Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность электроснабжения. Учебное пособие-1
.pdf
Воспользуемся определением
P
P
P
P
P
nm n m
( ) ()().
AB P A P B
11 1 1
nm n m
П1.8.Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Два события называются зависимыми, если появление одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.
Условной вероятностью называют вероятность появления одного события,
().
B
вычисленную в предположении, что другое событие произошло:
A
Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий
равна произведению вероятности появления одного из них и условно вероятности другого, вычисленной из предположения, что первое событие уже произошло:
( ) () ().
AB P A P B
A
Доказательство. Введем следующие обозначения:
n – число возможных исходов, в которых наступило событие А;
n
– число благоприятных исходов для наступления события А;
1
m – число исходов, в которых наступит событие В, предполагая, что собы-
тие А уже наступило.
Очевидно, что
()
PAB
Умножим и разделим это выражение на
mn
mm
( ) () ().
PAB PAP B
11
nn nn
11
m
.
n
n
:
1
A
Какая вероятность может быть условной?
Рассмотрим события АВ – совмещение двух зависимых событий А и В
(то же самое будет, если рассмотрим ВА). Поэтому
( ) ( ) () () () (),
отсюда
AB PBA PAP B PBP A
() ().
BPA
AB
AB
131
П1.9. Вероятность появления хотя бы одного события
A
A
P
A
A
P
P
A
P
Предположим, имеем события А, B, C. Появление хотя бы одного события
означает, что может появиться одно, два или три события.
, , ..., ,
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного из событий
AA
12
n
независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведе-
, ,..., :
нием вероятностей противоположных событий
k
n
1
()1 ( ).
APA
ik
AA
12
n
Доказательство. Используем теорему о противоположных и совместных
событиях.
Если произошло событие
, то все остальные не произошли:
i
: , , ..., .
AA A
12
i n
Исходя из теоремы о противоположных событиях
( ) ( , , ..., ) 1
PA PA A A.
in
12
Тогда
( ) 1 ( , , ..., ).
PA PA A A
in
12
Используем теорему о независимых событиях:
()1 ()( )...( ).
PA PA PA PA
in
12
П1.10. Полная вероятность
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при усло-
, , ...,
вии появления одного из несовместных событий
BB B
12
n
, образующих
полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий и соответствующей условной вероятности события А:
() ( ) () ( ) () ... ( ) ().
APBPAPBPA PBPA
11 2 2
BB nBn
Доказательство. В данном случае безразлично, какое из событий
B
про-
i
изойдет:
() ( ) ( ) ... ( ).
Так как
A P AB P AB P AB
, ,...,
BAB AB
12
() ( ) () ( ) () ... ( ) ().
APBPAPBPA PBPA
11 2 2
12
– это зависимые события, то
n
BB nBn
n
132
П1.11. Формула Байеса
P
P
P
P
P
Предположим, что событие А может наступить, если наступит одно из
, , ...,
несовместных событий
BB B
12
n
(которые образует полную группу событий).
В данном случае их можно называть гипотезами.
По теореме полной вероятности
() ( ) () ( ) () ... ( ) ().
APBPAPBPA PBPA
11 2 2
BB nBn
Предположим, проведено испытание, в результате которого событие А появилось.
Определим при этом, как изменились в связи с появлением события А ве-
( ), ( ), ..., ( ).
роятности гипотез
BPB PB
12
AA An
Для определения этих условных вероятностей применяется формула
()
Байеса. Выведем ее. Все рассуждения будем вести относительно
B
1
A
По теореме вероятностей зависимых событий
()()()
Отсюда
()
PB
A
Мы знаем, что
AB P A P B
11
()
PAB
1
1
()()()().
AB P B A P B P A
.
()
PA
11 11
.
A
B
После преобразований получим
() ()
PB P A
11
() .
PAB
1
( ) () ( ) () ( ) ()
PB P A PB P A PB P A
11 2 2 3 3
BB B
B
.
Это выражение носит название формулы Байеса.
Очевидно, что для определения появления вероятностей всех других гипотез формула аналогична и их количество будет равно n.
Эта формула позволяет переоценивать вероятности гипотез после того, как
будет известен результат испытания, итогом которого является появление события А.
П1.12. Формулы Бернулли
Предположим, произведено n независимых опытов, в каждом из которых
событие А может появиться с вероятностью p и соответственно не появиться
с вероятностью
. Эти вероятности являются независимыми, так как по
1qp
определению произведенные опыты независимы.
