Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие
.pdf
непериодическая и режим функционирования неустойчив (малые
отклонения от режима нарастают). Примером такой системы является
аттрактор Лоренца [9]. Странному аттрактору соответствует сложное
апериодическое движение, схожее с обыденным представлением о
хаотическом процессе. Однако теоретически оно полностью
предсказуемо и воспроизводимо. О таком поведении динамических
систем говорят как о детерминированном динамическом хаосе.
Таким образом, поведение динамической системы можно
разделить на два этапа: переходное поведение, пока траектория
стремится к аттрактору, и асимптотическое, когда траектория
находится на самом аттракторе или настолько близко к нему, что
расстоянием можно пренебречь. Поскольку переходное поведение
преходяще, а асимптотическое – вечно, внимание исследователей
обычно сосредоточено именно на последнем. В качестве физической
характеристики появления аттрактора процессов образования
твердотельной структуры могут быть использованы различные
элементы ближнего порядка. Например, для процесса роста Si и Ge к
ним можно отнести число ближайших соседей и способ их
компоновки, для Se - межатомные расстояния и т.д. В качестве
альтернативного варианта можно использовать магнитные моменты,
группы симметрии и т.д.
Заметим также, что динамические системы, к которым относится
данная картина, называют диссипативными (в системе возможны
потери энергии). Кроме них существуют так называемые
консервативные системы (полная энергия остается неизменной во
времени), у которых нет деления на переходное и асимптотическое
поведение. Судьба системы при этом определяется начальными
данными. Консервативные системы часто встречаются в физике, когда
при построении модели можно пренебречь диссипативными
процессами — теплопроводностью, диффузией, трением и т. п.
Характерный пример — маятник без трения.
2.4. Качественное исследование сложных
динамических систем
Одним из характерных проявлений самоорганизации,
происходящей в распределенных, открытых и далеких от
термодинамического равновесия системах, являются динамические
явления в активных распределенных системах, или автоволновые
процессы (АВП).
Большинство физических систем (системы роста вещества,
границы раздела фаз, поверхность материала) относятся к классу
31
активных распределенных систем [12]. Превращение веществ и
трансформация энергии в них происходят в отдельных элементарных
объемах, которые связаны между собой диффузионным переносом
вещества.
Таким образом, каждый элементарный объем является, в свою
очередь, закрытой элементарной системой, далекой от
термодинамического равновесия. В системе существует распределение
по пространству веществ, богатых энергией, или распределение
источника энергии, за счет которого в элементарных объемах
индуцируются различные процессы, связанные с диффузией через них
активных веществ. Среди своеобразных динамических явлений в таких
системах большое значение имеет распространение
самоподдерживающихся волн возбуждения, сохраняющих свои
характеристики (амплитуду, период, форму, скорость) за счет
распределенного в среде источника энергии. Именно из-за этого
свойства такие системы получили название активных распределенных
систем.
АВП включают целый класс пространственных эффектов:
распространение уединенного фронта возбуждения в виде
бегущего импульса стабильной формы (БИ), или бегущего фронта
(БФ);
генерация волн автономными источниками импульса
активности, так называемыми ведущими центрами (ВЦ);
квазистохастические волны (КСВ);
синхронные автоколебания во всем пространстве (СА);
двумерные волновые процессы – ревербераторы;
спиральные волны (СВ);
стоячие волны;
стационарные во времени неоднородные распределения в
пространстве кинетических переменных (концентраций веществ) –
диссипативные структуры (ДС).
Рассмотрение АВП, как правило, содержит следующие этапы:
а) выделение характерных структур; чаще всего ими являются ДС или
стационарные волны – автомодельные решения; здесь же
определяются упрощенные характеристики этих структур; б) изучение
устойчивости структур; в) определение переходов от неустойчивых
состояний к устойчивым и переходов от одних устойчивых состояний
к другим. Все эти этапы явно или косвенно присутствуют в
приведенных в этом пункте подходах.
