Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
6.1. Постановка задачи линейного программирования
x
ni+
і 0
ax axxb
... ,
++ +=
11
xb
mm
..
f xcxcxcx
nn
() ... min=+ ++ ®
11 22
ax ax ax b
11
22
+++=
+=
... ,
mm mn n11 22
+=mm,
xx x
n12
00 0іі і,,...,
f xcx() (, )min=®
Axb=
x і 0
xxxx
n
= (, , ..., )
12
n
= (, , ..., )
12
Определение 6.1. Если в условии задачи линейного программирования не содержатся ограничения-неравенства (6.2),
то есть в (6.1)
, то она называется задачей линейного програм-
мирования в каноническом виде.
Вводя дополнительные переменные
,
ограничения-неравенства (6.2) можно записать в виде равенств
llnn nl l() ()
++++ +
11 11
......................
++++=
mm mn nn
11 22
.............................
...ax ax ax
+
Таким образом, любая задача линейного программирования
может быть записана в каноническом виде
,
при ограничениях
11 1122
ax ax ax b
21 1222
...........................................
Задачу линейного программирования (6.3)–(6.5) можно записать в векторной форме
где
— вектор неизвестных,
вектор коэффициентов целевой функции из (6.3),
++
++
... ,
...ax ax ax b
, (6.6)
,
(6.3)
nn
nn
(6.4)
. (6.5)
,
—
111
6. Линейное программирование
A
aa
aa
mmn
ж
и
ц
ш
ч
ч
ч
1
m
= (, , ..., )
12
f xcx() (, )max=®
X
f xcx() (, )=
f x()
x
1
x
2
x10і, x20і
12
xx+
11 1
з
=јјјј
з
з
системы (6.4),
n
— матрица коэффициентов при неизвестных
— вектор правых частей систе-
мы (6.4).
Задача
на множестве
может быть све-
на том же множе-
стве
левой функции
.
Градиент
— направление убывания функции
указывает направление возрастания це-
. Тогда вектор антиградиент
.
Пример 6.1
Составить математическую модель следующей задачи об оп-
тимальном производстве деталей.
Для изготовления деталей двух видов требуется проделать
ряд операций на трех машинах. Время обработки одной детали первого типа на первой машине 11 минут, на второй — 7 минут, на третьей — 6 минут; время обработки одной детали второго типа соответственно 9, 12 и 16 минут на каждой из машин.
В течение месяца первая машина работает 9850 минут, вторая —
8150 минут, третья — 9600 минут. Одна деталь первого типа приносит доход 900 условных единиц, второго типа — 1000 условных единиц. Сколько нужно ежемесячно производить деталей
каждого типа, чтобы иметь максимальную общую прибыль?
Решение
Обозначим:
го и второго типа соответственно, очевидно,
,
— количество произведенных деталей перво-
. Тогда
время обработки деталей первого и второго типа на первой машине составит
минут, причем время работы первой ма-
шины в течение месяца должно составлять 9850 минут, поэтому
112
6.1. Постановка задачи линейного программирования
12
xx+=
12
xx+
12
xx+=
12
xx+
12
xx+=
f
x
1
x
2
f fx xxx==+(, )
12 12
9001000
f xx xx(, )max
12 12
9001000=+ ®
11 99850
28
12
xx
+=
,
,
,
x10і, x20і
.
Время обработки деталей первого и второго типа на второй ма-
шине составит
минут, причем время работы второй ма-
шины в течение месяца должно составлять 8150 минут, поэтому
.
Время обработки деталей первого и второго типа на третьей ма-
шине составит
минут, причем время работы третьей ма-
шины в течение месяца должно составлять 9600 минут, поэтому
Обозначим через
прибыль от производства деталей двух
типов (общая прибыль), причем при изготовлении
.
,
еди-
ниц продукции имеем
.
Таким образом, математическое описание задачи об опти-
мальном производстве деталей принимает вид
при ограничениях
Пример 6.2
Составить математическое описание следующей задачи
об оптимальном производстве продукции и представить по-
12
71
xx
+=
12
616 9600
xx
+=
150
.
113
6. Линейное программирование
x
1
x
2
A
x10і, x20і
12
xx+
12
xx+Ј
12
xx+
12
xx+Ј
12
xx+
12
xx+Ј
лученную задачу линейного программирования в каноническом виде.
Для изготовления каждого из двух типов продукции A и
используются три вида сырья. Количество сырья первого вида,
необходимое для изготовления единицы продукции типа A 8 кг,
второго вида — 12 кг, третьего вида — 4 кг; количество сырья,
необходимое для изготовления единицы продукции типа
соответственно 8, 6 и 12 кг каждого из видов. Общее количество
сырья первого вида, которое может быть использовано, 2800 кг,
второго вида — 3600 кг, третьего вида — 3200 кг. Единица продукции типа A приносит доход 24000 рублей, типа
— 16000 рублей. Определить максимально возможную прибыль при существующих запасах сырья и используемой технологии
производства.
