Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенность и необратимость физических процессов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Такая особая точка является неустойчивой и называется особой точкой типа «седло». Легко видеть, что, где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и сепаратрисы, обозначенной на рисунке стрелками), она всегда в конечном счете будет удаляться от равновесия.

В том случае, когда λ1 и λ2 комплексно сопряжены, изменение переменных х, у во времени носит колебательный характер, а фазовые траектории представляют собой спирали (рис. 2.7). Особая точка в этом случае называется «фокусом». При этом, если действительные части λ равновесия является устойчивым фокусом, если же Re λ

отрицательные (Re λ

1,2

< 0), колебания затухают и положение

1,2

> 0,

1,2

амплитуда колебаний со временем нарастает, а особая точка является неустойчивым фокусом.

В том случае, когда Re λ = 0, фазовые траектории в окрестности особой точки представляют собой эллипсы (рис. 2.8). Через особую точку в этом случае не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, «вложенные друг в друга» и охватывающие особую точку, называется

«центром».

Сформулируем введенную классификацию особых точек линейной системы (2.15). В случае отсутствия вырождения (ас – bс ≠

0) возможны шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (2.19):

1) устойчивый узел (λ1 и λ2 действительны и отрицательны);

2) неустойчивый узел (λ1 и λ2 действительны и положительны);

3) седло (λ1 и λ2 действительны и разных знаков);

4) устойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Re λ < 0);

5) неустойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Re λ > 0);

6) центр (λ1 и λ2 – мнимые).

Первые пять типов состояния равновесия являются грубыми: их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (2.11) и их производных первого порядка. В целом режим функционирования динамической системы называется устойчивым, если малые возмущения затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, то режим будет неустойчивым.

Рис. 2.6. Особая точка типа «седло» на фазовой плоскости ху

Рис. 2.7. Особая точка типа «фокус» на фазовой плоскости ху

Рис. 2.8. Особая точка типа «центр» на фазовой плоскости ху

2.5. Хаотические процессы в детерминированных системах

В системах, которые рассматривались до сих пор,

детерминированный характер их поведения проявляется в том, что малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям конечного результата. Это, в сущности, справедливо и в отношении поведения систем в точках бифуркации. Незначительные возмущения «толкают» систему в один из заранее возможных режимов. В этих случаях (триггерное переключение, устойчивый цикл около неустойчивого фокуса) соответствующие фазовые траектории носят вполне определенный характер, а случайным является лишь переход систем в один из режимов.

Однако в последние годы стало ясно, что весьма

распространенным свойством многих нелинейных детерминированных

систем является их хаотическое поведение во времени [18]. Хаотические процессы в детерминированных нелинейных системах — одна из фундаментальных проблем современного естествознания. Убедительно доказано, что в таких системах причина генерирования сложных колебательных процессов кроется не в большом числе степеней свободы и не в наличии флуктуаций, а в экспоненциальной неустойчивости режимов. Надо особенно подчеркнуть, что здесь хаос возникает как результат внутренней динамики системы, а не вследствие внешних источников или внешних случайных воздействий. Настоящая причина нерегулярности и непредсказуемости поведения определяется тем, что в таких нелинейных системах небольшие отклонения от начальных условий нарастают со временем, «уводя» друг от друга первоначально близкие траектории. Малые изменения начальных условий приводят здесь к большим конечным результатам. Экспоненциально быстрое нарастание первоначальных ошибок в реально задаваемых начальных условиях приводит к невозможности предсказать длительное поведение системы.

Возможность подобных явлений понимал и предвидел

А. Пуанкаре [6]. В неустойчивых системах "совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. …Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное", — так писал он еще в 1908 г. в книге "Наука и метод". Развитие идей Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в динамических системах является размерность фазового пространства N> 3, то есть когда состояние системы характеризуется минимум тремя переменными.