Основные результаты, описывающие процессы эволюции распределенных систем во времени и пространстве, были получены на так
называемых базовых моделях, рассматривающих взаимодействие двух
32
переменных х, у в одномерном пространстве (пространственная
,),(
2
2
r
x
DyxP
t
x
x
2
2
),(
r
y
DyxQ
t
y
y
координата r). Общий вид такой системы:
. (2.4)
Оказалось, что сравнительно простая модель [13] при
определенном выборе вида функций Р и Q может качественно описать
наблюдаемые в физических системах процессы, связанные с
самопроизвольным возникновением волн и структур, – процессы
самоорганизации.
В процессе самоорганизации в системах вследствие
неустойчивости утрачивается исходная организация в пространстве и
во времени и вместо нее устанавливается новая [16]. Например, в
химической реакционной системе при определенных условиях
стационарное пространственно однородное распределение реагентов
может стать неустойчивым, и на смену ему придут автоколебания, т. е.
устойчивые самоподдерживаю-щиеся периодические колебания или
волны химической активности.
Поведение распределенных (2.4) систем из двух уравнений может
быть чрезвычайно разнообразным и демонстрировать основные
динамические свойства, такие как распространяющиеся возмущения в
виде бегущего импульса, стоячие волны, квазистохастические волны,
диссипативные структуры. Исследование базовых моделей имеет
целью выяснение, как меняется число и конфигурация возникающих
структур при изменении какого-нибудь внешнего параметра и
начальных данных. Эту задачу называют построением
бифуркационной диаграммы. При этом под самим термином
бифуркация подразумевали изменение числа или устойчивости
решений определенного типа. Анализу устойчивости стационарного
состояния необходимо уделять особое внимание.
Рассмотрим применение качественных м
етодов исследования
динамических систем к простейшим математическим моделям,
которым соответствует одно дифференциальное уравнение
первого порядка:
dx/dt = f(x). (
2.5)
Состояние систем, описываемых уравнением (2.5), в каждый
момент времени характеризуется единственной величиной —
значением переменной х в момент времени t. В первую очередь
рассмотрим состояния равновесия системы, обозначив их
(стационарная, или особая, точка). По определению в этих точках
dx/dt = 0 и, следовательно,
f(x)
= 0. Если вывести систему из
33
состояния равновесия, то она будет себя вести в соответствии с
0)(
~
X
dt
dx
xf
уравнением (2.5), описывающим ее поведение в области, где уже в
отличие от состояния равновесия f(x) ≠ 0.
Устойчивое состояние равновесия можно охарактеризовать
следующим образом: если при достаточно малом начальном
отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет
далеко от него, то состояние равновесия устойчиво и
соответствует устойчивому стационарному режиму
функционирования системы. Если же система после выведения из
состояния равновесия будет удаляться от него в соответствии с
уравнением dx/dt = f(x), то это состояние равновесия является
неустойчивым.
Для устойчивого состояния равновесия справедливо
утверждение: если в момент времени t0 отклонение от состояния
равновесия мало (|x(t0)– |<δ), то в любой последующий момент
времени t>t0 отклонение системы от состояния равновесия будет
также мало. Состояние равновесия устойчиво, по Ляпунову,
если, задав сколь угодно малое положительное ε, всегда можно
найти такое δ, что |x(t)– |< ε для t0 ≤ t < +∞, если |x(t0)– |<δ [10].
В случае одного уравнения нетрудно, исследуя непосредственно
характер функции f(x) вблизи состояния равновесия
однозначным образом решить вопрос об устойчивости состояния
равновесия. По определению, в точке
Здесь возможны три случая (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Характер устойчивости особой точки в зависимости от знака
функции
I – состояние равновесия устойчиво по критерию Ляпунова;
II, III – состояние равновесия неустойчиво по критерию Ляпунова
f(x)
:
I. Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с «+»
на «–» при возрастании х. Такое изменение знака f(x) означает, что при
скорость изменения dx/dt отрицательна. При этом х
увеличивается в своем стремлении к При х > dx/dt = f(x)<0, т. е. х
уменьшается и опять стремится к Отсюда следует, что
34
изображающая точка, находящаяся в достаточной близости от
состояния равновесия х = будет асимптотически к нему
приближаться при возрастании t. Очевидно, в этом случае состояние
равновесия устойчиво по критерию Ляпунова.