Решение
Обозначим:
типа
и
ход сырья первого вида составит
,
— количество произведенной продукции
соответственно, очевидно,
. Тогда рас-
килограммов, причем
расход сырья первого вида не может быть больше имеющихся
запасов сырья данного вида, поэтому
расход сырья второго вида не может быть больше имеющихся
запасов сырья данного вида, поэтому
причем расход сырья третьего вида не может быть больше имеющихся запасов сырья данного вида, поэтому
114
.
Расход сырья второго вида составит
.
Расход сырья третьего вида составит
.
(кг), причем
килограммов,
6.1. Постановка задачи линейного программирования
x
1
x
2
f fx xxx==+(, )
12 12
24000 16000
f xx xx(, )max
12 12
24000 16000=+®
xx
350
26
+Ј
,
,
x10і, x20і
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
3
x
4
x
5
f xx xx(, )max
12 12
24000 16000=+®
xxx
350
26
++=
,
,
x10і, x20і, x30і, x40і, x50і
Обозначим через f прибыль от производства продукции ука-
занных типов, причем при производстве
,
единиц продук-
ции имеем:
.
Таким образом, математическое описание задачи об опти-
мальном производстве продукции принимает вид
при ограничениях
12
xx
+Ј
12
xx
3 800
+Ј
12
00
(6.7)
,
.
Запишем эту задачу линейного программирования в кано-
ническом виде.
Ограничения (6.7) на переменные
,
содержат 3 неравен-
ства. Для преобразования их в ограничения-равенства введем
3 дополнительных неотрицательных переменных
бавив переменные
,
,
к левым частям соответствующих
,
,
. При-
неравенств (6.7), получим задачу линейного программирования в каноническом виде
при ограничениях
123
xxx
++=
124
xxx
3 800
++=
125
00
,
.
115
6. Линейное программирование
A
A
Контрольные задания
Составить математическое описание задач оптимизации 1–6.
1. Свиноферма имеет возможность закупать от одного до трех
различных видов зерна и готовит из него различные виды
комбикормов. Зерновые культуры содержат различное количество ингредиентов. При этом в расчет принимаются
,
,
,
ингредиенты
. Затраты на единицу веса зерна
равны 41, 35 и 96 рублям для зерна первого, второго и третьего видов соответственно. В единице веса каждого из видов зерна содержится: ингредиента
ингредиента
3 и 0 единиц; ингредиента
— 1, 1 и 0 единиц; ингредиента
— 0.6, 0.25 и 1 единица. На пла-
— 2, 3 и 7 единиц;
новый период для прокорма имеющегося поголовья свиней требуется, чтобы общее количество корма было
не меньше 2800 единиц веса и в нем содержалось по весу
не менее 1250, 250, 900 и 265 единиц веса ингредиентов A,
,
,
соответственно. Определить состав комбикорма,
при котором его стоимость будет минимальна.
2. В цехе два токарных станка и один автомат. Требуется
организовать производство деталей в комплектах. Один
комплект состоит из одной детали первого типа, трех деталей второго типа и двух деталей третьего типа. Дневная
производительность токарного станка: 50 деталей первого типа, или 40 деталей второго типа, или 80 деталей третьего типа. Для автомата эти производительности равны
соответственно 120, 90 и 60. Составить программу работы оборудования в цехе, при которой будет производиться максимальное количество комплектов.
3. Завод выпускает радиоприемники трех различных моделей A,
и
. Каждое изделие приносит доход в размере
8, 15 и 25 условных единиц соответственно. Необходимо,
чтобы завод выпускал за неделю не менее 100 приемников модели A, 150 приемников модели
и 75 приемни-
— 5,
116
6.1. Постановка задачи линейного программирования
A
ков модели
. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления
соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. В расчете на 10 приемников модели
требуется 3 часа
на изготовление соответствующих деталей, 4 часа на сборку и 1 час на упаковку. Соответствующие показатели
в расчете на 10 приемников модели
сам; а на 10 приемников модели
равны 3.5, 5 и 1.5 ча-
равны 5, 8 и 3 часам.
В течение недели завод может потратить на производство
радиодеталей 150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку 60 часов. Решить задачу оптимального производственного планирования.
4. Имеется 69 труб для отопительной сети по 1070 см
каждая. Их необходимо разрезать на трубы по 130,
150 и 310 см. Найти такой вариант раскроя поступивших
труб, при котором отходы были бы минимальны.
