом значении λ возникает хаос: в этом случае имеем положительный показатель Ляпунова, соответствующий экспоненциальному разбеганию со временем любых двух близких траекторий. Кроме того, в случае полностью развитого хаоса облако точек пересечения, порождаемое траекторией, удовлетворяет уравнениям типа уравнения

порождает энтропию. Хотя начинали с классической динамики, теперь

Рис. 1.5. Случайное блуждание. Броуновское движение на одномерной решетке. В каждом узле решетки частица с вероятностью 1/2 переходит налево и с вероятностью 1/2 – направо

можем наблюдать нарушение временной симметрии. Каким образом это становится возможным – основная проблема, которую необходимо разрешить, чтобы преодолеть парадокс времени.

Резонансы играют фундаментальную роль в физике. Испускание или поглощение света обусловлены резонансами, поскольку представляют собой приближение к равновесию в системе взаимодействующих частиц. Взаимодействующие поля также приводят к резонансам. Трудно назвать какую-нибудь важную проблему в классической или квантовой физике, в которой резонансы не играли бы важную роль. Но как преодолеть расходимости, связанные с резонансами? В этом направлении удалось достичь коекаких существенных успехов. Необходимо различать индивидуальный уровень описания (траектории) от статистического уровня (ансамбли, описываемые распределением вероятности р). На индивидуальном уровне имеем расходимости, но от них можно избавиться на статистическом уровне, на котором резонансы устанавливают связи между событиями примерно так, как резонансы связывают звуки. Это

приводит к появлению в уравнениях движения новых неньютоновских членов, несовместимых с описанием на

уровне индивидуальных траекторий и требующих

статистического, вероятностного описания. Впрочем, это не удивительно. Резонансы влекут за собой нелокальное описание и поэтому не могут быть включены в описание на уровне индивидуальных траекторий, ассоциируемое с ньютоновской

динамикой. Как мы увидим, резонансы приводят к диффузионному движению. Выбрав в качестве исходной какую-нибудь точку P0 в фазовом пространстве, далее нельзя достоверно предсказать ее положе-ние Рt по истечении времени t. Крат-ко то же самое можно сказать ина-че: начальная точка P0 с определен-ными вероятностями может оказать-ся во многих точках P1, P2, P3, … . На рис. 1.4 начальная точка Р0 с отличной от нуля определенной вероятностью перехода может оказаться в любой точке области D. Такая ситуация аналогична «случайному блужданию», или «броуновскому движению», В простейшем случае случайное блуждание можно проиллюстрировать на примере частицы, совершающей через равные промежутки времени

переходы на один шаг вправо или влево по узлам одномерной решетки (рис. 1.5). На каждом шагу частица с вероятностью 1/2 переходит в соседний узел слева и с вероятностью 1/2 – в соседний узел справа. На каждом шагу будущее частицы неопределенно. В этом случае говорить о траекториях невозможно с самого начала. Математически броуновское движение описывается уравнениями типа уравнения диффузии (так называемыми уравнениями Фоккера–Планка). Так как диффузия ориентирована во времени, облако точек, первона-чально сосредоточенных вблизи одной и той же исходной точки, со временем расплывается. Одни частицы оказываются дальше от начальной точки, другие - ближе к ней. Весьма примечательно, что уже в классической динамике резонансы приводят к появлению диффузионных членов, иначе говоря, даже в рамках классической механики резонансы вводят неопределенность и тем самым нарушают симметрию во времени.

Следует подчеркнуть, что теория КАМ не приводит к динамической теории хаоса. Ее главный вклад состоит в другом: теория КАМ показала, что при малых значениях параметра λ имеется промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов — регулярные и стохастические. С другой стороны, нас интересует главным образом то, что произойдет в предельном случае, когда снова останется лишь один тип траекторий. Эта ситуация соответствует так называемым большим системам Пуанкаре (БСП). Далее переходим к их рассмотрению.

