Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
6.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
X №Ж
f x()
11 22
+== const
12
f x()
f x()
Х
3) неограниченное многоугольное множество.
Х
Для решения задачи (6.8)–(6.10) в случае
семейство линий уровня функции
из (6.8):
, (6.11)
рассмотрим
которые являются параллельными прямыми. Антиградиент
перпендикулярен прямым (6.11) и указы-
вает направление убывания функции
. Если перемещать
параллельно самой себе произвольную прямую (6.11), проходящую через допустимое множество
вания функции
до тех пор, пока эта прямая будет иметь
, в направлении
убы-
121
6. Линейное программирование
X
f x()
f xxx() min=- -®32
12
xx
12
27
28
+Ј
+Ј
,
,
xx
12
00іі,
12
12
xxC
f x()
хотя бы одну общую точку с множеством
, то в своем крайнем
положении указанная прямая пройдет через точку множества
, в которой целевая функция
принимает минимальное
значение.
Пример 6.3
Используя графический метод, найти решение задачи ли-
нейного программирования
xx
12
3
Ј
,
x
2
,
.
Решение
Изобразим на плоскости
допустимое множество
данной задачи (многоугольник ABCDE) и одну из линий уровня
целевой функции.
Антиградиент
вания функции
122
указывает направление убы-
.
6.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
12
xxC
f x()
f
*
x*(, )= 32
f fx f
**
() (, )== =-32 13
f xxx() min=- -®
12
2
xx
12
27
28
+Ј
+Ј
,
,
xx
12
00іі,
12
12
2
Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления
нии прямая
, находим ее крайнее положение. В этом положе-
проходит через вершину
гоугольника ABCDE. Поэтому целевая функция
принимает минимальное значение
в точке
, причем
мно-
.
Пример 6.4
Используя графический метод, найти решение задачи ли-
нейного программирования
xx
12
3
Ј
x
2
,
,
.
Решение
Изобразим на плоскости
допустимое множество
данной задачи (многоугольник ABCDE) и одну из линий уровня
целевой функции.
123
6. Линейное программирование
f x()
12
2
f x()
f x()
x*(, )( )( ,)(,)=+-=-+ll ll13 132322
f x()
f
*
x
*
f fx
**
()==-7
f xxx() min=- -®
12
2
xx
12
1
21
20
+і
-Ј
,
,
xx
12
00іі,
12
12
2
Антиградиент
вания функции
.
указывает направление убы-
Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления
нии прямая
ABCDE. Таким образом, все точки отрезка
ками минимума функции
C и D этого отрезка имеют координаты
ственно, то любая точка минимума
Целевая функция
в точках
, находим ее крайнее положение. В этом положе-
содержит сторону CD многоугольника
являются точ-
на множестве X. Так как концы
и
соответ-
представима в виде
, где
.
принимает минимальное значение
, причем
.
Пример 6.5
Решить графическим методом задачу линейного программирования
,
Решение
Изобразим на плоскости
данной задачи (неограниченное многоугольное множество)
и одну из линий уровня
124
12
xx
-і-
12
xx
,
.
допустимое множество
целевой функции.
6.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
f x()
12
2
f x()
Ab
x
j
j m=12,,...,
0
Антиградиент
вания функции
.
При параллельном переносе линии уровня
направления
функция
она всегда пересекает множество
неограниченно убывает. Поэтому данная задача
указывает направление убы-
вдоль
, а целевая
линейного программирования решений не имеет.
Пусть ранг
матрицы системы ограничений (6.4) (то есть
матрицы A из (6.6)) равен рангу расширенной матрицы
этой системы. Иначе система (6.4) несовместна и задача линейного программирования (6.3)–(6.5) не имеет решения, так как
ее допустимое множество
Выберем произвольный базисный минор матрицы
пусто.
. Без
ограничения общности будем считать, что этот минор порядка
соответствует первым
Если
, то уравнения (6.4) с номерами
столбцам и строкам матрицы
являют-
ся следствиями остальных уравнений и их следует опустить.
Поэтому считаем, что
Допустим, что
.
. Тогда, считая переменные
, базисными, а остальные — свободными, решим
125
.
,
6. Линейное программирование
f xx xxxx x() min=+ ++++ ®
123456
953414
xx
456
20
+=
,
,
xjі 0
j =12 6,,...,
A
ж
и
ц
ш
ч
ч
ч
ч
100100
10
01
111
систему (6.4), то есть выразим базисные переменные через свободные, после чего исключим базисные переменные из условия задачи (6.3)–(6.5). В результате получим задачу линейного
программирования (6.8)–(6.10), эквивалентную исходной задаче и содержащую только свободные переменные исходной
задачи, а их число не превосходит двух. Для решения полученной задачи можно использовать графический метод.
