Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
е)
1
X = (,)01
1
X =+Ґ(, )1
xX
fx
О
xX xX
fx fx
ОО
=
f x()
n
f x()
f x()
k
XR
n
М
f x()
XX
*
М
XxXfxfx
**
:()()=О Ј
{}
xX
k
О
lim
k
x®Ґ=+Ґ
f xx()ln=
1.2. Разрешимость задачи оптимизации
,
;
f xx()ln=
ж)
3. Показать, что если
,
.
существует, то
.
1.2. Разрешимость задачи оптимизации
Из условий, гарантирующих существование точек глобального минимума или максимума функции
вытекают следующие теоремы.
Теорема 1.1 (Вейерштрасса). Если множество
сто и компактно (ограничено и замкнуто), а функция
непрерывна на нем, то множество точек глобального минимума (и множество точек глобального максимума) функции
на нем не пусто и компактно.
В условиях теоремы Вейерштрасса любая минимизирующая
последовательность
сходится к множеству точек глобаль-
ного минимума.
Теорема 1.2. Пусть множество
а функция
непрерывна на нем. Пусть выполняется хотя бы
одно из следующих условий:
1) существует такая точка
, что множество вида
на множестве
не пу-
непусто и замкнуто,
,
ограничено;
2) для любой последовательности k,
кой что
k
,
, та-
,
11
1. Постановка оптимизационной задачи
lim( )
k
fx®Ґ=+Ґ
f x()
X
f x()
f xX RR
n
(): Н®
xX
0
О
xx-<0d
f xfx() ()і-
0
e
f x()
xX
0
О
xx-<0d
f xfx() ()Ј+
0
e
f x()
xX
0
О
если такая последовательность найдется, справедливо равенство
k
.
Тогда множество точек глобального минимума функции
на множестве
непусто и компактно.
В теоремах 1.1 и 1.2 условие непрерывности целевой функ-
ции
лунепрерывной снизу (рис. 1.1) в точке
можно ослабить.
Определение 1.4. Функция
: для
, удовлетворяющих
называется по-
, если для
.
y
Функция
x
0
Рис. 1.1. Полунепрерывная снизу функция
0
полунепрерывна сверху (рис. 1.2) в точке
x
, если для
: для
, удовлетворяющих
Функция
да, когда она в этой точке полунепрерывна и снизу, и сверху.
12
непрерывна в точке
.
тогда и только тог-
1.2. Разрешимость задачи оптимизации
f x()
f x()
gx()
f xgx() ()+
f x()
X ,
XxXfxc
c
=О Ј{:() }
x
0
x
0
k
f XR
k
: ®
f xfx
kk+
іЈ
1
() () ()
lim()()
k
fx fx
®Ґ
=
f
f xR R
n
(): ®
XR
n
М
y
0
x
0
Рис. 1.2. Полунепрерывная сверху функция
x
Перечислим свойства полунепрерывных функций:
1. Если
— полунепрерывная сверху функция, то
является полунепрерывной снизу.
2. Пусть
функции, тогда их сумма
и
— две полунепрерывные снизу (сверху)
также полунепрерывна сни-
зу (сверху).
3. Если
том множестве
— полунепрерывная снизу функция на замкну-
то для любой
множество
замкнуто (если оно не пусто).
4. Предел монотонно возрастающей (убывающей) последо-
вательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке
ций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в
функ-
. Более
точно пусть дана последовательность полунепрерывных снизу
(сверху) функций
для
,
,
, таких что
. Тогда если существует предел
то
полунепрерывна снизу (сверху).
Теорема 1.3 (обобщенная теорема Вейерштрасса). Полунепре-
рывная снизу (сверху) функция
ного минимума (максимума) на всяком компакте
k
для
,
достигает глобаль-
.
