Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
И. В. Гребенникова
МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ
Учебное пособие
Рекомендовано методическим советом УрФУ
для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
09.03.02 — Информационные системы и технологии;
09.04.02 — Информационные системы и технологии
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017
УДК 004.4-048.34(075.8)
ББК 32.973я73
Г79
Рецензенты:
кафедра «Мехатроника» ФГБОУ ВО «Уральский государственный
университет путей сообщения» (завкафедрой канд. физ.-мат. наук,
проф. В. С. Тарасян);
гл. науч. сотр. д-р физ.-мат. наук, проф. М. И. Куркин (Институт физики металлов УрО РАН).
Научный редактор — канд. техн. наук, доц. В. А. Пухов
Гребенникова, И. В.
Г79 Методы оптимизации : учебное пособие / И. В. Гребенникова. —
Екатеринбург : УрФУ, 2017. — 148 с.
ISBN 978-5-7996-2090-5
Представлены основные разделы курса «Методы оптимизации» для изучения в техническом вузе. Каждый раздел пособия содержит теоретическую часть, примеры решения типовых задач, систематизированную подборку контрольных заданий.
Предназначено для бакалавров направления 09.03.02 «Информационные системы и технологии» и магистров 09.04.02 «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.
Библиогр.: 11 назв. Рис. 15.
УДК 004.4-048.34(075.8)
ББК 32.973я73
ISBN 978-5-7996-2090-5 © Уральский федеральный
университет, 2017
Оглавление
Предисловие ................................................................................... 5
1. Постановка оптимизационной задачи ...................................... 6
1.1. Экстремальные задачи. Определения ................................ 6
Контрольные задания ....................................................... 10
1.2. Разрешимость задачи оптимизации ................................. 11
Контрольные задания ....................................................... 15
2. Оптимизация функции одной переменной ............................ 16
2.1. Необходимые и достаточные условия локального
экстремума ........................................................................ 16
Контрольное задание ........................................................ 23
2.2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений
на отрезке .......................................................................... 24
Контрольные задания ....................................................... 27
2.3. Выпуклые функции ........................................................... 29
Контрольные задания ....................................................... 31
3. Численные методы минимизации функции одной
переменной .............................................................................. 32
3.1. Унимодальные функции ................................................... 33
Контрольные задания ....................................................... 35
3.2. Метод перебора ................................................................. 35
Контрольные задания ....................................................... 39
3.3. Методы сокращения отрезка поиска ................................ 40
3.3.1. Метод деления отрезка пополам (дихотомии) ....... 41
3.3.2. Метод золотого сечения .......................................... 46
3.3.3. Метод Фибоначчи ................................................... 51
Контрольные задания ....................................................... 56
4. Оптимизация функции нескольких переменных ................... 59
4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума .......... 59
Контрольное задание ........................................................ 69
3
Оглавление
4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных .......70
Контрольное задание ........................................................ 79
4.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции нескольких переменных в замкнутой области .... 79
Контрольное задание ........................................................ 86
5. Численные методы минимизации функции нескольких
переменных .............................................................................. 87
5.1. Методы безусловной минимизации ................................. 87
5.2. Метод градиентного спуска .............................................. 89
Контрольные задания ....................................................... 93
5.3. Метод наискорейшего спуска ........................................... 94
Контрольное задание ........................................................ 97
5.4. Метод сопряженных градиентов ...................................... 97
Контрольные задания ..................................................... 101
5.5. Метод Ньютона ............................................................... 102
Контрольные задания ..................................................... 108
6. Линейное программирование ............................................... 110
6.1. Постановка задачи линейного программирования ....... 110
Контрольные задания ..................................................... 116
6.2. Графический метод решения задачи линейного
программирования.......................................................... 120
Контрольные задания ..................................................... 128
6.3. Симплекс-метод решения задачи линейного
программирования.......................................................... 131
Контрольное задание ...................................................... 143
Библиографический список ....................................................... 146
4
Предисловие
аждая глава учебного пособия состоит из двух частей:
теоретической и практической. В первой части содер-
К
тера: понятия, определения, утверждения, формулы по курсу
«Методы оптимизации», а также примеры решения типовых
задач, графические иллюстрации. Вторая часть включает систематизированную подборку заданий для самостоятельного решения.