5. Необходимо изготовить на двух станках 2000 деталей. Так
как второй станок производит более качественную продукцию, заказчик хотел бы иметь возможность использовать его, по крайней мере, в два раза чаще первого. Производительности станков равны: 1000 и 1500 деталей в сутки
соответственно. Затраты на производство одной детали
на первом станке 2 условные единицы, на втором — 5 условных единиц. Минимизировать суммарные расходы
на производство.
6. Формируются поезда двух видов, отличающиеся по количеству вагонов различных типов. Всего имеется 4 типа
вагонов: общие, плацкартные, купейные, спальные. Поезда первого вида содержат по 2 спальных вагона, по 4 купейных и по 6 плацкартных; поезда второго вида содержат по 3 купейных, 7 плацкартных и 4 общих вагона.
В распоряжении имеется 10 спальных вагонов вместимостью 18 человек, 40 купейных вместимостью 36 человек, 114 плацкартных вместимостью 52 человека и 32 об-
117
6. Линейное программирование
xxxx
1
2
23
26
++-®
max,
234
3454
36
12
xxxx
-++®
max,
34
xx xx
12
23
-- -®
min,
34
xxxx
6
+-+®
-і
min,
1234
xx xx
12
75
89
-- +®
max,
34
щих вместимостью 72 человека. Определить количество
поездов обоих видов, перевозящих максимальное число
пассажиров.
7. Записать задачи линейного программирования в каноническом виде:
1234
xxx
-+і
123
xxxx
-++Ј
а)
1234
xxx
-+і
134
x
, xxx
1234
xxxx
++-Ј
1234
б)
xx xx
++ +і
12 34
xx
,, xx
12 34
xxxx
-++=
1234
xx
-- Ј
в)
14
xx
+і
23
xx
,, xxx
,
5
,
,
0,, ;і
342
0,;і
1
,
5
,
10
,
0,; і
,
,
1234
xxxx
-+ ++і
1234
xx
27
--Ј
г)
д)
118
12
xxxx
236
++
1234
xxxx
+++=
1234
,,,;
xxxx
12 34
xx xx
-- +Ј
12 34
xxxx
26
+++і
1234
xx
,, xx
,
і
0
641
0,;і
10
,
,
55
,
2
,
,
xxxx
1346
23
26
33
+-+®
min,
123456
24
,;
xx x
123
3
21
++ ®
max,
34
xxxx
-++®
min,
+Ј
66
12345
,
xx
2
03
10
02
+®
-Ј
min,
,
xx
12
12
22
-®
max,
,
,
,.
xxxx
-+-і
1 256
xxxx
+++і
3456
е)
xxx
-+-
145
-++ =
xxxx
1356
,,,,
xxxxxx
12 3
xxx
++Ј
ж)
з)
123
xx
23
xxx
2345
23274
xx xx
1235
xxxx
+++і
1234
37
xx
12
45729
xxxx
1234
,,,, ;
xxxxx
0
-і
,, ;
,
0
і
+++і
21
-
xxx
+++
345
+++=
6.1. Постановка задачи линейного программирования
,
1
,
4
,
Ј
xx
6
7
,
0
і
,
,
,
,
і
0
12
xx
Ј+Ј
12
xx
-Ј
и)
01
ЈЈ
x
1
ЈЈ
x
12
xx
Ј+Ј
12
xx
Ј- Ј
к)
12 2
xx
Ј-Ј
xx
12
12
,
;
12
0
і
,
,
3
119
6. Линейное программирование
f xcxcx() min=+ ®
11 22
ax ax b
m
11
+Ј
+Ј
,
mm22
,
xx
12
00іі,
12
ii i11 22
+Ј
i
№ 0
xx
12
00іі,
6.2. Графический метод решения задачи
линейного программирования
Если задача линейного программирования содержит только две переменные и в ее условии нет ограничений-равенств
(6.1), то такую задачу можно исследовать и решить графически.
Рассматривается задача линейного программирования
(6.8)
при ограничениях
11 1122 1
На плоскости
ax ax b
21 1222 2
......................
+
ax
aax b
любое из неравенств (6.9) определяет
,
(6.9)
Ј
. (6.10)
полуплоскость, лежащую по одну из сторон от прямой
,
. Для того чтобы определить распо-
ложение этой полуплоскости относительно граничной прямой,
можно подставить координаты какой-либо точки (при
проще всего взято начало координат) в соответствующее неравенство (6.9) и проверить его выполнение.
Таким образом, допустимое множество
является пересечением первого квадранта
задачи (6.8)–(6.10)
и полу-
плоскостей, соответствующих неравенствам (6.9). Поэтому
множество
представляет собой либо:
1) пустое множество, тогда задача (6.8)–(6.10) не имеет решений из-за несовместимости ограничений (6.9), (6.10);
2) многоугольник;
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]