Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Тени в ортогональных проекциях. Тени в перспективе и аксонометрии. Учебное пособие
.pdf
Контур тени от окружности может быть получен также с помощью построения тени описанного вокруг окружности квадрата, в которую затем вписывают эллипс по восьми точкам (рис. 9, б).
б)
Рис. 9 (окончание)
Тени плоских фигур
Вид тени от плоской фигуры зависит как от ее формы и положения в пространстве,
так и от формы поверхности, на которую падает тень.
При построении тени любой плоской фигуры необходимо построить совокупность
теней характерных точек и линий, составляющих эту фигуру. На рис. 10 построена падающая тень от плоскости общего положения, заданной треугольником АВС на плоскости
проекций. Сначала строят тени от вершин треугольника на одну из плоскостей проекций
и соединяют их прямыми линиями, включая и часть мнимой тени. Так как реальные тени
от вершин треугольника оказались на разных плоскостях проекций, тень треугольника переходит с одной плоскости проекций на
проекций плоскости зависит от взаимного расположения световых лучей и данной плоской фигуры. Определяем собственную тень треугольника АВС следующим образом.
Возьмем на плоскости точку М и проведем к ней световой луч. Определим видимость светового луча относительно плоскости треугольника при помощи конкурирующих точек.
другую, преломляясь на оси Х. Освещенность
11
Рис. 10
Сторона треугольника, к которой луч подходит с видимой стороны, освещена,
а сторона, к которой луч подходит с невидимой стороны, в собственной тени. На рис. 10
из двух фронтально конкурирующих точек (12 = 22) видна та точка, которая ближе, т. е.
точка 2 на световом луче ближе к наблюдателю, чем точка 1, принадлежащая плоскости
треугольника. Следовательно, луч подходит к плоскости треугольника с видимой для наблюдателя стороны, что позволяет заключить, что фронтальная проекция треугольника
освещена.
Аналогично определяется освещенность горизонтальной проекции треугольника.
Из двух горизонтально конкурирующих точек (31 = 41) видна та, которая выше, т. е. точка 4,
принадлежащая треугольнику.
Точка 3 на световом луче находится под плоскостью треугольника, следовательно,
световой луч подходит к плоскости с невидимой для наблюдателя ее стороны, а значит,
горизонтальная проекция А1С1В1 будет в собственной тени.
Тень, падающая от плоской фигуры на параллельную ей плоскость, тождественна
самой фигуре. На рис. 11 построена тень от фронтальной плоскости уровня на фронтальную плоскость.
12
Рис. 11
Тени геометрических тел
Выше говорилось, что тени делятся на собственные и падающие. Определение собственной и падающей тени сводится к нахождению их контуров, т. е. линий, отделяющих
освещенную часть поверхности от неосвещенной. Контур падающей тени (к.п.т.) можно
рассматривать как тень, падающую от контура собственной тени (к.с.т.).
Тени многогранников
Часто к.с.т. определяют, руководствуясь пространственным представлением. Так,
у прямоугольного параллелепипеда (рис. 12) ближайшей к источнику света вершиной является точка K, поэтому освещенными гранями параллелепипеда будут три грани, прилегающие к этой вершине, а остальные три грани находятся в собственной тени. Граница же
между освещенными и неосвещенными гранями и является к.
Определив к.с.т., приступают к определению к.п.т. путем построения падающей тени от
вершины и отрезков ломаной линии АВСDEFA.
Также к.с.т. можно определить при помощи падающей тени. Так, если в том же
примере построить падающую тень от всех ребер параллелепипеда, включая и ребра
дящиеся в вершинах K и N, то на падающей тени легко выясняется, какие из ребер параллелепипеда образуют контур падающей тени и какие бросают тень внутри этого контура.
Любой точке контура собственной тени соответствует точка на контуре падающей
тени.
На рис. 13 построена собственная и падающая тень прямой шестигранной призмы.
Для определения контура собственной тени призмы необходимо установить освещенность
ее граней. Так как боковые грани призмы перпендикулярны плоскости П1, то их освещенность легко определить на горизонтальной проекции, где видно, что обращенными к свету
являются три боковые грани, проходящие через стороны основания ВА, AF и FE. Кроме
того, освещено верхнее основание призмы. Нижнее основание призмы расположено на
горизонтальной плоскости проекций. Это значит, что все вершины нижнего основания совмещены со своими
Таким образом, контуром собственной тени является ломаная KE DC BLMNK, от
которой построена тень, падающая на плоскости П
тенями.
13
и П2.
1
с.т. (ломаная АВСDEFA).
, схо-
Рис. 12
Рис. 13
14
Тень пирамиды построена на рис. 14.