Детерминированность и хаос. Для понимания смысла понятия

детерминированный хаос, вначале необходимо внести ясность в понимание терминов детермированность и хаос. Когда говорят о детермированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. Если задано некоторое начальное состояние системы при t = t0, то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени t > t0. Например, если тело движется равноускоренно, то его скорость определяется детерминированным законом

v(t) = v(t0) + at. (2.22)

При задании начальной скорости v(t0) однозначно определяется

значение скорости v(t) в любой момент времени t > t0.

В общем случае зависимость будущего состояния x(t) от

начального x(t0) можно записать в виде x(t) = F[x(t0)], где F — детерминированный закон, который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния x(t0) в будущее состояние x(t) для любого t > t0.

Для определения понятия хаос проведем мысленный эксперимент

с броуновской частицей. Поместим частицу в момент t = t0 в раствор жидкости и с помощью микроскопа начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы Δt. Нетрудно убедиться, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможностей воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты? Их главным образом два. Первый — каждый раз траектория движения частицы будет сложной, непериодической; второй — любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями получаются различные траектории движения частицы. Классическое явление движения броуновской частицы дает четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Если говорят о хаосе, подразумевают, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить).

Таким образом, понятия детерминизм и хаос, казалось бы, прямо

противоположны по смыслу. Детерминизм ассоциируется с полной предсказуемостью и воспроизводимостью, хаос — с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостью. Возникает закономерный вопрос, что понимается под термином детерминированный хаос, где объединены два противоположных по смыслу понятия? Ответить на этот вопрос непросто, но возможно.

Устойчивость и неустойчивость. Для этого необходимо уже

рассмотренное нами понятие устойчивости (неустойчивости) движения. Напомним лишь, что режим функционирования динамической системы называют устойчивым, если малые возмущения затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, такой режим будет неустойчивым [19].

Пусть имеется неустойчивый режим. При нарушении этого

Рис. 2.9. Рождение устойчивого предельного цикла Г в окрестности неустойчивого равновесия точки О. Поведение траекторий при малых (а) и при больших (б) отклонениях от равновесия

а б

режима малым воздействием сначала будет фиксироваться нарастание возмущения. С физической точки зрения нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. В силу ограниченности энергетических ресурсов системы это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду, и управляют этими процессами нелинейные законы. Свойства нелинейной системы непосредственно зависят от ее состояния, она автоматически себя регулирует.

Рассмотрим неустойчивую детерминированную систему с учетом нелинейного ограничения нарастаний возмущений. Для простоты рассмотрим состояние равновесия, которому отвечает точка в пространстве фазовых координат системы. Выведем систему из равновесия малым отклонением. Это возмущение начнет нарастать в силу неустойчивости. Далее нарастание возмущения начнет замедляться (вступит в силу механизм нелинейного ограничения). В силу нелинейного ограничения отклонение уменьшится строго до нуля, система вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически это возможно, однако очень маловероятно, так как исходное состояние равновесия неустойчиво. Более вероятна другая

ситуация: система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию

неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Этот процесс будет длиться бесконечно во времени. Но реализация такого процесса требует некоторых специальных условий.

Предположим, что

имеется двумерная

дифференциальная динамическая система. Пространство ее

состояний — фазовая плоскость с координатами x и y. Если малое

Рис. 2.10. Поведение динамической системы, которое невозможно реализовать на плоскости в силу пересечения фазовых траекторий. Реально эта картина получается путем проекции трехмерной траектории на плоскость двух переменных

возмущение состояния равновесия в такой системе будет нарастать, а в результате нелинейного ограничения далее уменьшаться, то возможны два варианта: появление новых устойчивых состояний равновесия вблизи неустойчивого либо переход в новый режим, отвечающий периодическим колебаниям.

Второй вариант иллюстрирует рис. 2.9. При малых амплитудах

возмущения (рис. 2.9, а) траектория по спирали удаляется от точки равновесия О. При больших отклонениях (рис. 2.9, б) траектория возвращается. Вместо неустойчивого состояния равновесия появляется новый режим — периодические автоколебания, которым отвечает предельный цикл Г на фазовой плоскости. Неустойчивость состояния равновесия в двумерной нелинейной системе порождает режим устойчивых периодических колебаний.

