Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
2.3. Выпуклые функции
f x()
xab*[, ]О
f xfxfxxx() () ()()
***
і+ў-
xabО[, ]
f x()
ў
f x()
f x()
ўў
іf x() 0
f x()
f xR R(): ®
ў
<f a() 0
ў
>f b() 0
f x()
Теорема 2.7. График выпуклой дифференцируемой на
функции
чем для любой точки
лежит не ниже любой касательной к нему, при-
выполняется условие
,
.
Теорема 2.8. Для того чтобы дифференцируемая функция
на
ее производная
была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы
не убывала на
.
Теорема 2.9. Для того чтобы дважды дифференцируемая
функция
но, чтобы
на
была выпуклой, необходимо и достаточ-
на
.
Контрольные задания
1. Доказать, что выпуклая на
функция
, отличная
от постоянной, не может достигать своей верхней границы внутри отрезка
2. Пусть выпуклая функция
в точках
и
,
надлежит множеству
,
.
3. Пусть выпуклая на
.
дифференцируема
. Доказать, что точка минимума при-
тогда и только тогда, когда
функция
имеет обратную
функцию. Является ли обратная функция также выпуклой? Привести иллюстрирующие примеры.
31
f x()
XRМ
Xab= [, ]
f xxX()®Оextr
f x()
ў
=f x() 0
ў
f x()
f x()
3. Численные методы минимизации
функции одной переменной
ассматривается задача оптимизации целевой функции
на допустимом множестве
,
:
Р
Аналитические методы исследования функции на экстре-
мум можно использовать в тех случаях, когда функция
производные имеют достаточно простой вид. Однако зачастую
в практических задачах решение уравнения
.
и ее
и даже просто вычисление производной
большие трудности. Кроме того, в практических задачах часто
неизвестно, является ли
Поэтому существенное значение приобретают численные ме-
тоды минимизации, не требующие вычисления производной
и основанные на исследовании поведения функции в некоторых специально подбираемых точках в соответствии с определенным алгоритмом. Такие методы называются прямыми мето-
дами минимизации. При этом задача максимизации может быть
сведена к задаче минимизации.
32
дифференцируемой функцией.
представляет
3.1. Унимодальные функции
f x()
x
*
f x()
f xfx() ()
12
>
12*
f xfx() ()
12
<
*12
f xfx() ()
12
Ј
12
xx
*<2
f xfx() ()
12
і
12
xx
*>1
f x()
Дадим определение унимодальной функции.
Определение 3.1. Функция
на отрезке
мума
и слева от этой точки функция
, если существует единственная точка ее мини-
вающей, а справа — строго возрастающей:
называется унимодальной
3.1. Унимодальные функции
является строго убы-
для
для
,
.
На рис. 3.1 приведены некоторые примеры графиков унимодальных функций.
а
а
Рис. 3.1. Примеры графиков унимодальной функции
b bx* a = x*
b = x*
Приведем свойство унимодальной функции:
— если
при
;
обычно используют следующие критерии.
— если
при
Для проверки унимодальности функции
.
на практике
33
3. Численные методы минимизации функции одной переменной
f x()
ў
f x()
f x()
f x()
ўў
іf x() 0
xabО[, ]
f x()
f xx xx()=- ++
32
12 87 25
f x()
ўў
=-f xx() 624
x = 4
ўў
іf x() 0
x і 4
x О[, ]47
f x()
f xx()=+43
f x()
ў
=f xx() 4
3
ў
f x()
xRО
x О-[,]11
f x()
Теорема 3.1. Если функция
ке
унимодальная на
и производная
.
Теорема 3.2. Если функция
на отрезке
на
.
и
не убывает на этом отрезке, то
при
дифференцируема на отрез-
дважды дифференцируема
, то
унимодальная
Пример 3.1
Показать, что функция
ная на отрезке
.
унимодаль-
Решение
Вторая производная функции
Корень уравнения
Следовательно,
таков:
, если в целом
имеет вид
.
и в частности
. Используя критерий унимодальности (см. теорему 3.2),
получаем, что
унимодальна на отрезке
.
Пример 3.2
Показать, что функция
ке
.
