Методы оптимизации. Учебное пособие-3

4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

x

ж и

ц ш

121

f xx(, )

12

xx

12

1+=

f xx(, )

12

xx

21

1=-

f xx fx xxxx

(, )()()

2

21

1221

==+- =-+

f x()

1

df x

()

1

42=-

f x()

1

df x

()

1

420

1

2

x

1

2

dfx

2

1

40

()

*

=>

x

1

2

f xxx()

1121

221=-+

x

=-

ж и

ц ш

ч

1

f xfxx xx() (, )==+

12 122

2

xx

12

1+=

Точка

*

на прямой

,=

з

— точка условного минимума функции

ч

2

.

Рассмотрим аналитический способ решения. Благодаря уравнению связи исключим из функции

переменную

, что сведет задачу к исследованию функ-

ции одной переменной:

12

xx

=-

1

1121

1

.

1

1. Найдем производную функции одной переменной

1

dx

а также критические точки функции

1

Таким образом,

dx

=-=

*

=

— точка возможного экстремума

1

x

,

1

:

x

1

*

x

=

.

1

функции одной переменной.

2. Проверим достаточное условие экстремума функции од-

ной переменной:

Следовательно,

1

2

dx

*

=

— точка безусловного минимума для

1

.

:

функции

Соответствующая ей точка

.

*

з

минимума функции

.

1

,

2

— точка условного

2

при условии

71

4. Оптимизация функции нескольких переменных

xX

*

О

f x()

x()= 0

j m=12,, , 

*: **

f xfx() ()

*

<

xX

*

О

f x()

x()= 0

j m=12,, , 

*: **

f xfx() ()

*

<

f x()

x()= 0

j m=12,, , 

nm

(; )(,,..., ;,, ..., )

llll==

=

xx

jn

j

=

1

x

*

f x()

x()= 0

j m=12,, , 

nm

(; )(,,..., ;,, ..., ) llll=

12 12

Таким образом, задача нахождения условного экстремума сведена к задаче об отыскании обычного экстремума. Общий метод такого сведения — метод Лагранжа.

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа является универсальным аналитическим методом отыскания условного экстремума.

Определение 4.4. Точка го минимума для функции

называется точкой условно-

при условиях связи

j

, если существует окрестность

Точка

— точка условного максимума для функции

при условиях связи

окрестность

j

.

, если существует

.

Определение 4.5. Функцией Лагранжа, соответствующей функции

и

условиям связи

j

,

, на-

зывается функция

12 12

m

fx x

(, , ...

,,) (, , ..., ),

+

12

lj

е

nj

xx

12

где j — множители Лагранжа.

Теорема 4.7 (о соответствии точек экстремума). Точке безусловного экстремума функции Лагранжа точка ции

— точка условного экстремума соответствующей функ-

при

условиях связи

j

,

Общая схема отыскания условного экстремума

1. Построить функцию Лагранжа

72

.

соответствует

.

4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

**

x l

¶

Lx

(; )

l

m

Ю

¶

Lx

(; )

,

l

m

2. Найти точки возможного безусловного экстремума функции Лагранжа — стационарные точки функции

(критические):

, то есть точки

, являющиеся решениями системы уравнений

=

,

0

1

l

=

,

0

2

¶

Lx

¶

x

(; )

¶

x

.........

¶

(; )

l

Lx

¶

Lx

¶

Lx

¶

x

n

(;

l

¶

l

1

(; )

l

2

=

,

0

))

=

0

,

=

0

,

.........

¶

Lx

(; )

l

=

0

¶

l

;

=

¶

x

¶

(; )

Lx

¶

x

............

¶

(; )

Lx

¶

x

)),

j

(

x

1

() ,

jjx

2

............

() ;

x

0

1

l

=

0

2

l

(4.1)

=

0

n

0

=

0

=

0

=

73

4. Оптимизация функции нескольких переменных

¶¶Lx

i

(; ) l

¶¶Lxj(; ) l

j m=12,,...,

2

(; )

**

l

n12

,,, ј

¶

=

j

i

x

()

*

1

j m=12,,...,

n1

2

22

0+++№...

X

x10=, x20=, xx

21

2

60+-=

X

12 12

xx

21

2

60+-=

xx

12

,

2

x

1

x

— точки, в которых частные производные

при

l

,

не существуют.

3. Проанализировать выполнение достаточных условий безусловного экстремума (по теореме 4.6 для функции Лагранжа

ренциала

), то есть исследовать знак второго диффе-

при условии, что

удовлетворяют уравнениям

n

j

при

dx

¶

x

,

.