133
Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А появится
P
A
A
A
A
()
k
ровно k раз, т. е. определим вероятность
.
n
Рассмотрим следующий пример, а именно: определим вероятность появления события А три раза в четырех опытах.
Для этого рассмотрим возможные исходы:
событие А появилось в 1-м, 2-м, 3-м опыте и не появилось в 4-м опыте
1)
(, , , );
AAA
1234
или
событие А появилось в 1-м, 2-м, 4-м опыте и не появилось в 3-м опыте
2)
(, , , );
AAA
1234
или
событие А появилось в 1-м, 3-м, 4-м опыте и не появилось во 2-м опыте
3)
(, , , );
AAA
1234
или
4)
событие А появилось во 2-м, 3-м, 4-м опыте и не появилось в 1-м опыте
(, , , ).
AAA
1234
Искомая вероятность определится как
3
(3) 4 .Ppq
4
Для того чтобы каждый раз не составлять уравнения возможных исходов,
была выведена формула Бернулли, которая имеет следующий вид:
!
n
!( )!
kn k
,
где
()
Р k С pq pq
nn
k
– число сочетаний k элементов из n.
С
n
kknk knk
П1.13. Формула Пуассона
Формула Пуассона предназначена для оценки вероятности массовых и редких событий, число которых большое
дом опыте мала
.
0, 01p
а вероятность появления в каж-
100,n
134
Предположим, произведено n независимых опытов, в каждом из которых
событие А может появиться с вероятностью p и соответственно не появиться
с вероятностью
. Эти вероятности являются независимыми, так как по
1qp
определению произведенные опыты независимы.
Рассмотренные выше особенности приводят к трансформации формулы
Бернулли.
()np
Заметим, что произведение
обозначим как . Эта величина будет яв-
ляться постоянной.
Величина
ниях n (количестве опытов). Иногда
есть среднее число появления событий при различных значе-
называется интенсивностью появления
события или частотой появления события. Эта величина не меняется в диапазоне изменения числа опытов от 100 до 1000.
Доказательство. Распишем формулу Бернулли:
!
k
knk k nk
() (1 )
Р k С pq p p
n
n
n
!( )!
kn k
knk
.
np
где
( 1)( 2)...( ( 1))
nn n n k
p
, полученное из выражения
n
!
knn
Зададимся вопросом: к чему будет стремиться
Величины
lim ( ) lim
nn
kk
и !k не зависят от числа опытов n:
nn n
k
nn n nk
Pk
kk
lim lim
nn
!!
n
k
!
12 1
11 1 1
nn n n
( 1) ( 2) ... ( ( 1))
nn n
...
k
lim lim .
k
11
nn
!
k
n
nk
k
nk
nn
1,
lim ( )
n
?
Pk
n
1
nk
n
1
n
nk
135
Исходя из того, что
Pk e
lim ( ) lim lim .
n
nn n
lim (1 ) 1,
n
n
kk k
!! !
kk k
1
n
Так как значение числа опытов
Pk e
n
получаем
n
n
k
() .
!
k
k
Это выражение называют формулой Пуассона.
n
n
1
n
1
n
, получаем
136
Приложение 2
A
A
A
A
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВЕДЕННОЙ В РАЗДЕЛЕ 2.2,
ВТОРЫМ СПОСОБОМ
Имеются две электрические схемы различной конфигурации, состоящие из
шести невосстанавливаемых элементов (ниже приведены функциональные
схемы). Каждый элемент равновероятно может находиться в рабочем и нерабочем состоянии. Резервирование элементов схемы является полным.
Необходимо определить, какая из этих схем более работоспособна.
S
2
2
1
3
S
3
S
S
1
4
5
6
S
3
3 2 1
6 5 4
S
1
S
2
Одним из возможных способов определения вероятности работы систем со
сложной конфигурацией является деление их на подсистемы, вероятность работы которых можно легко подсчитать.
Первая схема представляет собой систему
лена на три подсистемы
щую две подсистемы
,
S
,
S
B
1
,
S
1
S
S
2
3
.
