Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебное пособие-3
.pdf
2.1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
xx
=-
2
=-
x
1
2
20
x
-=
x11=-
x21=
ў
f x()
x30=
xx
=-
2
1
x
y
2
f xxx()=-3
2
f x()
ўў
f x()
ўў
>f C() 0
ўў
<f C() 0
Пример 2.3
3
Найти точки экстремума функции
f
2
3
x()
Решение
Найдем первую производную и критические точки:
ў
f x
1)
2)
3)
x (–∞, –1) –1 (–1, 0) 0 (0, 1) 0 (1, +∞)
f (x) 2 0 2
f ў(x)
экстремум max min max
x
3
не существует в точке
График функции
x() 2
2
3
;
,
;
.
+ 0 – нет + 0 –
3
f
2
3
x()
представлен на рис. 2.4.
.
–1
Рис. 2.4. График функции
0
3
2
Теорема 2.4 (второй достаточный признак экстремума). Если
имеет в критической точке
дную
:
1) то при
2) при
— точка локального минимума;
— точка локального максимума.
конечную вторую произво-
21
2. Оптимизация функции одной переменной
ў
+-
ў
fC xfC
x
()()
D
D
ўў
>f C() 0
ў
=f C() 0
ў
+<f Cx()D 0
ў
+>f Cx()D 0
ўў
<f C() 0
f x()
f Cn2()
ў
=
ўў
== =
-
()
n
21
0
n2
0
()
>
n2
0
()
yfxxa==-() ()
6
ў
=
ўў
== =
()
5
0
f a660
()
=>() !
yfxxa==-() ()
6
Доказательство
Дана конечная вторая производная
ўў
f C
() lim
.
=
®
x
D
0
, а если
, то
.
. Тогда если
.
Пусть
Поскольку
, то
— критическая точка, то
Таким образом, первая производная меняет знак с «–» на «+»
при переходе через точку
. Следовательно,
— точка локаль-
ного минимума.
Второе утверждение (
) доказывается аналогично.
Теорема 2.5 (третий достаточный признак экстремума). Если
имеет в критической точке
рядка
, то есть
— то при
— при
f
f
— точка локального минимума;
<
— точка локального максимума.
f CfCfC
() () ()
и
конечную производную по-
:
Пример 2.4
Пусть
чительно равны нулю:
График функции
22
f afafa() () ()
. Следовательно,
. Производные по 5-й порядок вклю-
.
— точка локального минимума.
представлен на рис. 2.5.
2.1. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
x
y
a
yxa=-()
6
f xxe
()=Ч
2
xxx
-++
32
15 71
10
xx
xx
-+
++
2
32
21
f xx x()=- +
42
23
x
=+
2
2
()=-
22
xx
+-
1
3
5
2
62
x
+
2
1
f xx e
x
() ()=+1
22
f xxxe
x
() ()=++
-
223
22
0
Рис. 2.5. График функции
Контрольное задание
Найти интервалы монотонности и точки экстремума следу-
ющих функций:
x
а)
б)
в)
f x
()=
f x
()=
2
;
;
2
;
г)
f x
()
д)
f xx()
е)
f xx
()=-
ж)
f x
()=
з)
и)
к)
x
3
32
x
;
8
;
2
4
;
;
;
2
;
.
23
2. Оптимизация функции одной переменной
f x()
Xab= [, ]
f x()
Xab= [, ]
xX
fx
О
xX
fx
О
xX
fx
О
f x()
Xab= [, ]
xX
fx
О
f x()
Xab= [, ]
xX
fx
О
xX
fx
О
f x()
f x()
xX
fx
О
xX
fx
О
x
-
2
2
2
xx-=
x10=
x24=
x32=
x
2
x
3
x
,,,
,,
-
й
л
2
2
2.2. Отыскание наибольшего
и наименьшего значений на отрезке
Рассмотрим
ерштрасса функция
и
—
—
:
— наибольшее значение
— наименьшее значение
Для определения значений
— значения
— значения
В результате выбираются
, непрерывную на
достигает на
. По теореме Вей-
своих
на
на
и
следует найти:
в точках возможного экстремума;
на концах интервала
и
.
.
;
.
Пример 2.5
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f xxx
()=--
2
4
на
.
Решение
Из условия
найдем значения
и
, в ко-
торых изменяется знак выражения, стоящего под знаком модуля. Функция не определена в точке
не принадлежат отрезку
.
. Заметим, что
и
24
f x
()
4
-+-
xx
к
=
к
к
xx
4
к
2
2
--
О-
x
10
)
-
x
2
2
[
x
О
01
[]
,
тогда
й
л
,,,
,,
2
ў
=f 0
3
xx
()
,;
[]
й
л
к
к
к
к
к
к
,.
x = 0
f ()01=
15
2
3
f ()15=
f
наим
=1
2
3
x О-[,]11
f xxax()=++243
2
ў
=+=f xxa() 440
xa=-
xa=-
a
aa
О- -
(, ),
;
31
2.2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений на отрезке
к
к
ў
f x
()
=
к
к
42
к
-+
x
-
()
x
2
x
-
2
()
x
42
-+ +
Критические точки находим из условия
x
О-
10
)
2
2
2
[
x
О
01
[]
.
на каждом
из интервалов:
-
222
Отрезку
x
()
--
222
+
021110
=Ю -
2
2
x
-
3
x
()
x
()
+
0
=Ю
2
-
2
3
()
=- Ю=П-
3
xxx-
()
=Ю =П
21 301
принадлежит одна критическая точка
)
[
в которой производная не существует. Вычислим значения
f
функции
f ()-=
,
,
,
,
наиб
= 5
для
.