II. f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х = с «–» на «+»
при возрастании х. Изображающая точка, помещенная в достаточной
близости к состоянию равновесия, будет удаляться от него. В этом
случае состояние равновесия неустойчиво.
III. f(x) не меняет знака вблизи состояния равновесия при
возрастании х. Изображающая точка, помещенная вблизи состояния
равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная
с другой – удаляться. Состояние равновесия является неустойчивым по
критерию Ляпунова.
Существует аналитический метод определения устойчивости
состояния равновесия, предложенный А.А. Ляпуновым и пригодный
также для исследования систем из двух уравнений и более. Суть
метода состоит в следующем.
Пусть система отклонилась от точки равновесия и перешла в
соседнюю с ней точку х. Положим х = +ξ, где ξ – малое отклонение
от состояния равновесия, такое, что ξ / << 1. Пусть f(x) –
аналитическая функция.
Перейдем от переменной х к переменной ξ в уравнении (2.1).
Получим
d( + ξ) / dt = dξ / dt = f ( + ξ). (2.6)
Стоящую в правой части этого уравнения функцию f( +ξ)
разложим в ряд Тейлора в точке
dξ /dt = f( ) + f’( ) ξ + ½ f”( ) ξ2 + … . (2.7)
Так как f( ) = 0, то уравнение (2.6) примет вид
dξ / dt = a1 ξ + a2 ξ2 +a3 ξ3 + …, (2.8)
где а1 = f’(x), а2 = f”(x), … .
Отбросив в уравнении (2.8) нелинейные члены как величины
более высокого порядка малости, получим линейное уравнение dξ / dt
= a1 ξ, которое называется линеаризованным уравнением или
уравнением первого приближения. Интеграл этого уравнения для ξ(t)
находится сразу:
ξ(t) = Ceλt, где λ = a1 = f'( ), С = const. Если λ < 0, то при t →∞ ξ→0 и,
следовательно, первоначальное отклонение ξ от равновесия самопроизвольно затухает в силу свойств системы. Тогда стационарное
состояние устойчиво по критерию Ляпунова. Наоборот, если λ > 0, то
при t →∞ ξ→∞ и состояние равновесия неустойчиво. Если же λ = 0,
то уравнение первого приближения, вообще говоря, не может дать
ответа на вопрос об устойчивости исходной системы. Параметр λ
называется показателем Ляпунова. По определению [17]
35
характеристическим показателем Ляпунова функции Φ(t) называется
).)(ln
1
sup(lim tФ
t
t
),~(xf
X
действительное число
L[Φ(t)] =
Для экспоненты Ф(t) = e
(2.9)
μ∙t
соответствующий характеристический
показатель Ляпунова равен показателю экспоненты μ, это означает,
что L[Φ(t)] дает характеристику степени роста функции Φ(t) в
сравнении с экспонентой.
Вообще говоря, в любой системе вида
dx/dt = f(x, α), (2.10)
где α — параметр, при изменении α интегральные кривые будут так
или иначе меняться. Однако при непрерывном изменении α общий вид
кривых будет претерпевать лишь количественные изменения. Только
при некоторых особых, бифуркационных, значениях α имеют место
качественные изменения характера интегральных кривых, т. е.
изменение числа особых точек и характера их устойчивости. Прочие
значения α называются обыкновенными.
График, построенный в координатах (α нения (2.10),
называется бифуркационной диаграммой. Такая диаграмма наглядно
иллюстрирует зависимость положений равновесия системы от
параметра α. Характер устойчивости стационарной точки можно
выяснить, определив в этой точке знак производной
.