13
1. Постановка оптимизационной задачи
f xR R
n
(): ®
n
ОЈ
n
Оі
f x()
xX
*
О
f xxfx()()
**
+>D
f xxfx()()
**
+<D
xx
*
+D
x
*
1
x
2
x
3
x
1
x
ў
2
x
ў
3
x
ў
y
f x()
f x()
f x()
Теорема 1.4. Полунепрерывная снизу (сверху) функция
достигает глобального минимума (максимума)
на всем пространстве n, если найдется такое число
жество
(соответственно
, что мно-
) не пу-
сто и ограничено.
Определение 1.5. Функция
имеет в точке
локальный минимум (максимум) (рис. 1.3), если
(
точно малой окрестности точки
) для любых
(
и
) из доста-
.
f(x)
0
Рис. 1.3. Функция f (x) с локальными максимумами (x1, x2, x3)
и локальными минимумами (xў1, xў2, xў3)
x
Поскольку всякая точка глобального экстремума функ-
ции
на множестве X является локальным экстремумом
(рис. 1.4), то для нахождения глобального экстремума нужно
определить все точки локального экстремума функции
,
а затем выделить из их числа решение задачи оптимизации (если
среди них такое найдется).
y
0
A xC B
Рис. 1.4. Функция f (x) с точками локального экстремума А и В
и точкой глобального экстремума С
14
Контрольные задания
f x()
gx()
XR
n
Н
X
f xfxgx
*
() min{ (),()}=
f xfxgx
*
() max{ (),()}=
fx()
f x()
XR=
ex
,,
-№
м
о
п
1.2. Разрешимость задачи оптимизации
1. Пусть
на множестве
зу на множестве
а)
б)
в)
г)
и
— две полунепрерывные снизу функции
. Будут ли полунепрерывными сни-
следующие функции:
,
—
;
;
?
2. При каких значениях параметра
жестве
имеет вид
55 0
()
п
=
f x
()
н
cx
,.
=
;
функция
x
-
-
1
на мно-
0
15
f x()
Xab=[, ]
f xxX()®Оextr
xX
0
О
f x()
xab
0
О(,)
x
0
f x()
ў
=f x()
0
0
ў
== №f xc()
0
0const
f x()
x
0
+-
fx xfx
x
()()
00
D
D
2. Оптимизация функции одной переменной
данном разделе рассматривается задача оптимизации
целевой функции
В
:
Теорема Вейерштрасса, ее следствия и обобщения (теоремы
1.1–1.4) для непрерывных (или полунепрерывных) целевых
функций определяют условия разрешимости задачи оптимизации. При выполнении этих условий требуется найти решение
задачи (2.1).
на допустимом множестве
. (2.1)
,
2.1. Необходимые и достаточные условия
локального экстремума
Теорема 2.1 (Ферма). Пусть функция
рывна на отрезке
— точка локального экстремума
Доказательство (от противного)
Пусть
. По определению производной функции
имеем
16
, дифференцируема в точке
. Для определенности считаем, что
ў
f x
()lim
=
0
0
®
x
D
определена и непре-
, то
.
в точке
.
. Если
2.1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
ў
Ч+ Ч()() () ()
000
a
ў
Ч=Чf xxcx()
0
DD
000
=О -<<+dd
0
0
00
0
xx<
0
f xfx() ()<
0
0
0
00
0
xx>
0
f xfx() ()>
0
x
0
f x()
ў
==f xc()
0
0
f xx()=
3
x
y
f xx()=
3
ў
=f ()00
x00=
Тогда приращение функции
где величина
Знак
определяется знаком слагаемого
в некоторой
— при
то есть при
— при
то есть при
Таким образом,
ма функции
вательно,
при
.
-окрестности
;
.
не является точкой локального экстрему-
, что противоречит условию теоремы. Следо-
.
,
:
Замечание к теореме Ферма. Теорема Ферма дает необходимое, но недостаточное условие локального экстремума во внутренней точке
для дифференцируемой функции.
