Методы оптимизации. Учебное пособие-3

4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

aa

kkk

1

0

A

0

1

kkk

aa

n

11

0і

22

0і

nn

і 0

aa

21 22

0

aa

31 33

0

aa

nn nn

-

1

aa

nnn

1

0

ј

A

n

-

11

0Ј

22

0Ј

nn

Ј 0

aa

21 22

0

aa

31 33

0

aa

nn nn

-

1

11 1

t A

=јјјјј>

k

Для отрицательной определенности матрицы

k

,

.

необходимо

и достаточно выполнение условий:

k

)det ()-=-јјјјј>11

A

k

11 1

k

,

.

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием неотрицательной определенности симметричной матрицы квадратичной формы

(

) неравенств:

11 12

aa

і

,

aa

) является выполнение следующих

,

11 13

і

, …,

,

nn nn

-- -

11 1

і

0

,

11 1

јјјјі

n

.

(или

Соответственно необходимым и достаточным условием неположительной определенности симметричной матрицы (или квадратичной формы

ющих (

) неравенств:

11 12

aa

і

,

aa

,

11 13

) является выполнение следу-

і

,..,

, …,

,

nn nn

-- -

11 1

і

0

,

61

4. Оптимизация функции нескольких переменных

10

1

nnn

aa

f xR R

n

(): ®

xR

n*

О

x

*

f x()

ij n

,,, ...,

ж

ц

=212

x

*

f x()

*

f xR R

n

(): ®

xR

n*

О

x

*

f x()

*

0

*

x

*

f x()

*

0

*

11 1

n

)-јјјјјі

n

.

Теорема 4.4 (необходимое условие экстремума 2‑го порядка).

Пусть функция ке

функции

. Если

, то матрица Гессе

— точка безусловного локального минимума

*

()

дважды дифференцируема в точ-

*

()

¶

fx

=

з з

и

¶¶

xx

ij

ч ч

ш

неотрицательно определенная.

Если

ции

— точка безусловного локального максимума функ-

, то матрица Гессе

— неположительно опреде-

ленная.

Достаточные условия экстремума

Теорема 4.5. Пусть функция

цируема в точке

. Для того чтобы

условного локального минимума функции

— чтобы — матрица Гессе Для того чтобы

го максимума функции

— чтобы — матрица Гессе

;

была положительно определенной.

являлась точкой безусловного локально-

, достаточно:

;

была отрицательно определенной.

дважды дифферен-

являлась точкой без-

, достаточно:

62

Доказательство

f x()

x

*

n

=О(, , ..., )

12

hh

()

**

()

1 2

()hh

0

a

*

hH xh> 0

)()

()

1 2

xh

()

x

*

n

d

d(){: ,}

**

=О =+ <

f xhfx()()

**

+- > 0

f xhfx()()

**

+>

x

*

f x()

x

*

f xR R

n

(): ®

f x()

xR

n*

О

f x()

x

*

n

2

12

0(, ,,..., )

*

DD D>

i

x

*

x

*

f x()

Поскольку функция ке

, то для любого

**

f xh fx fx hhHx

()()((), ),()

где

lim

®=0

+= ++

.

2

h

4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

дважды дифференцируема в точ-

справедливо

+С

a

,

Учитывая условия теоремы 4.5, получим

при

,

** *

f xhfx hH xh h()() ,(

+- =

+

a

,

причем знак правой части равенства определяется знаком пер-

вого слагаемого

hH

,()

*

в некоторой окрестности точки

,

то есть имеем неравенство

следовательно, функции

— точка безусловного локального минимума

.

Теорема 4.6. Пусть

, причем функция

в некоторой окрестности точки производные функции

,

— стационарная точка функции

дважды дифференцируема

и все вторые частные

непрерывны в точке

. Тогда:

— если второй дифференциал

(сохраняет знак «плюс») то точка

функции

— точка безусловного локального минимума

;

из окрестности точки

:

,

63

4. Оптимизация функции нескольких переменных

n

2

12

0(, ,,..., )

*

DD D<

i

x

*

x

*

f x()

n

2

12

(, ,,..., )

*

DD D

n12

,,...,

x

*

f x()

n

2

12

0(, ,,..., )

*

DD Dі

n12

,,...,

f x()

x

*

f x()

¶¶fx

i

()

f x

()

xx

()

12

1

— если

из окрестности точки

условного локального максимума функции

— если

ция

, то есть принимает как положитель-

ные, так и отрицательные значения, то точка ется точкой экстремума функции

— если

∆x

) Ј 0, причем существуют такие наборы значений

n

(сохраняет знак «минус»)

, тогда точка

— точка без-

;

— знакопеременная функ-

не явля-

;

или d2f(x*, ∆x1, ∆x2, ...,

, не равных одновременно нулю, для ко-

торых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция

в точке

может иметь экстре-

мум, но может и не иметь его, в этом случае требуется дополнительное исследование.