Если вообразить иную ситуацию, когда отклонение от состояния

равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, то возникает противоречие: фазовая траектория обязана будет самопересекаться (рис. 2.10).

Но из этого следует, что существуют различные начальные условия, приводящие в итоге к одинаковым состояниям. Это невозможно в силу теоремы единственности решения: при заданных начальных условиях решение существует и оно единственное, другого не дано.

Картина принципиально изменится, если

рассматривать динамическую систему, состояние которой характеризуется тремя независимыми переменными (фазовыми координатами). Ничто не запрещает реализовать ситуацию рис.

2.10 в пространстве трех

измерений. Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь от точки О по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния. Далее ввиду неустойчивости процесс будет повторяться (рис. 2.11).

Возможны два варианта: траектория спустя конечное время замкнется, демонстрируя наличие сложного, но периодического процесса; траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при t → ∞ замыкания не произойдет. Второй случай отвечает режиму детерминированного хаоса. Действительно, работает ос-новной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако процесс эволюции системы сложный, непериодический. Внешне он ничем не отличается от случайного. Но при более детальном анализе вскрыва-ется одно важное отличие этого процесса от случайного — этот процесс воспроизводим. Действительно, при повторении еще раз начального состояния в силу детерминированности вновь воспроизведется та же самая траектория независимо от степени ее сложности. Это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс.

Вероятностные свойства детерминированных систем.

Основным свойством динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, является чувствительная зависимость режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Именно это обстоятельство ведет к потере детерминированной предсказуемости и необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики таких систем. В этом смысле становится понятным термин детерминированный хаос, который характеризует рождение случайного, непредсказуемого поведения системы, управляемого детерминированными законами.

Неопределенность в задании начального состояния — ситуация вполне реальная с точки зрения физики. Действительно, в силу конечной точности регистрации состояния любыми приборами оно определяется с конечной (пусть сколь угодно малой) ошибкой и поэтому всегда будут небольшие случайные отклонения при задании одних и тех же начальных условий. Это означает, что нужно анализировать эволюцию во времени не начальной точки, а начальной области вокруг этой точки. Вследствие этого при решении соответствующих нелинейных уравнений вычисленная на ЭВМ траектория детерминированной системы становится хаотической. Это значит, что на достаточно больших временах поведение этих систем становится

непредсказуемым, а сами системы находятся в состоянии беспорядка и

Рис. 2.11. Возможный вид фазовой траектории в трехмерной нелинейной диссипативной системе, отвечающий наличию странного аттрактора [17]

нерегулярности.

Таким образом, в неустойчивых режимах в детерминированных

нелинейных системах можно предсказать будущее состояние однозначно только в случае строгого задания начальных условий. Однако если учесть сколь угодно малую ошибку, то детерминированное предсказание становится невозможным. Малая область первоначальной неопределенности размывается за счет перемешивания на конечную область в фазовом пространстве. Теперь имеем дело с процессом, который ассоциируется с настоящей случайностью, с настоящим хаосом.

После открытия детерминированного хаоса, ясного понимания свойств эффекта и разработки методов его диагностики хаос был обнаружен практически во всех областях современного естествознания: в физике, радиотехнике, химии, биологии, механике, экономике и др. Наша жизнь все более настоятельно требует количественного учета таких факторов, как сверхвысокая плотность, сверхвысокая температура, давление, сверхвысокие скорости, плотности населения и т. д. А как известно, учет этих факторов требует принципиально нелинейного подхода к описанию эволюционных процессов. Эти процессы моделируются и анализируются с помощью компьютеров, для которых нелинейность модели не является препятствием для детального анализа. И выяснилось, что в таких системах хаотический режим функционирования скорее правило, чем исключение.

Хаотическое поведение является на самом деле отражением глубоких закономерностей динамической организации сложных систем. Предложенные сегодня модели детерминированного хаоса, возможно, представляют собой простейшие правила хаотизации и в этом смысле могут рассматриваться в качестве первых базовых моделей хаоса. Ясно, что это лишь начало пути в изучении роли хаоса в природе и в самоорганизации физических систем.

