Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие
.pdf
детерминированным хаосом Основным свойством таких динамических
систем является их неустойчивость, что приводит к чувствительной
зависимости режима функционирования к сколь угодно малым
изменениям начальных условий.
6. Основным способом анализа экспериментальных данных о
нелинейных пространственно-распределенных системах является
метод вложения Ф. Такенса.
51
3. КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ
Квантовая механика стала первой теорией, действительно
пошатнувшей основы классической физики, заложенные еще Галилеем. Она разрушила веру в реалистичность физического описания,
возможность однозначного определения будущего состояния системы
по ее начальным данным.
В квантовой механике сталкиваемся с весьма странной ситуацией.
Как хорошо известно, квантовая теория оказалась успешной во всех
своих предсказаниях. Однако и спустя столетие после ее появления не
прекращаются дискуссии относительно смысла квантовой теории и
сферы ее применимости. Это беспрецедентный случай в истории
науки. Несмотря на все успехи квантовой теории, у большинства физиков она оставляет смутное чувство неудовлетворенности. Ричард
Фейнман как-то раз заметил, что никто по-настоящему «не понимает»
квантовую теорию.
Основная величина в квантовой теории – волновая функция ψ.
Она играет роль, несколько аналогичную той, которую в классической
механике играет траектория. Действительно, основное уравнение
квантовой теории — уравнение Шредингера — описывает, как волновая функция эволюционирует во времени, преобразует волновую
функцию ψ(t0), заданную в начальный момент времени t точно так же,
как траектории в классической механике ведут из одной фазовой точки
в другую.
Подобно уравнению Ньютона, уравнение Шредингера детерминистично и обратимо во времени. Кроме того, как и в классической динамике, возникает разрыв («зазор») между динамическим описанием,
представляемым квантовой механикой, и эволюционным описанием,
связанным с энтропией. В традиционной физике волновую функцию ψ
принято интерпретировать как амплитуду вероятности. Это означает,
что квадрат |ψ|2 = ψψ* (волновая функция ψ имеет действительную и
мнимую части; ψ* – величина, комплексно-сопряженная относительно
ψ) - вероятность, которую снова обозначим ρ. Существуют более
общие формы вероятности, которые соответствуют ансамблям,
возникающим при суперпозиции различных волновых функций. Они
называются смешанными состояниями, или просто смесями, в отличие
от чистых состояний, которые получаются из одной волновой функции.
Основное допущение квантовой теории состоит в том, что любая
динамическая задача может быть решена на уровне амплитуд вероятности так же, как любая динамическая задача в классической механике
52
по традиции связывалась с динамикой траекторий. Но, как ни странно,
чтобы приписать веществу вполне определенные свойства, приходится
выходить за рамки одних лишь амплитуд вероятностей. Для этого оказываются необходимыми сами вероятности. Чтобы понять, в чем здесь
дело, рассмотрим простой пример. Предположим, что энергия может
принимать только два значения –– Е1 и Е2. Пусть и1 и и2 – соответствующие волновые функции. Рассмотрим их линейную суперпозицию
ψ = с1и1 + с2и2. Такая волновая функция «присутствует» на обоих
уровнях, система же находится не на уровне 1, не на уровне 2, а в некотором промежуточном состоянии. Измерим энергию, связанную с
волновой функцией ψ. Согласно квантовой механике обнаружим либо
величину Е1, либо величину Е2 с вероятностями, определяемыми квадратами амплитуд вероятностей |c1|2 и |c2|2.
Начали рассматривать с одной волновой функции ψ и тем не менее закончили смесью двух волновых функций и1 и и2. Это часто называется «редукцией», или «коллапсом», волновой функции. Теперь необходимо перейти от потенциальных возможностей, описываемых
волновой функцией ψ, к актуальным реальностям, которые можно
измерить. На традиционном языке квантовой теории можно сказать,
что движемся от чистого состояния (волновой функции) к ансамблю,
или смеси. Но как это возможно? Ранее уже говорилось о том, что
уравнение Шредингера преобразует исходную волновую функцию в
другую волновую функцию, но не в ансамбль. Такое положение дел
нередко называли квантовым парадоксом. Предполагалось, что переход от потенциальной возможности к актуальной реальности обусловлен нашими собственными измерениями. Именно эту точку зрения
выражал Стивен Вайнберг. Ее изложение можно встретить и в многочисленных учебниках квантовой механики.