унимодальная на отрез-
Решение
Производная функции
не убывает, если в целом
имеет вид
и в частности
. Функция
. Ис-
пользуя критерий унимодальности (см. теорему 3.1), получаем,
что
унимодальна на отрезке
.
.
34
Контрольные задания
f x()
f xx xx x() ln=-+23
f xxx() ln()sin=+-1
2
й
л
щ
ы
ъ
4
p
xx
-+
1
4
812
=-
1
2
f x()
f x()
f x()
f xxx()=- +-
2
56
f xaxx()=--
32
310
f xxx() ()=--11
f x()
x
*
f x()
3.2. Метод перебора
1. Показать, что следующие функции
на отрезке
а)
б)
f xx
()=+
в)
f xx x() sin
г)
:
42
2
,
ab=
,
;
0
к
,
,
.
унимодальны
;
;
2. Показать, что любая из точек локального минимума функции
, унимодальной на отрезке
, является и точ-
кой ее глобального минимума.
3. Показать, что если функция
и
, то
унимодальна на отрезке
4. Найти максимальное значение
унимодальна на отрезке
5. Будет ли функция
резке
при
?
6. На какие три части следует разбить отрезок
на каждой из них функция
унимодальна на отрезке
.
, при котором функция
.
унимодальной на от-
, чтобы
была унимо-
дальной?
3.2. Метод перебора
Метод перебора является простейшим из прямых методов
минимизации.
Пусть функция
ся найти какую-либо из точек минимума
резке
унимодальна на отрезке
с абсолютной погрешностью
функции
.
и требует-
на от-
35
3. Численные методы минимизации функции одной переменной
n
=<<<<=
012
...
xa
ba
n
-
ba
e
f x()
x
m
f xfx
in
() min()
,, ,...
=
=012
x
*
x
m
f
*
f xm()
n
x
*
ba
n
-
f x()
f x()
xx
m
-Ј*e
Схема метода
Отрезок
точками деления
Вычисляются значения функции
сравнения определяется точка
разбивается на
i
=+
i
,
равных частей:
,
, где
і
.
в этих точках, путем
, для которой выполняется ус-
ловие
m
В качестве приближения точки минимума
ка
, а в качестве приближения минимального значения функ-
ции
— величина
. При этом максимальная погрешность
определения точки минимума
=
n
.
i
имеет вид
.
выбирается точ-
Достоинство метода перебора — простота реализации на ком-
пьютере алгоритма поиска глобального минимума функции
на отрезке
.
Недостатки метода перебора:
1. Для того чтобы точность определения точки минимума
функции
на отрезке
была приемлемая:
необходимо большое число разбиений
приводит к увеличению объема вычислений.
2. Увеличение объема вычислений приводит к увеличению
суммарной ошибки — общей погрешности. Следовательно, необходимо с большей точностью производить вычисления.
36
,
отрезка
, что
3.2. Метод перебора
f x()
x
i
f xi()
f
*
x
*
f xx xx x()=+ --
432
8672
x
*
f x()
2
xx+-=
x125=- +
x
2
25=- -
ўў
іf x() 0
x і- +25
x О[.,]15 2
f x()
f xx xx x()=+ --
432
8672
ba
-
-
e
215
005
10
.
.
f x()
x
i
ba
n
-
5..
3. Требуется вычислить значения функции
биения
отрезка
, сравнить их с вычисленными ра-
в точках раз-
нее значениями, выбрать наименьшее значение, при этом
вычисление значений функции
может быть трудо-
емко и приближенно (остаточная погрешность).
Пример 3.3
Найти минимальное значение
ции
с погрешностью
.
на отрезке
и точку минимума
. Точку
Решение
Сначала проверим, является ли функция f (x) = x
– 6x2 – 72x унимодальной на отрезке
Вторая производная функции
. Корни уравнения
Следовательно,
сти
. Используя критерий унимодальности (см. теоре-
му 3.2), получаем, что
и
, если в целом
унимодальна на отрезке
.
имеет вид f (x) = 12x2 +
таковы:
.