1.4. Большие системы Пуанкаре

При рассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических систем на интегрируемые и неинтегрируемые отмечалось, что резонансы встречаются редко, поскольку возникают в случае рациональных соотношений между частотами. Но при переходе к БСП ситуация радикально изменяется: в БСП резонансы играют главную роль

[9, 10].

Рассмотрим в качестве примера взаимодействие между какой-нибудь частицей и полем. Поле можно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с континуумом частот ωk. В отличие от поля частица совершает колебания с одной фиксированной частотой ω1. Перед нами пример неинтегрируемой системы Пуанкаре. Резонансы будут возникать всякий раз, когда ωk = ω1. Во всех учебниках физики показано, что испускание излучения обусловлено именно такими резонансами между заряженной частицей и полем. Испускание излучения представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.

Новая особенность состоит в том, что частота ωk есть непрерывная функция индекса k, соответствующая длинам волн осцилляторов поля. Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре, т.е. хаотических систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих со стохастическими траекториями. Большие системы Пуанкаре (БСП) соответствуют важным физическим ситуациям, в действительности – большинству ситуаций, с которыми сталкиваемся в природе. Но БСП позволяют также исключить расходимости Пуан- каре, т.е. устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения. Этот результат, заметно приумножающий мощь динамического описания, разрушает отождествление ньютоновской или гамильтононой механики и обратимого ко времени детерминизма, поскольку уравнения для БСП в общем случае приводят к принципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени.

Обратимся теперь к квантовой механике. Между проблемами, с которыми приходится сталкиваться в классической и квантовой теории, существует поразительная аналогия, поскольку предложенная Пуанкаре классификация систем на интегрируемые и неинтегрируемые остается в силе и для квантовых систем.

1.5. За пределами законов Ньютона

Чтобы охватить в формулировке классической механики необратимые процессы, связанные с возрастанием энтропии, нужно включить в нее неустойчивость и неинтегрируемость. Интегрируемые системы являются исключениями. Начиная с проблемы трех тел, большинство динамических задач неинтегрируемы. Для интегрируемых систем два способа описания — описание на уровне траекторий, основанное на законах Ньютона, и статистическое описание, основанное на ансамблях, — эквивалентны. Для неинтегрируемых систем это не так. Следовательно, даже в классической динамике необходимо использовать статистический подход Гиббса. Именно такой подход приводит к динамической интерпретации равновесной термодинамики. Следовательно, вполне естественно, что для включения неравновесных процессов, вынуждающих системы стремиться к равновесному состоянию, нам также необходимо воспользоваться статистическим описанием. В результате появятся неньютоновские вклады, непротиворечиво включаемые в динамику на уровне статистического описания. Кроме того, новые вклады нарушают временную симметрию.

Траектории всегда рассматривались как исходные, фундаментальные «инструменты» нашего ремесла. Теперь это уже не так.

Как было показано ранее, неинтегрируемость обусловлена резонансами, которые представляют собой определенные условия на частоты. Резонансы – не локальные события, происходящие в данных точках пространства и в данный момент времени. Резонансы привносят элементы, совершенно чуждые локальному описанию на уровне траекторий. Вместо индивидуального описания необходимо статистическое описание для формулировки динамики в тех ситуациях, в которых ожидались необратимые процессы и, следовательно, увеличение энтропии. В конце концов, именно такие ситуации наблюдаются в окружающем мире.

Как и в предыдущих разделах, рассмотрим распределение вероятности ρ(q,p,t), эволюции которого во времени легко можно вывести из канонических уравнений движения. В классической механике приходилось также встречать оператор эволюции, известный как оператор Лиувилля. Он определяет эволюцию распределения вероятности ρ с помощью уравнения i∂ρ/∂t = Lρ. Изменение ρ со временем получается действием на ρ оператором L. Если функция распределения не зависит от времени: ∂ρ/∂t = 0, то Lρ = 0. Это соответствует термодинамическому равновесию. В этом случае ρ зависит только от энергии (или гамильтониана), которая является инвариантом движения.

