Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Предположим, что потенциальная энергия V в гамильтониане есть сумма попарных взаимодействий. Тогда из хорошо известных теорем следует, что взаимодействие между частицами j и п изменяет два волновых вектора kj и kп, но сумма этих волновых векторов сохраняется, что дает закон сохранения kj + kn = k’j + k’n, где k’j, k’n — волновые векторы после взаимодействия.

Можно описать динамическую эволюцию в рамках статистического формализма, рассматривая для наглядности последовательность событий, разделенных свободным движением. В результате каждого события волновые векторы k и импульсы р изменяются; в промежутках между событиями они остаются неизменными.

Обратимся теперь к нашему исходному объекту — решению динамических задач на статистическом уровне с помощью функции распределения ρ. Как и в случае детерминистического хаоса, это решение включает в себя спектральное представление оператора эволюции, которым в классической динамике является оператор Лиувилля. Прежде всего, рассмотрим делокализованные функции распределения, связанные с незатухающими взаимодействиями, что приводит к появлению сингулярных функций. В результате неизбежен выход из гильбертова пространства, ограниченного локализованными хорошими функциями, и вводим резонансы Пуанкаре, которые приводят к новым динамическим процессам, связанным с диффузией.

Коль скоро включились эти две особенности, получаем неприводимое комплексное спектральное представление. И опять комплекс- ное означает, что симметрия во времени нарушена, а неприводимое, что нельзя воспользоваться описанием на уровне траектории. Законы динамики приобретают теперь новый смысл. Включая в себя необратимость, они выражают не определенность, а возможность. Только если ослабим наши условия и рассмотрим локализованные функции распределения, связанные с конечным числом частиц, то снова восстановим ньютоновское описание на уровне траекторий. Но в общем случае доминируют диффузионные процессы.

Поэтому, существует множество ситуаций, в которых можно ожидать отклонения от ньютоновской физики и в которых наши предсказания уже были проверены в многочисленных компьютерных экспериментах. Ранее был введен термодинамический предел, в котором число частиц N →∞ и объем V →∞, но концентрация N/V остается постоянной. В термодинамическом пределе взаимодействия не затухают, и применимо только статистическое описание. Как показали многочисленные численные эксперименты, диффузионные процессы становятся доминирующими, даже если мы начнем с траектории, соответствующей все возрастающему числу частиц, а сама траектория

«коллапсирует» потому, что со временем она преобразуется в делокализованную сингулярную функцию распределения.

Из-за резонансов Пуанкаре описанные в этом разделе процессы приводят к дальнодействующим корреляциям, даже если силы взаимодействия между частицами короткодействующие. Единственным исключением является равновесное состояние, в котором корреляционный радиус действия определяется силами взаимодействия между частицами. Это объясняет то, что неравновесные состояния делают возможной новую когерентность, которая отчетливо проявляется в химических колебаниях и гидродинамических потоках. Теперь приходит осознание того, что равновесная физика создавала ложное представление о возможностях вещества. В очередной раз сталкиваемся с тем, что вещество в равновесном состоянии «слепо», а в неравновесном состоянии начинает «прозревать».

Резюмируя, можно сказать, что теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы выйти за пределы ньютоновской механики. Справедливость описания на уровне траекторий, используемого в классической механике, сильно ограничено. Термодинамика несовместима с описанием на уровне траекторий, поскольку для термодинамики требуется статистический подход как в равновесном, так и в неравновесном состояниях. То, что подавляющее большинство динамических систем, соответствующих явлениям в окружающем нас мире, являются БСП, объясняет, почему термодинамика универсально применима. Переходные динамические взаимодействия, например, рассеяние, не являются характерными примерами тех ситуаций, с которыми встречаемся в природе, где взаимодействия не затухают. Процессы столкновения, которые появляются в нашем статистическом описании в результате резонансов Пуанкаре, характеризуются тем, что они нарушают симметрию во времени и приводят к схемам эволюции в соответствии с термодинамическим описанием.

Микроскопическая картина природы на основе термодинамики имеет мало общего с комфортабельным, симметричным во времени описанием, которое ученые по традиции создавали на основе ньютоновских принципов. Наш мир - флуктуирующий, шумовой, хаотический, более близкий миру, который создали силой своего воображения греческие атомисты.

Разумеется, динамическая неустойчивость дает только условия, необходимые для генерирования эволюционных схем природы. Создав статистическое описание, можно также сформулировать, какие дополнительные факторы необходимы, чтобы наблюдать возникновение сложности – диссипативных структур на макроскопическом уровне. Теперь начинаем понимать динамические

корни организации, динамику у истоков сложности, существенных для самоорганизации и возникновения жизни.