Предлагаемое объяснение - того же типа, что и объяснение парадокса времени в классической механике. В случае парадокса времени
трудно понять, каким образом производимое человеком действие, например, измерение, можно сделать ответственным за переход от потенциальной возможности к актуальной реальности. Была бы эволюция Вселенной иной, если бы людей не было? Во «Введении» к своей
книге «Новая физика: синтез» Пол Ч.У. Девис пишет: «По сути дела
квантовая механика дает нам весьма успешную процедуру для
предсказания результатов наблюдений за микросистемами, но стоит
нам спросить, что в действительности происходит, когда мы
производим наблюдение, как мы получаем нонсенс! … После полувека
споров дискуссия по поводу квантового наблюдения не утихает.
Проблема физики очень малого и очень большого отличаются
53
необычайной сложностью, но вполне может быть, что граница, о
которой идет речь, — интерфейс между духом и материей –– окажется
наиболее спорным наследием Новой Физики» [1].
В классический механике координаты и импульсы независимы в
том смысле, что можно приписывать координате любое численное
значение совершенно независимо от того, какое значение приписано
нами импульсу. Но существование постоянной Планка h приводит к
уменьшению числа независимых переменных. Об этом можно было бы
догадаться, исходя из соотношения Эйнштейна – де Бройля λ=h/p,
связывающего длину волны с импульсом: длина волны частицы (тесно
связанная с понятием координаты) есть отношение постоянной Планка
к импульсу частицы. Следовательно, координаты и импульс квантовомеханической частицы уже более не являются независимыми переменными, как в классической механике. Важно подчеркнуть, что во
всех этих случаях в представление оператора входят только однотипные величины (либо только координаты, либо только импульсы), но не
координаты и импульсы одновременно. В этом смысле можно
утверждать, что в квантовой механике число независимых переменных
вдвое меньше, чем в классической [22].
Из соотношения между операторами в квантовой механике вытекает одно фундаментальное свойство: два оператора — — не
торов
координат и импульсов приводит к весьма важным следствиям, так как
только коммутирующие операторы допускают общие собственные
функции. Таким образом, невозможно указать функцию, которая была
бы одновременно собственной функцией координаты и импульса.
Из определения координаты и импульса в квантовой механике
следует, что не существует состояний, в которых эти две физические
величины (т. е. координата q и импульс р) имели бы вполне
определенное значение. Эту ситуацию, неизвестную в классической
механике, выражают знаменитые соотношения неопределенности
Гейзенберга, с появлением которых произошел окончательный
переход к статистической интерпретации квантовой теории.
Эти соотношения сводятся к тому, что в квантовой системе не могут быть известны одновременно две определяющие систему величины, знание которых необходимо в классической физике для полного
определения системы, и что, таким образом, между неопределенностями, или неточностями, этих величин существуют математические
соотношения, не допускающие точного знания одновременно обеих
величин [23].
54
В состоянии с более или менее определенной локализацией частица не обладает строго определенной величиной количества движения. Соотношение между неопределенностью количества движения и
неопределенностью локализации в пространстве может быть установлено из общей кинематической теории волновых процессов в сочетании с физическим законом, связывающим волновые свойства частицы
с количеством ее движения согласно формуле λ=h/p. Отсюда и вытекает так называемое соотношение неопределенностей Гейзенберга:
Δх•Δр≥h, т. е. произведение Δx•Δр больше или порядка h.
Таким образом, невозможно одновременно точно измерить две
некоммутирующие наблюдаемые, в частности две канонически сопряженные величины. Часть величин, характеризующих частицу, в любой
момент времени имеет некую неопределенность. Если точно измерить
значения одних величин, то значения других, канонически сопряженных, останутся полностью неизвестными. Поэтому можно говорить о
неких «максимальных» измерениях, которые могут дать максимум
возможных сведений о состоянии частицы, не позволяя, однако, узнать
его полностью. Принципиально невозможно указать такую процедуру,
которая бы привела к их точному определению, т. е. измерению. Это
не субъективная неполноценность экспериментаторов, а объективный
закон природы. Это оказывается следствием фундаментального постулата о том, что состояние наших знаний о системе должно характеризоваться волновой функцией ψ как до, так и после измерения. Если две
канонически сопряженные величины можно было бы одновременно
точно измерить, то состояние системы после измерения нельзя было
бы характеризовать волновой функцией ψ и от волновой механики
пришлось бы отказаться.