B
2
а) Введем обозначения событий:
,
– работа системы
– работа подсистемы
1
– работа подсистемы
2
– работа подсистемы
3
S
A
B
B
,AS
1
B
,AS
2
,AS
3
, а вторая схема – систему
– работа системы
– работа подсистемы
1
– работа подсистемы
2
S
, которая может быть разде-
A
S
, включаю-
B
,
S
B
,BS
1
.BS
2
137
Поскольку каждый элемент равновероятно может находиться в рабочем
A
A
A
P
A
A
P
A
P
или нерабочем состоянии, вероятности работы элементов
0,5.PP PP PP
123456
б) Учитывая, что работоспособность схемы
ной работе
,
,
S
S
1
, используем выражение для расчета вероятности про-
S
2
3
S
возможна при одновремен-
A
изведения независимых событий (1.8):
() ( )( )( )
При этом
APAPAPA
находится в рабочем состоянии, если работает либо эле-
S
3
123
мент 2, либо элемент 3, либо 2 и 3 вместе, поэтому нужно использовать выражение для определения вероятности суммы совместных событий (см. приложение П1.4).
Тогда
( ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75.PA P P PP
22323
По тем же соображениям вероятность события
()
A P P P PP PP PP PPP
3 4 5 6 45 56 46 456
3 0,5 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,875.
определим как
3
Тогда вероятность того, что первая схема будет находиться в рабочем состоянии, что соответствует работоспособности системы
( ) 0,5 0, 75 0, 875 0,328.PA
Рабочее состояние второй схемы или системы
либо подсистемы
Поэтому вероятность
S
B
, либо
1
, либо
S
B
2
S
можно определить по выражению (П1.6):
B
и
S
B
2
вместе.
S
B
1
, равна
S
3
S
соответствует работе
B
() ( ) ( ) ( )( ),
но работа подсистем
BPB PB PBPB
и
S
B
1
1212
возможна только при одновременном рабочем
S
B
2
состоянии всех входящих в них элементов:
( ) 0,125; ( ) 0,125.PB P P P PB P P P
1123 2 456
138
Поэтому вероятность того, что вторая схема находится в рабочем состоянии, равна
( ) 0,125 0,125 0,125 0,125 0, 234.PB
Проведенный расчет вторым способом, естественно, дал те же значения показателей надежности, что и расчет, проведенный в разделе 2.2.
Следует отметить, что первый способ расчета является более общим в расчетах схемной надежности, так как позволяет рассчитывать более сложные
структуры соединения, содержащие, например, замкнутые контуры, а также
схемы с частичным резервированием.
Именно поэтому оценка надежности с помощью блок-схем, рассмотренная
в разделе 2.2, наиболее часто используется в расчетах надежности как универсальный способ.
139
Приложение 3
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РАСЧЕТОВ НАДЕЖНОСТИ
Элемент
Параметр
потока отказов,
ω, 1/год
Время
восстановления,
, ч
Т
в
Частота
плановых
ремонтов,
μ, 1/год
Время
планового
простоя,
, ч
Т
п
Воздушная ЛЭП 35,
110 кВ, одноцепная,
0,08 6/8* 0,1/0,15* 6,5/8*
на 1 км
Обе цепи ВЛЭП 35,
110 кВ, на 1 км
Кабельная линия 6, 10 кВ,
на 1 км
Воздушная ЛЭП 6, 10 кВ,
одноцепная, на 1 км
Две кабельные линии
в одной траншее, на 1 км
Воздушная ЛЭП 0,4 кВ,
на 1 км
0,008 10 0,01 8
0,1 15/50…25** 0,3/0,5…1** 3/30…10**
0,25 5/6 0,2/0,25 5/5,8
0,005 15 0,05 3
0,2 4/3 0,25/0,3 4/6
Трансформатор 35, 110 кВ 0,03 25/30 0,3/0,5 10/12
Трансформатор 6, 10 кВ 0,035 6/8 0,25/0,3 6/8
Ячейка выключателя,
6, 10 кВ
0,02 5,5/7 0,2/0,3 5/6
Ячейка выключателя,
6, 10 кВ внутренней
0,015 5/6 0,15/0,25 4/7
установки
Ячейка выключателя,
6, 10 кВ КРУН наружной
0,05 4,5/5,5 0,25/0,35 4/7
установки
Ячейка ОД (КЗ) 35,
110 кВ
Ячейка разъединителя
35, 110 кВ
0,05 3,5/5 0,25/0,35 4/6
0,005 3/4,5 0,2/0,3 3/5
Ячейка разъединителя
6, 10 кВ внутренней уста-
0,002 2,5/4 0,15/0,25 2,5/5
новки
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]