1.6. Выводы к разделу 1

1. Детерминистические законы классической динамики не

позволяют включить в круг своего действия физические процессы, имеющие вероятностный, неустойчивый характер.

2. Главной физической идей, которая лежит в основе физики

неустойчивых систем, являются резонансы Пуанкаре между степенями свободы системы, которые приводят в конечном счете к неустойчивости.

3. Наблюдаемый нами мир не может быть сведен к отдельным

траекториям или волновым функциям и не может быть описан с из помощью. Объективное описание реальных процессов возможно только в терминах статистических ансамблей.

4. Связанные с неустойчивостью на микроскопическом и

макроскопическом уровне, законы природы оперируют только с возможностью появления событий, а не представляют эти события как выводимые и предсказуемые следствия предыдущих событий.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФИЗИЧЕСКИХ

)cos()(

axu



ПРОЦЕССОВ В МАКРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

2.1. Физические процессы в сложных системах

Одной из общих проблем, встречающихся при исследовании законов физических процессов в макроскопических системах, является формирование «языка», применяемого для описания динамики распределенных объектов. Они состоят из многих взаимодействующих и находящихся в состоянии, далеком от термодинамического равновесия, элементов. Примеры таких объектов весьма разнообразны [11-13]. Несмотря на это, такие явления, как развитая турбулентность, возникновение колебательных химических реакций или спонтанное появление упорядоченности в открытых гидродинамических системах, эволюция популяций и др. имеют общие механизмы развития и описываются на основе общих принципов. За внешним многообразием и сложностью открывается общность и простота.

В сложных пространственно-распределенных системах, потенциально обладающих бесконечным числом степеней свободы, происходит самоорганизация – выделение небольшого числа переменных, параметров порядка, определяющих динамику всей системы. Это понятие можно пояснить с помощью следующей простой картинки (рис. 2.1). Пусть в начальный момент времени пространственное распределение какой-нибудь интересующей нас величины определяется сложной «изрезанной» функцией u(х), например такой, как показано на рис. 2.1, а (слева). «Сложность» и «изрезанность» могут быть выражены на языке представления Фурье:

. Они связаны с тем, что значения многих

коэффициентов Фурье аk (амплитуды гармоник, как их называют физики) близки по величине.

В процессе эволюции, благодаря вязкости, теплопроводности или каким-то другим процессам, неоднородности и резкие перепады сглаживаются и может возникнуть намного более простой профиль, например показанный на рис. 2.1, б (справа). Его «простота» выражается в том, что он достаточно точно определяется совсем небольшим числом Фурье коэффициентов аk. Именно их в этом случае и называют параметрами порядка. Во-первых, потому что они достаточно точно характеризуют возникшую упорядоченность, а вовторых, потому что их немного. Уменьшение числа существенных переменных, спонтанно происходящее в процессе эволюции, вначале и стали называть самоорганизацией.

Сейчас многие области физики «открывают для себя» явление самоорганизации и процессы формирования диссипативных структур. В частности, многие эксперты полагают, что создание приборов с использованием нанопроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов потребует нового поколения технологий, использующих пространственную самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты

[10].

Рис. 2.1. Иллюстрация понятия «самоорганизация» [10]:

а – пространственное распределение физической величины в начальный

момент времени; б – то же распределение после процесса самоорганизации

Например, в технологии изделий микроэлектроники процессы структурообразования неупорядоченных полупроводников протекают в нелинейных, сильнонеравновесных, самоорганизующихся системах [11]. Самоорганизующейся будем называть систему, если она без специфического воздействия извне, т.е. спонтанно, приобретает новые коллективные свойства, которыми изначально не обладают ее элементы. В результате самоорганизации система обретает какую-то пространственную, временную или функциональную структуру. Именно возникновение когерентности в исходно хаотической среде считается главным атрибутом самоорганизации.

При разработке математического аппарата для адекватного описания и анализа таких сложных систем необходимо основываться на детальном знании механизмов сложных физических процессов.

Результаты моделирования составляют основу управления процессами в них.

2.2. Общие принципы описания динамического поведения

макроскопических систем

Под динамической системой будем понимать объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности значений переменных и параметров, выражаемых через измеримые величины, которые в каждый момент времени принимают определенные числовые значения, а также задан оператор, определяющий эволюцию начального состояния во времени. Параметры — это величины, которые поддерживаются неизменными в течение времени наблюдения за системой; переменные — величины, которые изменяются с течением времени [9, 13].

Например, система материальных точек с заданным потенциалом взаимодействия является типичным примером динамической системы, так как ее состояние полностью определяется значением начальных координат и импульсов всех точек, а эволюцию системы определяют классические уравнения движения. Более сложным примером является среда, в которой происходят процессы тепло- и массопереноса, физические фазовые переходы, химические реакции и т.д. Состояние такой системы в фиксированный момент времени определяется концентрацией фаз, температурой и другими параметрами, задаваемыми в каждой точке среды. Примерами динамических систем могут служить и биологические системы – организм человека или животного, или взаимодействующие популяции.