Стационарные значения x = x находят из уравнения f ( , α) = 0. В
зависимости от вида функции f (x, α) это уравнение может иметь один
или несколько корней при одном и том же значении параметра α. Так,
если f (x, α) – полином x степени больше единицы, кривая x = (α)
примет такой вид, что некоторым значениям α будет соответствовать
несколько стационарных состояний .
Подобного рода резкие изменения динамического типа поведения
системы называют катастрофами в терминах теории «катастроф». В
однопараметрических системах, таких как рассмотренная,
единственным типом катастроф является «складка», связанная со
взаимной аннигиляцией устойчивой и неустойчивой ветвей решения.
В системах, содержащих два параметра, возможны два типа катастроф:
складка и сборка (рис. 2.3). В системах с большим числом параметров
возможны катастрофы более сложного вида.
Качественные методы исследования физических систем,
описываемых системой двух дифференциальных уравнений,
рассмотрим на примере системы вида (правые части не зависят
явно от времени):
dx / dt = P(x, y),
dy / dt = Q(x, y).
(2.11)
36
Здесь Р(х, у), Q(x, у) — непрерывные функции, определенные
),(
),(
yxP
yxQ
dx
dy
11yy
xx
dx
dy
в некоторой области D евклидовой плоскости (х, у — декартовы
координаты) и имеющие в этой области непрерывные
производные порядка не ниже первого.
Характер фазовых траекторий отражает общие качественные
черты поведения системы во времени. Чтобы провести фазовую
траекторию через точку фазовой плоскости Mi(xi,yi), достаточно
знать направление касательной в этой точке плоскости или
значение производной .
I II
Рис. 2.3. «Катастрофы» типа «складка» (I) и «сборка» (II) в трехмерном
пространстве
Для этого необходимо получить уравнение, содержащее
переменные x, у и не содержащее времени t в явном виде. С этой
целью разделим второе уравнение системы (2.11) на первое.
Получим дифференциальное уравнение
, (2.12)
во многих случаях более простое, чем исходная система (2.11). Решение уравнения (2.12) у = у (х,с) или в неявной форме F(x,y)=С,
где С – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных
кривых – фазовых траекторий системы (2.11) на плоскости х, у.
Однако в общем случае уравнение (2.12) может не иметь
аналитического решения, и тогда построение интегральных
кривых приходится производить качественными методами.
Для качественного построения фазового портрета системы
обычно используют метод изоклин.
Устойчивость стационарного состояния. Пусть
рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда
изображающая точка на фазовой плоскости находится в
неподвижности в одной из особых точек уравнения интегральных кривых (2.12), так как в этих точках, по определению, dx/dt = 0, dy/dt = 0.
37
Если теперь вывести систему из
Рис. 2.4. Графическое определение
устойчивости
состояния равновесия, то
изображающая точка сместится из
особой точки и начнет двигаться по
фазовой плоскости в соответствии с
уравнениями ее движения (2.11).
Устойчива ли рассматриваемая
особая точка определяет
соответственно то, уйдет или нет
изображающая точка из некоторой
данной области, окружающей
особую точку (эта область может
быть большей или меньшей в
зависимости от условий задачи)
(рис. 2.4).
В действительности в природе
реализуются стационарные состояния, которые обязательно являются
устойчивыми. Поэтому устойчивость стационарного состояния
системы уравнений, представляющей собой математическую модель
реальной системы, – один из основных критериев ее адекватности
моделируемому объекту. В практике моделирования физических
процессов используют аналитический метод исследования
устойчивости стационарного состояния Пуанкаре и Ляпунова, который
будет изложен в упрощенной форме.
По определению состояние равновесия является устойчивым (по
критерию Ляпунова), если для любой заданной области допустимых
отклонений от состояния равновесия (область ε) можно указать
область δ(ε), окружающую состояние равновесия и обладающую тем
свойством, что ни одно движение изображающей точки, начинающееся внутри δ, никогда не достигнет границы области ε. Наоборот,
состояние равновесия неустойчиво, если может быть указана такая
область отклонений от состояния равновесия ε, для которой не
существует области δ, окружающей состояние равновесия и обладающей тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри
δ, никогда не достигнет границы ε.