2.6. Экспериментальное изучение пространственнораспределенных систем

Главная надежда нелинейной динамики состоит в том, что многие сложные системы, возникшие в результате процессов самоорганизации, могут быть просто описаны с помощью нескольких переменных – параметров порядка [10]. На этом базируется главная идея экспериментального изучения этих систем, т.е. нет необходимости исследовать динамику всего исходного бесконечномерного фазового пространства. Вполне достаточно наблюдать аттрактор системы, размерность которого при математическом ее описании во многих исследованиях оказалась довольно мала, например три, пять или около того.

Основным способом анализа экспериментальных данных о нелинейных системах является метод вложения Ф. Такенса [10]. С его помощью можно различать системы, демонстрирующие хаотическое движение в пространстве небольшой размерности от систем с шумом, а также выявлять простое регулярное движение. С другой стороны, с помощью этого метода можно измерять инвариантные характеристики хаотических систем.

Метод основан на идее, что любой сигнал от системы содержит в себе информацию обо всех процессах внутри ее, поскольку все части динамической системы взаимосвязаны и могут быть рассмотрены как единое целое. Поэтому поведение системы можно расшифровать по измерениям любой динамической характеристики. Эту идею удалось сначала обосновать теоретически, а затем успешно использовать для исследования многих физических, химических, биологических и иных сложных систем.

Ф. Такенс доказал, что установить наличие детерминированного хаоса можно, измеряя любую из динамических переменных в одной точке почти при любом интервале измерения времени ( t). Полученная последовательность данных обычно обрабатывается по алгоритму Грассбергера – Прокаччиа, и определяются вид и размерность аттрактора, число степеней свободы, показатели Ляпунова и другие параметры динамики. Еще раз подчеркнем парадоксальность этого рецепта. Чтобы исследовать количество параметров порядка у сложной многомерной системы, достаточно измерить одну величину в дискретные моменты времени.

Этот метод был адаптирован нами для изучения пространственнораспределенных систем, какими являются поверхности материалов [11,

20]. Для категоризации поведения систем была предложена

фрактальная размерность D соответствующего аттрактора. Она позволяет определить и вид динамики роста и является удобной мерой, позволяющей отличать системы, демонстрирующие чрезвычайно сложное хаотическое, но вместе с тем детерминированное поведение, от систем с чисто случайным поведением, но фрактальная размерность не очень полезна для практического применения (моделирования и управления). Показатели Ляпунова являются в прямом смысле динамическими инвариантами и наиболее информативны. Отличительная особенность инвариантов заключается в их нечувствительности к малым изменениям начальных условий. Следует отметить, что практически все инварианты описывают установившееся поведение хаотических систем при времени эволюции, стремящемся к бесконечности, т. е. асимптотическое поведение системы.

Кроме метода вложения Такенса, описанного ранее, данные о профиле поверхности могут быть исследованы с помощью функций распределения, анализа Фурье, а также функции средней взаимной информации (СВИ) – параметра, который используется для определения корреляций в нелинейных системах. СВИ инвариантна относительно различных технологий и позволяет оценивать влияние на воспроизводимость различных факторов [21].

2.7. Выводы к разделу 2

1. Исследование и моделирование физических процессов

необходимо проводить с учетом их внутренних динамических свойств и других особенностей сложного поведения.

2. В сложных пространственно-распределенных системах может наблюдаться явление самоорганизации – выделение небольшого числа переменных, определяющих динамику всей системы.

3. В большинстве случаев динамика взаимодействий компонентов различных физических систем может быть адекватно описана базовыми математическими моделями динамических систем.

4. Основным понятием качественной теории дифференциальных уравнений, применяемой для описания динамических систем, является фазовое пространство, точки которого представляют различные состояния системы, а его преобразования определяются уравнениями динамики. Исследование фазового портрета системы позволяет анализировать и прогнозировать поведение системы в целом.

5. В детерминированных динамических системах возможно существование непериодических режимов колебаний, называемых

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]