Рассмотрим, например, систему, в которой имеется п различных взаимодействующих компонентов ci (i = 1,2,..., n). В физике – это температуры, концентрации ионов или вещества, находящегося в состоянии сверхпроводимости, в химии – концентрации реагирующих веществ и т. д. Для определенности будем считать ci значениями концентраций химических соединений, которые могут изменяться со временем ci = ci (t) в результате взаимодействия i-гo соединения с любым из остальных (n — 1) веществ. Такого предположения достаточно для написания общей математической модели динамической системы, представляющей собой систему из п дифференциальных уравнений:

dc1 /dt = f1 (c1,...,cn);

…………………… (2.1)

dcn /dt = fn (c1,...,cn),

где c1(t),..., cn(t) — неизвестные функции времени, описывающие переменные системы (например, концентрации веществ); dci/dt —

скорости изменения этих переменных; fi — функции, зависящие от внешних и внутренних параметров системы [12]. Полная модель типа (2.1) может содержать большое число уравнений, в том числе нелинейных. С помощью современных быстродействующих ЭВМ находят частные решения такой системы при конкретных значениях ее параметра. Найти общее решение в аналитическом виде удается лишь для небольшого класса систем дифференциальных уравнений, обычно линейных. Однако процессы, происходящие в физических системах, как правило, существенно нелинейны, соответственно нелинейны и модели этих процессов.

На многие существенные вопросы, касающиеся качественного описания характера поведения нелинейной системы, в частности устойчивости стационарных состояний и переходов между ними, колебательных режимов и т.д., отвечают методы качественной теории дифференциальных уравнений. Эти методы позволяют выявить важные общие свойства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций c1(t),..., cn(t) .

В ряде случаев в динамических системах осуществляется известный принцип узкого места, согласно которому общая скорость процесса определяется наиболее медленной стадией [13]. Именно наличие такой временной иерархии процессов, являющееся объективным свойством системы, позволяет существенно упростить исходную модель, по существу сведя задачу ее динамического описания к изучению поведения наиболее медленной стадии. В этом смысле самое медленное звено — управляющее, поскольку воздействие именно на него, а не на более быстрые стадии, может повлиять на скорость протекания всего процесса. Таким образом, хотя физические процессы и включают огромное число промежуточных стадий, динамические свойства этих систем регулируются сравнительно небольшим числом отдельных звеньев, а следовательно, их динамическая модель может содержать и существенно меньшее число уравнений.

Практика математического моделирования показывает, что исследование таких упрощенных систем уравнений может дать более содержательное представление об общих динамических свойствах системы, чем решение полных моделей, особенно в тех случаях, когда не возникает необходимости нахождения точного решения уравнений, но зато требуется предсказать характер динамического поведения системы при изменении условий ее функционирования. В физических и химических системах такое исследование особенно важно, поскольку значения их внутренних и внешних параметров и начальные условия, как правило, варьируют и обычно не могут быть точно заданы.

При рассмотрении пространственно-распределенных систем, в которых происходят процессы структурообразования вещества, выделяют «управляющие» области. Так, например, формирование новой фазы вещества происходит в промежуточном слое (ПС) системы «расплав – твердое тело». Вещество в ПС находится в сильнонеравновесном неустойчивом состоянии и проходит через стадию динамического хаоса. Локализация процессов самоорганизации существенно упрощает процесс управления, т.к. воздействие всех возможных факторов, влияющих на свойства получаемых материалов, максимально воспринимается системой именно в ПС. Управление процессами в ПС равнозначно управлению системой в целом [14, 15].

2.3. Математические модели динамических систем. Основные понятия и определения

Основной подход для описания динамических систем в качественной теории дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы характеризовать состояние системы в целом значениями переменных с1, с2, …, сn, которые они принимают в каждый момент времени в процессе изменения в соответствии с (2.1). Если отложить на осях прямоугольных координат в n-мерном пространстве значения переменных с1, с2, …, сn, то состояние системы будет описываться некой точкой М в этом пространстве с координатами M (с1, с2, …, сn). Точка М называется изображающей точкой [9-12].

Изменение состояния системы сопоставляется с перемещением изображающей точки М в n-мерном пространстве. Пространство с координатами с1, с2, …, сn называется фазовым; кривая, по которой перемещается изображающая точка М при эволюции системы,— фазовой траекторией. Множества фазовых траекторий, соответствующие различным начальным условиям, образуют фазовый портрет динамической системы. Как будет показано в дальнейшем, изучение системы типа (2.1) в фазовом пространстве дает возможность описать качественные свойства ее поведения.