Рис. 14
Так как основание пирамиды находится на плоскости П1, то тень от него на П1 совпадает с самим основанием. Поэтому достаточно найти падающую тень от вершины пирамиды S (S1t) и полученную точку соединить с крайними точками основания. Грани пирамиды, к которым примыкает падающая тень, окажутся в собственной тени. Таким образом, контур собственной тени определился по контуру падающей тени. Действительно,
боковые ребра SB и SE будут отделять освещенные грани пирамиды от теневых.
Тени тел, ограниченных кривыми поверхностями
Тень цилиндра
Для того чтобы построить контур собственной тени цилиндрической поверхности,
необходимо провести к этой поверхности касательные плоскости, параллельные направлению лучей света, и найти линии касания – образующие цилиндра. Вдоль этих образующих пройдет контур собственной тени. На рис. 15, а, б построены собственная и падающая тень прямого кругового цилиндра.
Контур собственной тени определяется двумя образующими, по которым лучевые
плоскости касаются его боковой поверхности. Фронтальную проекцию контура собственной тени (рис. 15, б) можно построить и не имея горизонтальной проекции цилиндра –
с помощью равнобедренного треугольника следующим образом: из точек O2 и K2 проведены под углом 45° к отрезку O2K2 прямые – катеты прямоугольного треугольника
О2М2К2. Из точки O2 радиусом О2М2 проведена полуокружность, пересекающая прямую
в искомых точках D2 и В2, через которые проходят образующие, совпадающие
N
2K2
с контуром собственной тени цилиндрической поверхности.
15
а)
б)
Рис. 15 (начало)
На рис. 15, а собственная тень цилиндра, проходя вдоль образующих АВ и СD, замыкается сверху полуокружностью AFC верхнего основания, а снизу – полуокружностью
BND нижнего основания. Падающая тень от этих полуокружностей строится уже описанными выше способами.
16
Тень кронштейна
Построение тени кронштейна выполняется способом построения по характерным
точкам. Для удобства построения профильная проекция расположена слева. Сначала
строим собственные тени на цилиндрических поверхностях кронштейна (рис. 15, в). Их
контуры проходят через образующие (6, 7), (9, 10) и (11, 12), по которым лучевые плоскости касаются цилиндрических поверхностей. Затем строим падающую тень от отрезка
прямой (3, 4), которая переходит с поверхности кронштейна на стену. Аналогично построена тень от образующей (6, 7) на поверхность кронштейна и на стену. Точки 5 и 8 являются точками скольжения тени с поверхности кронштейна на плоскость стены. Остается построить падающую тень от образующей (11, 12) и падающую тень оставшейся части
контура собственной тени поверхности кронштейна.
в)
Рис. 15 (окончание)
Тень конуса
При построении тени конуса сначала строят падающую тень, с помощью которой
определяют контур собственной тени. Строят падающую тень вершины на плоскость основания конуса S
– это мнимая тень (рис. 16). Из этой точки проводят прямые, касатель-
1t
ные к основанию конуса, которые образуют контур падающей тени и определяют точки
касания А и В. Через точки касания А и В проводят образующие конуса SA и SB, которые
соответственно и являются контуром собственной тени конуса.
Тень конуса, обращенного вершиной вниз, строится аналогичным образом (рис. 17).
Для определения контура падающей тени необходимо провести световой луч через вершину конуса в обратном направлении до пересечения с плоскостью основания конуса,
т. е. построить дополнительную проекцию точки S на плоскость основания конуса, после
чего из этой точки построить касательные к его основанию.
17
Рис. 16
18
Рис. 17
С изменением высоты конуса изменяется доля освещенной части боковой поверхности конуса.
Если высота конуса равна радиусу его основания (рис. 18, а), в собственной тени
будет находиться четверть его боковой поверхности.
На рис. 18, б показан конус с наклоном образующей под углом 35° к основанию.
В этом случае теоретически в тени будет находиться только
тень от вершины конуса падает на окружность его основания и к поверхности конуса
можно провести только одну касательную лучевую плоскость.
При дальнейшем уменьшении угла наклона образующих конуса к плоскости П1 вся
боковая поверхность будет освещена.
На рис. 18, в, г показана тень конусов, обращенных вершиной вниз, с углом наклона образующих к плоскости основания 45°, где собственная тень занимает три четверти
боковой поверхности конуса, и 35°, когда боковая поверхность вся в тени.
одна образующая, так как
19
а) б)
в) г)
Рис. 18
Тень сферы
Световые лучи, касающиеся поверхности сферы, образуют обертывающую цилин-
дрическую лучевую поверхность.
Контур собственной тени сферы представляет собою окружность, по которой обертывающая лучевая поверхность касается сферы. Окружность эту можно получить, пересекая сферу плоскостью α, перпендикулярной к лучам света и проходящей через центр сферы. На рис. 19 в новой системе плоскостей проекции П2/П3 такая секущая плоскость (α)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]