4
+ 8x3 –
и в частно-
Далее применим метод перебора для нахождения минимума функции
рем число частей разбиения отрезка
на отрезке
:
. Выбе-
функ найти
.
Вычислим значения функции
xai
=+
i
i
=+15 00
=
=
,
=
.
в точках деления
:
, поместив их в таблицу:
37
3. Численные методы минимизации функции одной переменной
x*.»175
f
*
.»-92 12
f
*
x
*
f xx xx()=- -+
32
12 7 250
x
*
f xx xx()=- -+
32
12 7 250
f x()
ў
=--f xx x() 3247
2
ў
f x()
x і 4
x О[, .]775
f x()
f xx xx()=- -+
32
12 7 250
ba
-
-
e
75 7
005
10
.
.
Из таблицы определяем
x
i
1.5 –89.4
1.55 –90.20
1.60 –91.20
1.65 –91.80
1.70 –92.08
1.75 –92.12
1.80 –91.90
1.85 –91.40
1.90 –90.50
1.95 –89.40
2.00 –88.00
,
f (xi)
.
Пример 3.4
Найти минимальное значение
ции
с погрешностью
.
на отрезке
и точку минимума
. Точку
Решение
Проверим является ли функция
унимодальной на отрезке
Производная функции
Функция
не убывает, если в целом
.
имеет вид
и в частности
. Используя критерий унимодальности (см. теоре-
му 3.1), получаем, что
унимодальна на отрезке
Далее применим метод перебора для нахождения минимума функции
Выберем число частей разбиения отрезка
на отрезке
:
.
функ найти
.
.
38
=
=
=
.
3.2. Метод перебора
f x()
x
i
ba
n
-
x*.» 75
f
*
.»-55 62
x
*
f x()
f
*
f xx xx x() ln=-+23
f xxx() ln()sin=+-1
2
й
л
щ
ы
ъ
4
p
xx
-+
1
4
812
=-
1
2
f xx xe
x
()=-+
-2
2
f xx x() tg sin=-2
й
л
щ
ы
ъ
4
p
Вычислим значения функции
xai
=+
i
i
=+7005.
,
x
i
7.00 –44.00
7.05 –45.37
7.10 –46.71
7.15 –47.99
7.20 –49.23
7.25 –50.42
7.30 –51.56
7.35 –52.65
7.40 –53.70
7.45 –54.69
7.50 –55.62
Из таблицы определяем
,
в точках деления
, поместив их в таблицу:
f (xi)
Контрольные задания
1. Методом перебора найти точку минимума
на отрезке
а)
с точностью
,
и минимальное значение
,
:
.
функции
:
;
б)
f xx
()=+
в)
f xx x() sin
г)
д)
е)
42
2
,
,
,
ab=
ab=
,
,
0
,
к
,
,
;
,
0
,
к
;
;
;
;
39
3. Численные методы минимизации функции одной переменной
xx
22
xxx
+-
1
7
1
2
1
3
f xxxx()=--58 20
5
f x()
ў
Јfx M()
xabО[, ]
f
*
nn
x
*
f x()
x
*
00
Н
f x()
nn
nn--11
f x()
x
f
()=+-
ж)
f xx
()=-
з)
1
73 2
-
e
,
,
,
;
,
;
f xxxx x() ln=-+
и)
к)
2. Пусть
ке
погрешность n нахождения минимума
отрезка
3
5
2
4
,
,
,
,
;
.
— унимодальная дифференцируемая на отрез-
функция, причем
при
. Оценить
при разбиении
на
частей.
3.3. Методы сокращения отрезка поиска
Рассмотрим группу численных методов, состоящих в постро-
ении последовательности отрезков
ке глобального минимума
ке
.
функции
Процедура, реализующая эти методы, заключается в следу-
ющем:
1. Поиск начального отрезка, содержащего точку
В результате выделяют начальный отрезок
на котором производится дальнейшая минимизация
функции
. Полагают
этапу.
2. Построение отрезка
.
Вычисляются определенным образом некоторые точки
на отрезке
ции
в этих точках выделяется отрезок
, и на основе анализа значений функ-
, стягивающихся к точ-
на исходном отрез-
.
и переходят к следующему
,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]