Решение динамических задач на статистическом уровне требует определения спектрального представления оператора L. Следовательно, необходимо найти собственные функции и собственные значения. Видно, что спектральное представление зависит от функций, которые в прошлом принято было считать принадлежащими гильбертову пространству, т.е. пространству «хороших» функций (для интегрируемых систем такой выбор спектрального представления остается в силе и поныне). Фундаментальная теорема, приводимая в любом учебнике по функциональному анализу, утверждает, что оператор L имеет в гильбертовом пространстве действительные собственные значения ℓn. В этом случае эволюция во времени оказывается суперпозицией осцилляторных членов. Действительно, формальное решение уравнения Лиувилля имеет вид ρ(t) = exp(–itL) ∙ ρ(0). Осцилляторный член exp(–itℓn) = =cos(tℓn) – i∙sin(tℓn) связан с собственными значениями ℓn; прошлое и будущее играют одинаковую роль. Чтобы включить в описание необратимость, необходимы комплексные собственные значения ℓn = ωn – iΩn, которые приводят к экспоненциальному затуханию e

–Ωnt

для эволюции во времени. Такой вклад прогрессивно убывает в будущем (t > 0), но возрастает в прошлом (t < 0), таким образом, симметрия во времени нарушается.

Но получить комплексные собственные значения можно только в том случае, если мы, выйдем за пределы гильбертова пространства. Главная цель теперь состоит в том, чтобы понять, по каким физическим причинам нужно покинуть гильбертово пространство. Сделать это необходимо вследствие того непреложного факта, что в природе существуют незатухающие взаимодействия. Взять хотя бы комнату, в которой находимся. Молекулы в воздухе, заполняющем ее, постоянно сталкиваются. Но эти столкновения отличаются от переходных взаимодействий, происходящих, например, между конечным числом молекул в вакууме. Там молекулы взаимодействуют в течение конечного периода времени и, в конце концов, улетают в бесконечность. Различие между незатухающими и переходными взаимодействиями приобретает решающее значение при переходе от классической динамики к термодинамике. Классическая динамика извлекает данное число частиц и рассматривает их движение изолировано от остальных частиц: необратимость возникает в том случае, если взаимодействия между отобранными частицами не прекращаются. Кратко можно сказать, что динамика соответствует редукционистской точке зрения в том смысле, что рассматривается изолированно конечное число молекул. Необратимость возникает из более целостного подхода, когда рассматриваются как единое целое системы, состоящие из большого числа частиц.

Термодинамические системы характеризуются незатухающими взаимодействиями, и поэтому их следует описывать делокализованными распределениями. Определяя такие системы, необходимо рассматривать термодинамический предел, когда число частиц N и объем V неограниченно возрастают, в то время как их отношение, или концентрация частиц, N/V остается постоянным. Хотя формально рассматриваются пределы N → ∞, V → ∞, разумеется, не существует динамических систем (даже Вселенная), в которых число частиц бесконечно. Термодинамический предел просто означает, что поверхностными эффектами, описываемыми членами порядка 1/N или 1/V, можно пренебречь. Термодинамический предел играет центральную роль во всей макроскопической физике. Без понятия «термодинамический предел» нельзя было бы даже определить такие состояния материи, как газы, жидкости или твердые тела, или описывать фазовые переходы между этими состояниями. Нельзя было бы также провести различие между состояниями, близкими к равновесному и далекими от равновесного.

Пока располагаем всего лишь несколькими частицами, невозможно сказать, образуют ли они жидкость или газ. Состояние вещества, как и фазовые переходы, в конечном счете, определяются термодинамическим проделом. Существование фазовых переходов показывает, что, принимая редукционистскую точку зрения, необходи-

мо проявлять осторожность. Фазовые переходы соответствуют новым,

возникающим свойствам. Говорить о фазовых переходах имеет смысл только на уровне ансамблей, или популяций, а не отдельных частиц. Такое ограничение в какой-то мере аналогично ограничению, связанному с резонансами Пуанкаре. Незатухающие взаимодействия означают, что невозможно взять часть системы и рассматривать ее в изоляции. Симметрия между прошлым и будущим нарушается на глобальном уровне — на уровне популяций, и наука может установить наличие потока времени. Это позволяет разгадать давнюю загадку. Необратимость и случайность наиболее заметно проявляют себя в макроскопической физике.