Пример 2.1
Пусть дана функция
(рис. 2.1).
,
,
Рис. 2.1. График функции f (x) = x
Данный пример иллюстрирует необходимый, но недостаточный характер условия.
ется экстремумом.
0
3
,
, но
не явля-
17
2. Оптимизация функции одной переменной
x
y
f x()
ў
=f x()
0
0
f x()
x
y
Локальный
Локальный
f x()
f x()
ў
><f x() ()00
xC<
ў
<>f x() ()00
xC>
Геометрический смысл необходимого условия экстремума
Если в точке локального экстремума существует касатель-
ная к графику функции, то она параллельна оси
0
Рис. 2.2. Касательная к графику функции
(рис. 2.2).
Следствие 2.1. Если
может иметь экстремумы только в тех точках, где
Следствие 2.2.
дифференцируема на
, то она
.
может иметь экстремум в точках, где про-
изводная не существует.
0
максимум
минимум
Рассмотрим достаточные условия локального экстремума.
Теорема 2.2 (для дифференцируемой функции). Если точка
,
является точкой возможного экстремума
цируема всюду в некоторой окрестности точки
1) то при условии, что
,
для
является точкой локального максимума (ми-
для
дифферен-
:
и
нимума);
18
2.1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
ў
f x()
ў
>f x() 0
xC<
ў
<f x() 0
xC>
xC
0
< f CfxfCx() () ()()-=ў-
00
x
0
ў
>f ()x 0
0
0
f Cfx() ()>
0
0
xC
0
> f xfCf xC() () ()()
00
-=ў-x
ў
<f ()x 0
0
0->
f Cfx() ()>
0
0
ў
>f x() 0
xC
0
< f CfxfCx() () ()()-=ў-
00
x
f Cfx() ()>
0
xC
0
>
f xfCf xC() () ()()
00
-=ў-x
f xfC() ()
0
>
f x()
f x()
2) то, если
, экстремума в точке
Доказательство
1. Пусть
При
,
При
,
Следовательно,
2. Пусть
При
При
имеет один и тот же знак слева и справа от
нет.
,
;
,
, где
.
для
.
.
.
для
.
— точка максимума.
из окрестности
.
,
.
,
Таким образом,
бовалось доказать.
Теорема 2.3 (для функции, недифференцируемой в точке воз‑
можного экстремума). Если точка
го экстремума
ности точки
, за исключением самой точки
в этой точке:
.
не является точкой экстремума, что и тре-
является точкой возможно-
,
дифференцируема в некоторой окрест-
, и непрерывна
19
2. Оптимизация функции одной переменной
ў
><f x() ()00
xC<
ў
<>f x() ()00
xC>
ў
f x()
f xx()=
x
y
x = 0
f x()
ў
<
()
<f x 00
ў
>
()
>f x 00
x = 0
f x()
ў
=f x() 0
ў
f x()
n
<<<< <
12
...
ў
f x()
1, 12
n
f x()
1
f x()
2
f xn()
1) то при условии, что
для
,
является точкой локального максимума (ми-
для
нимума);
2) то если
экстремума в точке
имеет один и тот же знак слева и справа от
нет.
Пример 2.2
Пусть дана целевая функция
0
Рис. 2.3. График функции f (x) = |x|
В точке
не дифференцируема, но непрерывна.
,
. Тогда
— точка локального ми-
нимума.
Общая схема отыскания экстремума
и
(рис. 2.3).
,
Пусть
ема на этом интервале за исключением конечного числа точек.
1. Ищем точки возможного экстремума (критические):
Располагаем их в порядке возрастания:
2. Определяем знак
3. Вычисляем (в случае необходимости)
4. Определяем тип экстремума по теореме 2.2 или теоре-
20
непрерывна на интервале
— точки, в которых
;
— точки, в которых не существует
в областях
ме 2.3.
и дифференциру-
.
, …,
,
, …,
.
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]