Пример 4.5

Фигура

Вписать в

ограничена линиями

прямоугольник наибольшей площади. Решение Площадь вписанного в фигуру

прямоугольника

,

x

.

:

74

— условие связи для переменных

M(

x1,

x2)

0

.

4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

xx

21

2

60+-=

12 12 21

2

6 ll=++-

***

xx

12

l

12

l

¶

Lx x

(, ,)

21

Ю

xx

21

20

60

+=

l

.

x

*

,)=-

12

l

2

12

(, ,) l

Lx x

2

(, ,)

l

¶

()

+

12

1

2

ж и

ц ш

ч

12

l

¶

2

1

Lx x

(, ,) l

l

Требуется определить условный экстремум (максимум)

функции функцию Лагранжа стационарные точки

при условии

. Для этого построим

функции

и найдем

:

Эта система имеет единственное решение:

Итак,

Найдем второй дифференциал

точке:

2

¶

Lx x

2

з

12

¶¶

xx

Вычислим вторые производные функции Лагранжа

в любой точке:

12

¶

x

1

¶

Lx x

(, ,)

¶

Lx x

(, ,)

(,

12

¶

x

2

12

¶

l

24 2

l

.

2

dLxx

(, ,)

12

2

Lx x

(, ,)

¶

12

22

x

¶

dx dx

12

=+

xx

=+

x

1

=

x

221

2ll

,

l

2

x ,

*

x

=

1

*

x

=

2

*

l

=-

,

6+-

4

x

xx

2

,

0

+=

l,,

1

2

+-=

21

,

2

— стационарная точка для функции

в произвольной

l

()

dx

2

¶

+

=

2

Lx x

12

¶¶

x

12

2

¶

x

12

2

x

¶

1

2

(, ,)

Lx x

¶

l

=

l

12

2

¶

l

dx d

1

2

,

dx

()

1

2

¶

L(, ,) (, ,) ( ll

l

+

2

+

l

d+

xxx

,,) l

12

x

¶¶

2

dx d

l

.

l

2

75

4. Оптимизация функции нескольких переменных

¶

2

12

1

Lx x

(, ,) l

¶

2

Lx x

(, ,) l

¶

2

1

Lx x

(, ,) l

¶

2

l

¶

2

1

l

x

*

,)=-

1

12 12

24 2222 22(,,) () () -=-+++ll

x

1

x

2

xx

21

2

60+-=

211

20+=

)

-

21

=-

-+

11 1

()

2

1

2

20

-=-<

x

*

,)=-

12

x

1

=, x24=

12

¶¶

xx

12

2

¶

x

12

¶¶

x

l

Lx x(, ,)

12

2

Lx x

(, ,)

12

x

¶¶

=

,

=

0

,

=

x

2

,

=

0

,

=

l

.

С учетом полученных результатов найдем второй дифферен-

(,

циал в стационарной точке

2

Учтем связь

и

:

,

,,

ке

24 2

:

2

dL dx dx

24 22242

(,,) ()

+-=-

dx ddxd dx

42 42 62

ll )).

24 2

2

— в произвольной точке; в точ-

x

22

=-

1

.

2

(

2

1

2

.

24 26

(,,) ()

x

максимума функции Лагранжа.

По теореме о соответствии экстремумов (см. теорему 4.7)

точка

— точка условного максимума функции

Итак, прямоугольник имеет наибольшую площадь при

2

76

.

(,

24 2

— точка

.

4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

f xfxx() (, )=

12

0 =

12 12 12

llj=+

¶

Lx x

(, ;)

,

l

xxx

***

(, )=

12

ўў ўў

12

jljl

xx

,)

** **

xx

12

**

ll

ўў

f xfxx() (, )=

12

xxx

***

(, )=

12

f xfxx() (, )=

12

xxx

***

(, )=

12

f xfxx() (, )=

12

xxx

***

(, )=

12

f xfxx xx() (, )==-

12 12

2

12

21

12

12 12

21 =- +-

12 12 12

221 ll=- +-+-

Условный экстремум функции двух переменных

В случае функции двух переменных

нении связи

функция Лагранжа имеет вид

Система (4.1) состоит из трех уравнений

Пусть

Если

12

¶

x

¶

(, ;)

Lx x

12

¶

x

j

(, ).

xx

12

, * любое решение этой системы и

0

** **

ўў

=-

jl l

xLxL

(, )(,)

xxx

111

** **

ўў

xLxLx

(, )(,) (, )

jl

xx

22

, то функция

=

1

l

=

2

=

0

(, )(

условный максимум; если

имеет в точке

если

, то функция

условного экстремума.

при урав-

.