Исследование устойчивости состояния равновесия (точка
пересечения главных изоклин Р (х, у) = 0, Q (x, y) = 0) связано с
рассмотрением характера движений изображающей точки при
отклонении от состояния равновесия. Для удобства выкладок введем
вместо переменных х, у новые переменные ξ, η, определив их как
смещения относительно положения равновесия на фазовой плоскости:
x = + ξ,
y = + η. (2.13)
38
Подставив эти выражения в (2.11), получим
.
4
)(
2
2
2,1
adbc
dada
/ dt + dξ / dt = Р(х +ξ, у +η),
/ dt + dη / dt = Q(х +ξ, у +η), (2.14)
/ dt = / dt = 0,
так как х, у – координаты особой точки.
Разложим правые части полученных уравнений в ряд Тейлора по
переменным ξ, η и отбросим нелинейные члены. Получим систему
линейных уравнений:
dξ / dt = aξ + bη,
dη / dt = сξ + dη, (2.15)
где коэффициенты a,b,c,d суть значения частных производных в точке
а = Р’
c=Q'
x
b = Р’y
х
d = Q’y (2.16)
Система (2.15) называется линеаризованной или системой первого
приближения.
Для широкого класса систем, а именно «грубых» систем, характер
фазовых траекторий в окрестности особых точек сохраняется при
любых достаточно малых изменениях правых частей уравнений (2.11)
– функций Р и Q, если малыми являются также изменения
производных этих функций. Для таких систем исследование уравнений
первого приближения (2.15) дает правильный ответ на вопрос об
устойчивости состояния равновесия системы (2.11) и о топологической
структуре фазовой плоскости в окрестности этого состояния
равновесия.
Система (2.15) линейная, а потому допускает аналитическое
решение. Общее решение системы находят следующим образом:
ξ = A eλt,
η = B eλt. (2.17)
Подставив эти выражения в (2.15) и сократив полученные
выражения на eλt, получим
λA = aA + bB,
λB = cA + dB. (2.18)
Алгебраическая система уравнений (2.18) с неизвестными А, В
имеет, как известно, следующее характеристическое уравнение
системы:
λ2 – (а + d)λ + (ad – bс) = 0. (2.19)
Решение этого уравнения дает значения показателя λ
, при
1,2
которых возможны ненулевые для А и В решения системы (2.18):
(2.20)
39
Если подкоренное выражение отрицательно, λ
tt
eCeC
21
1211
tt
eCeC
21
2221
– комплексно-
1,2
сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (2.19)
имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных
корней. Тогда общее решение системы (2.15), записанное в виде (2.17),
можно представить линейной комбинацией экспонент с показателями
λ1 и λ2:
,
(2.21)
.
Поведение переменных ξ, η, соответствующее (2.21), и,
следовательно, поведение переменных х, у в окрестности особой точки
зависят от вида показателей экспонент λ1 и λ2. В том случае, когда
показатели действительны и одного знака, особая точка носит название
«узла» (рис. 2.5) [9].
Если λ
< 0, значения переменных ξ, η (отклонения от положения
1,2
равновесия) со временем уменьшаются. Особая точка в этом
случае представляет собой устойчивый узел (I). В том случае, когда λ
1,2
> 0, значения ξ, η со временем увеличиваются, особая точка является
неустойчивым узлом (II).
Для многих физических систем характерен «бесколебательный»
переход от произвольного начального в стационарное состояние,
которому в модели соответствует стационарное решение типа
устойчивый узел.
Рис. 2.5. Устойчивый (I) и неустойчивый (II) узлы на фазовой
плоскости
В том случае, когда корни λ
действительны, но разных знаков,
1,2
поведение переменных изображается на фазовой плоскости кривыми
гиперболического типа (рис. 2.6).
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]