Термодинамика применима к неинтегрируемым системам. Это означает, что невозможно решить динамическую задачу в терминах траекторий, хотя та же задача вполне решаема в терминах вероятностей. Таким образом, как и в случае детерминистического хаоса, новая статистическая формулировка классической механики приводит к расширению математических основ.

Сравним теперь описание на уровне траектории со статистическим описанием с помощью оператора Лиувилля. Здесь нас ожидает большой сюрприз, потому что статистическое описание вводит совершенно другие понятия. Это очевидно даже в простейшем случае, когда рассматривается движение свободной частицы вдоль прямой. Координата q частицы линейно изменяется со временем, хотя импульс остается постоянным. Наоборот, статистическое описание определяется с помощью волновых векторов k, связанных с преобразованием Фурье координаты q и импульса р. Обычно используются волновые векторы, когда рассматриваем акустические или оптические задачи, но теперь волновые векторы возникают в задаче динамики. Причина заключается в том, что для свободной частицы оператор Лиувилля L есть просто оператор дифференцирования:

. Собственные функции имеют в этом случае вид экспонент

exp(ikx), собственные значения — вид рk/т. Собственные функции exp(ikx) – периодические (плоские волны), так как exp(ikx) = cos(kx) + + i∙sin(kx). Они простираются по всему пространству в разительном

контрасте с траекторией, локализованной в одной точке. Решение уравнения движения для свободной частицы в статистическом описании получается в виде суперпозиции плоских волн. Разумеется, в этом простом примере ожидается, что индивидуальное и статистическое описания эквивалентны. Исходя из плоских волн и теории преобразования Фурье, можно реконструировать траекторию свободной частицы (рис. 1.6). А так как траектория сосредоточена в

одной точке, нужно образовать суперпозицию плоских волн, простирающейся по всей длине спектрального интервала (Δk→∞). В результате при q = q0 амплитуды плоских волн увеличиваются вследствие усиливающей интерференции, а при q ≠ q0 исчезают вследствие ослабляющей интерференции. В интегрируемых системах волновой вектор k постоянен во времени. Образуя суперпозицию плоских волн, можно восстановить траектории в любой момент времени. Однако важно иметь в виду, что траектория здесь уже является не фундаментальным понятием, а производным как конструкт из плоских волн. При таком подходе можно было бы подумать, что резонансы смогут угрожать усиливающей интерференции, позволяющей восстанавливать траекторию. Такое подозрение не могло быть принято во внимание, пока траектория рассматривалась как основное, несводимое к более элементарным понятиям. Если траектория была бы представлена точкой в фазовом пространстве, то коллапс траекторий соответствовал бы распаду одной точки со временем на множество точек, как в процессе диффузии. Одно и то же начальное условие могло бы порождать множество траекторий, как это было в случае диффузионного процесса.

Собственные значения kр/m оператора Лиувилля соответствуют частотам, фигурирующим в резонансах Пуанкаре. Они зависят от k и р, но не зависят от координат. Следовательно, использование волнового вектора k можно принять за логический отправной пункт при обсуждении роли резонансов Пуанкаре. Плоские волны позволяют описывать не только траектории (соответствующие переходным взаимодействиям), но и делокализованные ситуации. Как уже отмечалось, это приводит к сингулярным функциям от волнового вектора k. Рассмотрим теперь, как влияет интерференция на статистическое описание. Воспользуемся для этого языком волновых векторов.

а б

Рис. 1.6. Суперпозиция плоских волн. Траектории, возникающие при

суперпозиции плоских волн в результате усиливающей интерференции,

приводят к функции с резким пиком в окрестности точки q= 0

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]