Общая схема отыскания безусловного экстремума функции:

1. Найти точки возможного экстремума функции

(кри-

тические): — точки, в которых

функции

;

— точки, в которых частные производные

— стационарные точки

x

, не существуют.

2. Анализировать выполнение достаточных условий экстремума (по теореме 4.5 или теореме 4.6).

3. Вычислить

экстр

.

,

Пример 4.1

Исследовать на экстремум функцию

64

f xfxx xx

() (, )

==-

12 12

2

.

+

Решение

f x()

()

12

ж и

ц ш

()

ж

12

11

ии

ц

ш

ч ч ч ч

f xfxx() (, )=

12

*

0

12

1

()

,

()

,

xx

12

=

1

0+=

x

1 8

x

1 2

x

1 2

f x()

ж и

ц ш

ч

121

2

12

x

ж и

ц ш

ч

121

2

и

ш

ж и

ц ш

ч

12

21

1. Определим градиент

4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

функции

:

Сfx fx xx

() (, )

12 2

а также матрицу Гессе

Hx x

() (, )

==

12

=+

з

з з з

1

з

1

xx

()

+

2

:

1

-

xx xx

()

+

12

-

xx xx

()

+

Найдем стационарные точки функции

x

,

1

2

-

1

3

-

3

+

2

1

xx

+

1

3

+

3

+

2

,

ч

, в ко-

торых может быть экстремум, используя необходимое условие экстремума (см. теорему 4.1):

+

x

2

+

xx

1

+

2

3

1

12

1

+

xx

=-

x

1

8

2

x

0

=

2

0

=

2

=-

1

=-

.

2

Нет точек, в которых частные производные функции

не существуют.

Таким образом, функция имеет одну критическую точку

*

x

,=- -

з

.

2. Матрица Гессе

*

=--

в точке

121

ж

H() ,

з

*

ц

=

з

ч

2

,=- -

з

имеет вид

65

4. Оптимизация функции нескольких переменных

*

12

30==-<

*

x

ж и

ц ш

ч

121

2

f xfxx exxx

x

() (, )( )==+-

12

2

1222

2

f x()

xx

()

11

22

()

xx

()()

+-

2

11

44

ж и

ц ш

ч

f xfxx() (, )=

12

*

0

xx2

2

(),

+-+=

x21=

1

x -=

x

1 2

f x()

Поскольку главный минор второго порядка матрицы

*

t()

Hx

2

21

,

то матрица

не является ни положительно определенной,

ни отрицательно определенной, следовательно, экстремума

в точке

*

,=- -

з

нет.

Пример 4.2

Исследовать на экстремум функцию

1

.

Решение

1. Определим градиент

12

Сfx fx xexx xex

() (, )( ),

2

=+-+ -

а также матрицу Гессе

2

() (, )

Hx x

==

12

exxx ex

з

Найдем стационарные точки функции

функции

22 41

1222

:

4484

+-

1222

x

2

1

ex e

()

-

44

2

22

x

,

2

1

2

, в ко-

торых может быть экстремум, используя необходимое условие экстремума (см. теорему 4.1):

1

exxx

22 410

ex

1222

2

1

().

-=

220

Из второго уравнения

Нет точек, в которых частные производные функции

не существуют.

66

=

.

1

4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

ж и

ц ш

ч

1

12

x

ж и

ц ш

1 2

e

и

ш

ж и

ц ш

ч

20

02

*

e

20

40==

*

Hx e120=>

*

x

ж и

ц ш

1 2

f xx(, )

12

e

1 2

2

ж и

ц ш

xx

222

22

1

f x()

),

21

=++++

()

Таким образом, функция имеет одну критическую точку

*

x

1

,=

.