Пример 2.6
Для каждого значения параметра
чение функции
найти наименьшее зна-
на отрезке
.
Решение
, точка
является точкой локального
минимума функции. Наименьшее значение функции достигается в этой точке, если значение
лу
и выполняется условие
принадлежит интерва-
,
ff
=-=-
наим
()
32
2
25
2. Оптимизация функции одной переменной
a
О- Ґ
[,),
;
1
a
О-Ґ-
(,],
.
3
22
ADh=
Ю=
27
4
22
33
2
1 3–а
если
если
, то
, то
ffa
==+
()
наим
ff a
наим
14 5
1
–а
==+
1
()
31
–а
3
3
1
Пример 2.7
Площадь поверхности сферы равна
. Какова высота ци-
линдра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?
Решение
Обозначим высоту цилиндра
,
(рис. 2.6).
По условию
26
427
pp
R==
=
,
.
2.2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений на отрезке
A
h
2
27
4
-
hh
()
p
23
4
()
3
2
90
p
ў
f x()
xx
1
3
xx
1
3
23
32
f xx x() ()()=- +13
2
1
2
42
222
BOBOA
Из
=-=
:
. Объем цилиндра
hABh
()==-
p
27
.
По смыслу задачи
функцию
на этом интервале. Производная
при
вблизи этого значения
ў
()
=-
, то есть
2
=
,
меняет знак с «+» на «–»,
. Исследуем
значит, при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
M
B
A
O
C
D
N
Рис. 2.6. Цилиндр, вписанный в сферу
Контрольные задания
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
f xx
()=--
а)
:
32
3
,
;
f xx
()=++
б)
в)
f xxx()=-+
г)
,
,
2
,
;
;
;
27
2. Оптимизация функции одной переменной
f xx x()=- -
42
28
x
x
-+1
1
x
x
+
1
1
xx
xx
-+
+-
1
2
=+--11
33
=+
x
p xx=- +-20 7000 300000
2
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
f x
()=
f x
()=
f x
()=
f xx x()
f xx x()
,
arctg
1
2
,
;
;
,
,
2
,
,
;
;
;
.
2. Владелец фабрики установил, что если он будет продавать
свои изделия по цене
руб., то его годовая прибыль p составит
руб. Определить x, при котором при-
быль будет максимальной.
3. Величина угла при основании равнобедренного треуголь-
ника равна
. При каком значении
отношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности будет наибольшим?
4. Шоссе пересекает местность с запада на восток. В 9 км
к северу от шоссе находится лагерь, а в 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к лагерю точки расположен город. Каков должен быть маршрут, чтобы добраться в город в кратчайший срок,
если скорость движения по полю 8 км/ч, а по шоссе — 10 км/ч?
5. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной скоростью
км/ч до пункта В, отстоящего от пункта А на 24,5 км.
В пункте В автомобиль переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/ч,
и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной
скоростью
. Какова должна быть скорость
, чтобы автомобиль
за наименьшее время проезжал путь от А до полной остановки
и обратно до пункта А указанным способом?
28
2.3. Выпуклые функции
S
f x()
Xab= [, ]
f xxfx fx(()) ()()()aaaa
1212
11+- Ј+-
xx ab
12
,[,]О
f x()
f x()
12
Н
11
22
yfx
11
= ()
yfx
22
= ()
6. Требуется построить несколько одинаковых домов общей
площадью 40000 м 2. Затраты на постройку одного дома, имеющего
сти, пропорциональной
порциональной
стоимости фундамента для дома площадью 1600 м
м 2 площади, складываются из стоимости наземной ча-
, и стоимости фундамента, про-
. Стоимость наземной части составляет 32 %
2
. Определите, сколько нужно построить одинаковых домов, чтобы сумма
затрат была наименьшей.
2.3. Выпуклые функции
Дадим определение выпуклой функции.
Определение. Функция
, называется выпуклой на X, если выполняется условие
, определенная на множестве
при всех
Функция
,
называется вогнутой на X, если выполняется
неравенство противоположного знака.
Если
вогнута на
Геометрический смысл выпуклой функции
График выпуклой функции на любом отрезке
(рис. 2.7) находится не выше хорды, соединяющей точки графика функции
и
.
, то
, где
выпукла на
и
.
.
29
2. Оптимизация функции одной переменной
f x()
xabО(, )
+-
fx fx
()()
l
l
--
fx fx
() ()
l
l
ў
-Јў+f xfx()()00
f x()
f xx()=- -1
ў
-f ()10
ў
-+f ()10
xx
,,
-<<
м
о
22
42
y
y
2
y
1
0
x
1
f (x)
x2x
Рис. 2.7. График выпуклой функции
Свойства выпуклых функций
Перечислим свойства выпуклых функций.
Теорема 2.6. Выпуклая на
ке
непрерывна, имеет конечные односторонние про-
функция
в любой точ-
изводные:
ў
f x
()lim
0
причем
Замечание к теореме 2.6. На концах
+=
ў
f x
()lim
0
-=
®+
®+
0l
0l
,
,
.
выпуклая функция
может не иметь соответствующей односторонней произ-
водной и, более того, может терпеть здесь разрыв.
2
Например, функция
на
, но на концах отрезка не имеет конечных производных
и
.
выпукла и непрерывна
Функция
выпукла на
f x
()
, но на концах отрезка имеет разрыв.
=-
п
н
п
x
,
=
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]