Наряду с этим соотношения неопределенности Гейзенберга показывают, что чем в большей степени обнаруживается один из аспектов
частицы, тем более теряется второй аспект. Этим объясняется то, что
волновая механика дает возможность одновременно использовать два,
казалось бы, противоречащих друг другу понятия — плоской однородной бесконечно протяженной волны и локализованной корпускулы.
Именно поэтому эти два столь различных образа никогда не вступают
в противоречие между собой; один из аспектов всегда ослабевает, когда усиливается другой. Данное обстоятельство Бор выразил словами:
«Волна и частица — это (взаимно) «дополнительные аспекты
реальности». Он, по-видимому, имел в виду, что разные наглядные
образы, с помощью которых мы описываем атомные системы, вполне
согласуясь с определенным экспериментом, тем не менее, исключают
друг друга [23]. Принцип неопределенности отнюдь не отрицает су-
55
ществования импульса и координаты как точных физических величин;
он только утверждает, что эти величины не существуют одновременно
как точные. Каждая из них в отдельности может быть измерена, или
задана, сколь угодно точно.
В этом утверждении заключается отказ от укоренившихся физических понятий. Ведь когда говорят о траектории частицы, подразумевают, что в каждый момент времени имеется определенная координата
и скорость (или импульс). Принцип неопределенности лишает это утверждение смысла фактически, конечно, только в применении к микрочастицам. Поскольку с макроскопической точки зрения постоянная
Планка h пренебрежимо мала, в макроскопических явлениях одновременное измерение двух канонически сопряженных величин оказывается практически возможным, ибо в этом случае неточность измерения
намного превышает квантовые неопределенности. Но в масштабе явлений, затрагивающих элементарные частицы, величиной h пренебречь нельзя, а потому квантовые неопределенности играют существенную роль.
Теперь приходим к одной из основных идей квантовой механики.
Если в классической механике ее основные уравнения считались точными, справедливыми во всех случаях, то новая механика приписывает существенную роль волне ψ; теперь классическая механика рассматривается как приближение, справедливое лишь в том случае, когда при описании распространения волны ψ допустимо приближение
геометрической оптики.
Таким образом, классическая механика оказывается лишь неким
приближением; она применима только в том случае, когда показатель
преломления n для волны ψ мало меняется на расстояниях порядка
длины волны или, что то же самое, когда на таких расстояниях мало
меняется потенциал. Если длина волны, характеризующая волновую
функцию ψ, была бы бесконечно мала, то классическая динамика была
бы точной теорией. Из формулы для длины волны λ видим, что это
условие всегда будет выполняться (при нулевом значении υ), если постоянная h бесконечно мала; при h → 0 всегда должна получаться в
пределе классическая механика.
Квантовая механика по своему существу является статистической
теорией. Поэтому судьба отдельной частицы, ее история может быть
прослежена только в общих чертах. Как видно, в классической механике возникает необходимость время от времени восстанавливать начальные данные, для того чтобы исключить накапливающийся эффект
первоначальной ошибки в их определении. В квантовой области этот
эффект является уже крайне существенным: частицу можно лишь при-
56
ближенно локализовать в пространстве, и эта локализация будет
ухудшаться с течением времени тем скорее, чем точнее была первоначальная локализация — таково прямое следствие соотношения неопределенностей [24].
Таким образом, квантовая механика дает совершенно особую
концепцию механического движения — не по траектории. Движение
по траекториям делало возможным однозначное предсказание будущего по прошедшему. В квантовой теории предсказание имеет вероятностный характер. Разумеется, это не означает отказа от закономерностей движения вообще — просто законы квантовой механики относятся к вероятностям появления различных величин, а не к самим величинам. Можно, например, указать вероятность того, что электрон
попадет в ту или иную точку фотопластинки, но принципиально невозможно предсказать заранее, в какую именно точку он попадет.