0

ў

x

(, )

xxx

12

ў

l

x

2

имеет в точке

, то функция

условный минимум;

не имеет в точке

Пример 4.6

Найти условные экстремумы функции

при условии

Решение

1. Функция

им функцию Лагранжа

.

имеет вид

. Постро-

.

77

4. Оптимизация функции нескольких переменных

xxx

***

(, )=

12

¶

Lx x

(, ,)

20

l

.

21

--=

20

21

12

x

ll,

.

x

2

l

x1=l

x

1

x

2

1

2

x

1 2

x

1 4

x

ж и

ц ш

ч

121

4

1 2

12

l

12

l

ж и

ц ш

ч

1

1 2

¶

2

1

0

Lx

(, )

**

l

¶

2

12

2

Lx

(, )

**

l

¶

2

0

Lx

(, )

**

l

¶

j()

*

x

1

¶

j()

*

x

2

012

80

2. Найдем ее стационарные точки

12

¶

x

¶

Lx x

(, ,)

¶

Lx

12

¶

(

,,,)

1

x

l¶

=- -=

1

l

=- +=

2

l

2

=- +-=

x

l

2

x

l

220

1

xx

12

Из первого уравнения получим

ния —

. Подставим

и

,

-+=

220

x

-+ -=

xx

0

=-

, из второго уравне-

2

в третье уравнение:

, *:

2

1

,

0

из которого получим

=-

1

=

.

2

Итак, существует единственная стационарная точка

*

,=-

з

*

=-

,

для функции Лагранжа

.

3. Вычислим вторые производные функции Лагранжа

в точке

*

x

з

,=-

214

*

=-

,

:

=ll2

,

Составим определитель

78

2

¶

x

=----

=

,

¶¶

¶

x

10 2

-

220

xx

=-

1

,

¶

x

:

=- +=-<

44

()

,

¶

x

=

2

.

=

2

,

.

4.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в замкнутой области

x

ж и

ц ш

ч

1

ж и

ц

ш

12141

4

xx

==

12

11

xx

12

2+=

xx

==

12

13

12

xx-=

f xfxx xx() (, )==

12 12

2

xx

12

21+=

f xfxx xx() (, )==

12 12

2

25

xx

12

10 1-=

f xfxx xx() (, )==

12 12

xx

12

1+=

f xfxx xx() (, )==

12 12

4

xx

12

1+=-

f xfxx xx() (, )==+

12 12

23

xx

1

222

1+=

f xfxx xx() (, )==-

12 12

xx

1

222

1+=

f xfxx xx() (, )==+

12 12

5

xx

1

222

1+=

f xfxx xx() (, )==+

12 12

2

122

2

xx+=

f x()

XR

n

М

f xxX()®Оextr

Следовательно, точка

симума.

4. Вычислим

f fx f

max

*

() ,==-

з

214

з

,=-

Контрольное задание

Найти условные экстремумы функций:

f xfxx

() (, )

а)

f xfxx

() (, )

б)

в) г) д) е) ж) з) и) к)

12

+

при условии

-

при условии

— точка условного мак-

=

.

ч

;

.

4.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в замкнутой области

Рассматривается задача оптимизации целевой функции на допустимом множестве тно (ограничено и замкнуто):

, где X — непусто и компак-

. (4.2)

79

4. Оптимизация функции нескольких переменных

xX

0

О

f xX RR

n

(): М®

XR

n

М

xX

fx

О

xX

fx

О

f x()

X

f x()

xXО

X

f x()

X

xx

==

+

12

2

Xx xa:

122

22

+Ј

f xfxx() (, )=

12

X

12

0

¶

==

fx x

(, )

,

20

xx

12

0==

Теорема Вейерштрасса, ее следствия и обобщения (теоремы 1.1–1.4) для непрерывных (или полунепрерывных) целевых функций определяют условия разрешимости задачи оптимизации. При выполнении этих условий требуется найти решение

задачи (4.2).

Теорема 4.8. Если функция руема в замкнутой ограниченной области

шее

на области нице области

и наименьшее

значения функции

достигаются или в критических точках, или на гра-

.

дифференци-

, то наиболь-

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

— найти критические точки внутри области

в них значения функции

в области

следует:

, вычислить

;

— найти наибольшее и наименьшее значения функции

на границе области

;

— сравнить найденные значения и выбрать среди них наи-

большее и наименьшее.

Пример 4.7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f xfxx e

() (, )

122

в области

.

Решение

1. Найдем критические точки функции

три области

.

вну-

80

2

+

12

¶

x

1

fx x

(, )

¶

12

x

¶

2

xe

1

xe

2

xx

122

+

xx

122

,

2

.