По содержанию данное пособие соответствует требованиям
ФГОС ВО направлений подготовки 09.03.02 «Информационные
системы и технологии» и 09.04.02 «Информационные системы
и технологии» всех форм обучения и включает в себя в соответствии с учебной программой основные разделы:
— постановка задачи конечномерной оптимизации;
— оптимизация функции одной переменной;
— численные методы минимизации функции одной пере-
— оптимизация функции нескольких переменных;
— численные методы минимизации функции нескольких
— линейное программирование.
Математический аппарат, применяемый в данном пособии
и используемый при изучении курса «Методы оптимизации»
и решении задач, не выходит за пределы обычного (стандартного) курса высшей математики в технических вузах.
жится теоретический материал справочного харак-
менной;
переменных;
5
f xR R
n
(): ®
XR
n
М
f x()
extr О{min,max}
f xxX()®Оextr
xX
0
О
f x()
x
0
1. Постановка оптимизационной задачи
1.1. Экстремальные задачи. Определения
адачи отыскания наибольших и наименьших величин
часто возникают в науке, технике и экономике. Что-
З
бы применять математические методы для их решения
и анализа, необходимо уметь переходить от содержательной
к математической постановке задачи. Для этого нужно определить:
— целевую функцию
— множество допустимых решений
жество) для функции
— критерий оптимизации
Таким образом, тройка вида
ную или оптимизационную задачу. Формально математическая
постановка выглядит следующим образом:
;
(допустимое мно-
;
.
задает экстремаль-
Задача оптимизации заключается в следующем: требуется
найти
ное (минимальное или максимальное) значение целевой функ-
ции
ся одно из условий:
6
.
(если он существует), доставляющее экстремаль-
на множестве X, а именно для
должно выполнять-
1.1. Экстремальные задачи. Определения
f xfx() ()
0
Ј
xXО
f xfx() ()
0
і
xXО
X
k
xX
k
О
lim( )inf ()
k
xX
fx fx
®Ґ О
=
lim( )sup ()
k
xX
fx fx
О
=
xX
0
О
f x()
xX
0
О
f x()
k
f x()
f x()
n
f x()
n
f x()
f x()
f x()
f xM()Ј
xX
=Оinf()
f x()
либо
либо
Если такого элемента на множестве
для всех
для всех
, (1.1)
. (1.2)
не существует, то тре-
буется построить последовательность
,
…,
, (1.3)
такую, что выполняется одно из соотношений
®Ґ
k
k
, (1.4)
. (1.5)
Ниже приведем несколько определений различных объектов.
Определение 1.1. Точка
, удовлетворяющая усло-
вию (1.1), называется точкой глобального минимума функции
на множестве X, следовательно,
, удовлетворяющая
условию (1.2), — точкой глобального максимума функции
на
.
Последовательность
ству (1.4), — минимизирующая для функции
стве
, следовательно, последовательность k, удовлетворя-
ющая (1.5), — максимизирующая для
Если
экстремума
тремум
, то задача оптимизации — задача безусловного
. Если
.
Определение 1.2. Функция
снизу на множестве
полняется
Для функции
, если существует такое число
для
, ограниченной сверху на множестве
существует такое число
Определение 1.3. Число
(1.3), удовлетворяющая равен-
на множе-
на множестве
, то имеем задачу на условный экс-
называется ограниченной
, что вы-
.
, что выполняется
0
называется нижней гра-
для
.
,
.
нью функции
на множестве X:
7
1. Постановка оптимизационной задачи
0
Ј ()
ee
e:( )
0
f x()
xX
==-Ґ
О
inf()
xX
=Оsup()
f x()
X
f xM()Ј
0
ee
e:( )
0
f x()
xX
==+Ґ
О
sup()
1
X =+Ґ[, )1
f x()
xX
0==
О
inf()
f x()
f x()
X
xX
0
О
f x()
xx>
0
xXО
fx
()
0
11
x
0
f x()
f x()
1) если
2) для
Если
не ограничена снизу на множестве X, то полагают
Число
0
на множестве
1) если
2) для
Если
не ограничена сверху на множестве X, то
для
0
;
.