То есть понятие траектории надлежит применять лишь со степенью неточности, характеризующейся тем, что произведение неопределенности местоположения на неопределенность сопряженного импульса не может стать меньше кванта действия Планка. Бор пришел к
аналогичным уточнениям языка благодаря сформулированному им
понятию дополнительности, и лишь теперь впервые можно было ясно
сказать, что следует понимать под ситуацией наблюдения и как представить ее в математических формулах. С этой интерпретацией согласился тогда даже Паули [23].
Следовательно, в отличие от классических законов движения, квантовые законы движения сами заключают в себе понятие
вероятности и это не связано с несовершенством наших приборов, а
лежит в природе вещей.
Квантовые законы движения не отменяют классические, они
только кладут количественный предел их применимости. Его дают
соотношения неопределенности, причем с помощью классических понятий координаты и импульса. До тех пор, пока Δр и Δх малы по сравнению с соответствующими величинами р и х, характеризующими
данное, конкретное движение по траектории, классические законы
движения применимы. Но если неопределенности величин равны самим величинам или больше них, необходимы квантовые законы. В
отличие от классических, они предсказывают результаты опытов не
однозначно, а вероятностным образом.
Принцип неопределенности содержит утверждение гораздо более
общее, чем это видно из соотношений неопределенности Δр∙Δх = h для
конкретных величин р и х. Координата и соответствующая ей составляющая скорости не существуют одновременно. Значит ли это, что
57
принцип неопределенности отменяет закон сохранения энергии? Ни в
коем случае. Ранее уже говорилось, что законы сохранения в классической и квантовой механике одни и те же. Разница состоит в том, что в
квантовой механике невозможно точно разделить энергию частицы на
кинетическую и потенциальную. Точный смысл имеет только полная
энергия, но она и сохраняется. Условия ее сохранения в точности такие же, как в классической механике: над системой не должна
производиться работа внешних сил. Такая система называется консервативной: слово консервация и значит сохранение. Энергия сохраняется, в частности, и в замкнутой системе, т. е. в такой, которая не
взаимодействует с окружающими системами.
Если исходить из релятивистских представлений, то в виде естественного дополнения к трем первым соотношениям δpi ∙ δхi ~ h появляется четвертое соотношение неопределенностей Гейзенберга
δЕ ∙ δt ~ h, поскольку в теории относительности энергия рассматривается как величина, канонически сопряженная по отношению ко времени, в том же смысле, в каком составляющие рх, ру, рz импульса
являются канонически сопряженными величинами по отношению к
переменным х, у, z [23].
Однако в волновой механике, по крайней мере, при современном
состоянии теории, симметрия между четвертым соотношением неопределенности и тремя первыми носит скорее внешний характер. В самом деле, волновая механика даже в релятивистской (на первый
взгляд) форме Дирака не устанавливает истинной симметрии между
пространственными и временной переменными. Координаты х, у, z
частицы считаются наблюдаемыми, соответствующими неким операторам и имеющими в любом состоянии (описываемом волновой функцией ψ) некоторое вероятностное распределение значений, тогда как
время t по-прежнему считается вполне детерминированной величиной.
Причем в квантовой механике, как и в классической, время – число, а
не оператор.
Что же тогда означает соотношение δЕ •δt ~ h? Оно означает следующее: чтобы приписать частице энергию Е с неопределенностью δЕ,
необходимо провести наблюдение, т.е. операцию измерения, на протяжении по меньшей мере времени δt ~ h / δE. В самом деле, из проведенного нами анализа разложения Фурье для волнового пакета следует, что продолжительность δt прохождения пакета через некоторую
точку есть по меньшей мере величина порядка δt = 1 / δv. Чтобы убедиться в том, что неопределенность энергии не превышает δЕ = h δv,
необходимо зарегистрировать в некой точке Р прохождение переднего
и заднего фронтов волнового пакета, а для этого нужно, чтобы дли-
58
тельность наблюдения была не меньше δt ~ 1 / δv. В частности, чтобы
можно было утверждать, что δЕ = 0, т.е. что волновой пакет является
монохроматическим, необходимо проводить наблюдение в течение
бесконечного промежутка времени, поскольку протяженность монохроматической волны бесконечна.