Пример 6.6
Используя графический метод, найти решение задачи ли-
нейного программирования
xx
xx
xxx
Решение
Матрица
Ее ранг
ограничений-равенств имеет вид
з
0100
з
A =
з
0010
з
000
, причем за базисный минор примем минор,
образованный первыми четырьмя столбцами. Число свободных переменных
поэтому для решения задачи можно использовать графический
метод.
126
14
+=
25
+=
36
++=
,
50
30
,
,
,
60
.
,
6.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
x
j
j =1234,,,
xxx
xx
xx
xx
15
25
36
45
40
=- ++
,
x
j =1234,,,
f xxx()=-+7407 7
56
xjі 0
j =12 6,,...,
f xxx() min=-+®7407 7
56
xx
40
+і
,
,
x50і, x60і
56
f x()
56
xxC
f x()
56
xxC
Решая систему ограничений-равенств относительно базис-
ных переменных
Исключая переменные
,
, получим
50
=-
30
==--
60
j
,
,
,
6
(6.12)
x
.
6
, из выражения для це-
левой функции, имеем
Учитывая условия неотрицательности
и равенства (6.12) и (6.13), получим следующую задачу линейного программирования:
Изобразим на плоскости
данной задачи (многоугольник ABCDE).
Антиградиент
убывания функции
Совершая параллельный перенос линии уровня
функции
жение. В этом положении прямая
вершину
. (6.13)
,
,
,
56
x
50
Ј
,
5
x
30
Ј
,
6
xx
56
60
+Ј
.
допустимое множество
указывает направление
.
вдоль направления
, находим ее крайнее поло-
проходит через
многоугольника ABCDE.
127
6. Линейное программирование
x550=, x60=
x*(,,,,,)= 10 03010500
f x()
f
*
x*(,,,,,)= 10 03010500
f fx f
**
() (,,,,,)== =-10 03010500 390
-- ®
23
xx
min,
-- ®
xx
12
2
min,
0
ное значение
Подставив значения
в равенства (6.12), находим
.
Следовательно, целевая функция
в точке
принимает минималь-
, причем
.
Контрольные задания
1. Решить графическим методом задачи линейного программирования:
12
-і
2312
xx
12
+і
xx
а)
12
+Ј
36 24
xx
12
xx
,;
12
12
-+ і-
xx
12
б)
-Ј
xx
21
12
xx
,;
і
і
,
2
,
,
0
1
,
,
0
128
-+ ®
xx
12
12
min,
,;
-+ +®
xxx
min,
-- ®
xx
12
min,
,;
xxx
123
3
+-®
min,
23
12
xx
+®
max,
xx
2
+®
max,
,;
Ј+Ј
xx
в)
г)
д)
е)
12
122
Ј- Ј
xx
12
xx
12
123
++Ј
xxx
123
-+Ј
xxx
123
xxx
,, ;
123
12
+Ј
xx
12
-і
xx
12
xx
123
xxx
-+Ј
123
xxx
++Ј
123
xxx
,, ;
6.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
,
,
0
і
4
,
2
,
і
0
1
,
2
,
і
0
1
,
4
,
0
і
2312
xx
ж)
36 24
xx
-+ і-
з)
xx
xx
12
xx
-і
12
2
+і
12
xx
+Ј
12
0
і
,;
12
xx
12
21
-Ј
12
0
і
12
,
,
,
1
,
,
129
6. Линейное программирование
xx
12
12
-®
max,
,;
xxx
--®
max,
-+®
2
xx
min,
,
43
42
21
xxxx
--+®
min,
12
xx
Ј+Ј
и)
к)
12
122
xx
Ј- Ј
xx
12
123
xxx
++Ј
123
xxx
-+Ј
123
xxx
,, .
123
і
,
,
0
4
,
2
,
0
і
2. Решить задачи линейного программирования в каноническом виде графическим методом:
12
--+=-
24 3
xxxx
1234
--++=
43 6
xxxxx
а)
12345
+++
4
xxx
123
xj
01 5
і=
,,..., ;
j
xx
5
,
15
=
,
1245
313
xxx
-+ +=
124
xxx
++=
125
б)
xxx
-++=
123
30
-+=
xxxx
126
01 6
і=
,,..., .
xj
j
130
,
6
,
,
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]