Одним из важнейших свойств открытых систем является установление в них стационарных состояний в отличие от термодинамического равновесия, свойственного изолированным системам. В связи с этим при рассмотрении общих динамических характеристик модели физической системы в первую очередь будут изучаться свойства ее стационарных состояний. При этом будут обсуждаться следующие вопросы: существуют ли в системе стационарные состояния, сколько их, устойчивы ли они, как зависит

характер устойчивости от параметров системы, как ведет себя система вблизи стационарных состояний, возможны ли между ними переходы? Методы качественной теории дифференциальных уравнений, позволяющие ответить на эти вопросы, изложены далее.

По определению в стационарном состоянии динамической системы все производные по времени dci/dt (i = 1, ..., n) в левых частях системы (2.1) обращаются в нуль. Приравнивая к нулю правые части, получают систему алгебраических уравнений для определения стационарных значений переменных с1, с2, …, сn:

1 2 n

) = 0;

............................ (2.2)

, …, сn) = 0.

1 2

1 2 n

}

называется стационарной или особой точкой или точкой равновесия системы уравнений (нельзя путать с состоянием термодинамического равновесия!).

Динамические системы, описываемые системами обыкновенных

дифференциальных уравнений типа (2.1), называются точечными системами. Это означает, что во всех точках пространства, занимаемого системой, изменения переменных во времени происходят одинаково. Такой подход оправдан в основном для гомогенных объектов, где к тому же параметры (плотность вещества, температура) одинаковы в разных точках. Этим требованиям, например, соответствует система роста кристаллических полупроводников. Однако во многих реальных системах, в частности при формировании аморфных полупроводников в неравновесных условиях, необходимо учитывать их пространственную неоднородность, что должно найти свое отражение в соответствующих математических моделях.

Теперь рассмотрим системы, в которых состояние меняется в

разных точках пространства, а между отдельными точками существуют «диффузионные связи» или потоки вещества. Такие системы называются распределенными в пространстве системами. В них изменения концентраций веществ во времени происходят за счет двух процессов: химических превращений, описываемых «точечными» кинетическими моделями, и диффузии веществ из областей с высокой концентрацией в области с меньшей концентрацией.

В этом случае скорость изменения концентраций в элементарном

объеме системы будет определяться не только появлением и исчезновением в нем веществ с1, с2, …, сn в силу реакций типа (2.1), но и в результате диффузионных процессов переноса вещества через границы этого элементарного объема. В такой системе скорость

изменения концентрации вещества с

/),...,,(/ rcDcccfdtdc

iCinii

в системе зависит не только от

химических процессов, но и от пространственной координаты.

Дифференциальные уравнения, учитывающие диффузионную

связь между отдельными участками пространства в системе, имеют вид

(i = 1, …, n). (2.3)

Здесь DCi — коэффициент диффузии вещества сi, r —

пространственная координата. Уравнения вида (2.3.) описывают широкий круг процессов: и образование турбулентности, и химическую кинетику в условиях конвекции, и распространение волн в активных средах. Рассмотрение таких систем позволяет объяснить некоторые общие принципы процессов самоорганизации в физических системах.

При описании таких сложных систем в терминах качественной

теории дифференциальных уравнений приходим к геометрической трактовке уравнений движения как однопараметрического (зависимость от времени) семейства преобразований фазового пространства. Такая трактовка ведет к тому, что многие основные термины носят геометрический смысл — траектория, множество, многообразие, размерность и т.д. Одним из основных понятий в настоящее время является понятие притягивающего множества в фазовом пространстве, или аттрактора. Аттрактор в теории нелинейных систем – это предельное состояние системы, к которому стремятся все исходные режимы функционирования, когда время процесса эволюции стремится к бесконечности. Это название произошло от английского слова attractive – притягательный, т.е. имеется в виду, что система как бы притягивается, скатывается к этому относительно предсказуемому и воспроизводимому режиму.

Если система приходит в процессе эволюции к устойчивому

состоянию равновесия – аттрактор системы будет просто неподвижной точкой, если это устойчивое периодическое движение – аттрактором будет замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Ранее считалось, что аттрактор есть образ исключительно устойчивого режима функционирования системы. При значении размерности фазового пространства N ≥ 3 возможен принципиально новый тип фазовых траекторий – это так называемые странные аттракторы. Фазовая траектория динамической системы в этом случае представляет собой бесконечную линию без самопересечений, причем при t → ∞ траектория не покидает заданной области и не притягивается ни к точкам равновесия, ни к циклическим траекториям. Такой аттрактор имеет два существенных отличия: фазовая траектория

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]