Таким образом, если три первых соотношения неопределенностей
выражают факт существования распределения вероятностей для величин q u p, т.е. то обстоятельство, что эти величины являются «случайными переменными» в смысле теории вероятностей, то четвертое соотношение неопределенностей следует интерпретировать иначе.
Время не является случайной переменной, но измерить энергию Е
можно лишь путем наблюдений конечной продолжительности, и чем
меньше время наблюдения, тем больше неопределенность в значении
Е. Поскольку переменная t не является случайной переменной, у нее
нет и дисперсии, так что четвертому качественному соотношению неопределенностей δЕ • δt ≥ h не отвечает точное соотношение для дисперсий вида σ
∙ σ
≥ h / 4π. Коль скоро t есть переменная с точным зна-
Е
t
чением, ее дисперсия σt равна нулю. Нетрудно видеть различие между
сделанными выводами и релятивистской симметрией пространства и
времени.
Общепринятое выражение детерминизма в классической механике в применении к отдельной частице гласит, что при данных внешних условиях положение и скорость частицы в данный момент времени однозначно определяют положение и скорость частицы в любой
последующий момент времени. Достаточно так сформулировать классическую постановку вопроса о причинности, чтобы увидеть неприменимость подобной формы детерминизма к реальной микрочастице.
Микрочастица есть объект, у которого состояние с точно определенными в данный момент времени скоростью и положением невозможно. Подобное сочетание характеристик противоречит свойствам
микрочастиц. Таким образом, закон причинности находит в применении к микрочастице новое выражение, отличное от механистического
понимания детерминизма. В действительности он реализуется в форме
закона однозначного развития во времени квантового состояния, которое характеризуется однозначно определяемой волновой функцией.
При этом особое значение в квантовой механике приобретает
процесс измерения. Предположим, что первоначально частица характеризовалась волновой функцией, которая является в действительности суперпозицией собственных функций. В результате процесса измерения этот единственный набор систем, представимых одной и той
же волновой функцией, заменяется набором волновых функций, соот-
59
ветствующих различным собственным значениям, которые могут быть
измерены. На языке квантовой механики это означает, что измерение
переводит одну волновую функцию («чистое» состояние) в смесь
(«смешанное» состояние).
Бор и Розенфельд [22] неоднократно отмечали, что каждое измерение содержит элемент необратимости, т.е. апеллировали к необратимым явлениям (таким, как химические процессы, поглощение и испускание света), соответствующим записи, или регистрации, данных.
Запись сопровождается усилением, в результате которого микроскопическое явление производит эффект на макроскопическом уровне,
т.е. на том самом уровне, на котором считываем показания
измерительных приборов. Таким образом, измерение предполагает
необратимость.
Возникает парадокс: обратимое уравнение Шрёдингера может
быть проверено лишь с помощью необратимых измерений, которые
это уравнение, по определению, не может описывать. Новый аспект,
привносимый квантовой механикой, заключается в том, что необходимы и обратимость, и необратимость. Такое сосуществование в
квантовой механике обратимости и необратимости свидетельствует о
том, что классическая идеализация, описывающая мир как замкнутую
систему, на микроскопическом уровне невозможна. Именно это имел в
виду Бор, когда заметил, что язык, используемый нами для описания
квантовой системы, неотделим от макроскопических понятий, описывающих функционирование наших измерительных приборов. Он разъяснил, что само существование квантовой механики возможно лишь в
меру существования классических объектов. Все, что известно о
строении вещества, в особенности о свойствах вещества на микроскопическом уровне, получено с помощью измерительных приборов, которые сами являются макроскопическими объектами, состоящими из
большого числа атомов или молекул. Измерительные приборы представляют собой как бы продолжение наших органов чувств. Можно
сказать, что измерительный прибор служит посредником между исследуемым миром и нами. Дело в том, что мир микрочастиц слишком
оживлен и неупорядочен, чтобы какая-нибудь его часть могла бы быть
использована в качестве измерительного прибора. Такой «микроприбор» постоянно подвергался бы многочисленным случайным воздействиям и сам нуждался бы в постоянном контроле. Нужно найти «островок спасения» в хаосе микромира, среди бушующего моря микроявлений. Квантовая механика находит такой «островок» в макроскопическом приборе [24].
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]