з

2

2. Матрица Гессе

в точке

1

ж

*

() ,

H

=

з

2

*

,=

1

e

имеет вид

ч

з

ц

=

1

з

ч

Поскольку главный минор второго порядка матрицы

*

t()

Hx

2

02

главный минор первого порядка матрицы

то матрица

является положительно определенной. Сле-

довательно, по теореме 4.5 в точке

2

e

>

e

,

:

,

*

,=

1

функция

з

ч

имеет локальный минимум и принимает значение

f

min

=-

,

1

з

.

ч

Пример 4.3

Исследовать на экстремум функцию

2

f xfxx xx

12 122

1

xx() (, )==+++ +

12

Решение

1. Определим градиент

fx fx xxxxxxxxx() (,

12 1221221

функции

22

:

2

.

,

67

4. Оптимизация функции нескольких переменных

xx

++

ж и

ц ш

ч

12 1

41

21

f xfxx() (, )=

12

*

0

20

21221

,

xx

12

=

2

3

2

xx

x20=

x10=

f x()

x*(, )= 00

12

x*(, )= 00

==

ж и

ц ш

ч

11 11

*

11

0==

*

Hx110=>

*

а также матрицу Гессе

Hx x

() (, )==

Найдем стационарные точки функции

:

12

2

21

2

з

xx x

41

x

12

2

, в ко-

торых может быть экстремум, используя необходимое условие экстремума (см. теорему 4.1):

xx xx

++=

12212

xx xx

++=

,

.

Нет точек, в которых частные производные функции

не существуют.

Таким образом, функция имеет одну критическую точку

.

2. Матрица Гессе

*

в точке

H() (, )

00

имеет вид

з

Поскольку главный минор второго порядка матрицы

а главный минор первого порядка матрицы

то матрица

является неотрицательно определенной, до-

статочные условия экстремума не выполняются. Требуются дополнительные исследования.

68

*

t()

Hx

2

11

,

4.1. Необходимые и достаточные условия экстремума

f xfxx() (, )=

12

xx

)(

222

22

2

1

f xx(, )

12

1 >

x10№, x20№

f xx f(, )(,)

12

00 >

x*(, )= 00

f xx(, )

12

f

min

(, )00 1 =

f xfxx() (, )=

12

f xfxx xxxx xx() (, )==-- -++

12 1212 2212

f xfxx xx ax x() (, )==+-

12 132

3

12

3

f xfxx exxx

x

() (, )( )==++

12

2

1222

2

f xfxx xxxx() (, )==-+

12 1212 2

2

f xfxx xxxx() (, )==--

12 1212 2

2

f xfxx xxxx x() (, )==-++

12 1

2

12 2

2

1

222

xx

-+

12 1

f xfxx xxxx() (, )==--+

12 1

3

2

3

12

236

f xfxx exx

() (, )()

== +

-+

12 1

2

xx

()

12

1

3. Исследуем значения функции

2

f xx xx

= +++ += +++

12 122

значит,

1

, если

xx xx xx(,

, следовательно, в точке

1

12 12

2

)( )

. Получили, что

1

.

2

12

функция

имеет локальный минимум и принимает значение

.

Контрольное задание

Исследовать на максимум и минимум следующие функции

:

а)

б)

в)

г)

д)

;

1

;

,

е)

f xfxx

() (, )==

ж)

2

з)

и)

f xfxx xx

() (, )

к)

==+

12 12

222

3

xx

()

122

2

+

;

2

;

.

69

4. Оптимизация функции нескольких переменных

f x()

n

Xx

jm

n

j

=О ==

}j

f xxX()®Оextr

x()= 0

xxxx

n

= (, , ..., )

12

f xfxx xx() (, )==+

12 122

2

xx

12

1+=

1

x

2

x

f

1 2

1 0x x+ - =

4.2. Условный экстремум функции нескольких переменных

В подглаве 4.1 решался вопрос об отыскании локального экстремума функции, аргументы которой являются независимыми, то есть не связанными никакими дополнительными условиями. На практике же часто встречаются задачи об отыскании экстремумов функции, аргументы которой удовлетворяют определенным условиям связи (ограничениям). Такие экстремумы называются условными.

Рассматривается задача условной оптимизации целевой функции ями равенствами), где

на допустимом множестве

Rx

{:() ,,, ...,

(с ограничени-

012

:

j

— уравнения связи (условия) для переменных

,

.

Пример 4.4

Исследовать на экстремум функцию при условии

.

Решение

Рассмотрим графический способ решения.

*

70

x