.
называется верхней гранью функции
:
для
0
;
.
.
Рассмотрим примеры целевых функций.
Пример 1.1
Рассмотрим целевую функцию
что множество точек минимума функции
пусто и
стве
существует и равен 1.
0
, а максимум функции
f xx()=
,
на множестве
Решение
Предположим, что множество точек минимума функции
на множестве
ка минимума
не пусто, то есть существует хотя бы одна точ-
функции
. Возьмем произвольное чис-
. Показать,
на множе-
ло
ся точкой минимума
противоречие и доказывает, что множество точек минимума
функции
8
. Тогда
f x
()
и
0
на множестве X пусто.
=>=
xx
, то есть
на множестве
не являет-
. Полученное
1.1. Экстремальные задачи. Определения
xX
0==
О
inf()
xXО=+Ґ[, )1
=>10
x
e
ж
и
ц
ш
ч
x,
1
xX
e
О
f x()eee<=+0
0
0=
1
xX
11== ==
О
sup()max () ()
f xe
x
()=
-
f x()
xX
0==
О
inf()
xX
=Оsup()
f x()
X
xX
0
О
f x()
xx>
0
xXО
ef
xx
()
0
=>=
--
x
0
f x()
f x()
xX
0==
О
inf()
xXО
x
=>-0
x
1
xX
e
О
f x()eee<=+0
0
0=
xe
x
=
-
xX
1==
О
sup()
xX
fx fx f
О
===01
Покажем, что
го
0
справедливо равенство
. Возьмем произвольное
и
Для
f xx()=
. Поэтому
имеем
0
. Очевидно, для произвольно-
f xx()
>
ma
e
з
. Далее пусть
1
. Тогда
.
xX
О
.
Пример 1.2
Пусть целевая функция
жество точек минимума функции
0
, найти
0
,
.
. Показать, что мно-
на множестве X пусто и
Решение
Предположим, что множество точек минимума функции
на множестве
ка минимума
ло
. Тогда
ляется точкой минимума
не пусто, то есть существует хотя бы одна точ-
функции
f xe
()
и
. Возьмем произвольное чис-
0
x
, то есть
не яв-
на множестве X. Полученное
противоречие и доказывает, что множество точек минимума
функции
Покажем, что
на множестве X пусто.
0
. Очевидно, для произвольно-
го
справедливо равенство
Возьмем произвольное
Поэтому
Для
f
()
xX
О
.
имеем
e
> ln
.
f xe
()
. Тогда
e
0
. Далее пусть
и
, кроме того,
.
.
9
1. Постановка оптимизационной задачи
f xx() ln=
X = (,]01
xX
=Оinf()
f x()
xX
==-Ґ
О
inf()
xX
xX
fx fx
О
О
=- -() max( ())
f x()
X
f xx() sin=
2
p
XR=
X =-[,]12
p
2
X =[,]01
,,
,,
>
м
о
п
11
XR=
f x()
xX
=Оinf()
+11
f xxxx()=-++2912 5
32
X =-Ґ(,)5
f xx x() sin=
f xx() arctg=
X =-Ґ-(,]1
f xx() tg=
X =-[,]22
Пример 1.3
Пусть функция
,
. Найти
Решение
Функция
не ограничена снизу на множестве
му по определению нижней грани полагаем
0
.
, поэто-
0
.
С учетом равенства
задача максими-
зации может быть сведена к задаче минимизации.
Контрольные задания
1. Найти множество точек минимума функции
жестве
а)
f xxx()=-
б)
f x() cos=
в)
f x
г)
()
:
xx
п
=
н
,
2
,
,
;
;
;
1
x
Ј
.
2. Показать, что множество точек минимума функции
на множестве
f xx()=
а)
б)
пусто и найти
,
2
;
0
,
;
:
на мно-
в)
г)
д)
10
,
,
,
;
;
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]