Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебно-методический комплекс.pdf
+
−
L
L
L
L
,032
xx
xx
i
x
y
=
1
y
=
2
y
=
3
y
=
4
1
1 –2 3
–3 –7 21
–1 1 2
–5 –4 20
x
2
1
= –2 –1 0
≥
21
,02173
xx
21
21
xx
21
=≥
ix
≥+−−
,02
≥++−
,02045
≥+−−
.2,1,0
y
3
y
=
1
y
=
2
x
=
1
y
=
4
–1
3 –10 15
–1 1 2
5 –9 10
x
2
1
–1 5
= 2 –3 –4
x
=
2
y
=
2
x
=
1
y
=
4
= 5 3 –19 L= 1,1 0,3 –8,5
x
=
2
y
=
1
x
=
1
y
=
2
= 1/3 1/3 –22/3
Вопросы
y
3
y
1
1
–1 –1 5
13
10 –35
–2 –1 7
14 9 –35
y
3
y
4
1
5/9 –1/9 10/9
14/9
1/9 35/9
4/9 –1/9 28/9
–23/9 10/9 35/9
min
y
3
x
=
2
y
=
1
x
=
1
y
=
4
0,3 –0,1 1,5
–1,3 0,1 3,5
–0,7 –0,1 3,5
2,3
y
2
1
0,9 –3,5
Ответ:
1
1
7
xL
3
1
⎛
=−=
3;
⎜
9
⎝
⎞
.
1,
⎟
9
⎠
1. Задачи двойственности
2. Теоремы двойственности
3. Составления двойственной задачи
4. Принцип двойственности
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
31
X
×
∀
Тема. Транспортная задача линейного программирования
Транспортная задача линейного программирования
формулируется следующим образом. Необходимо минимизировать
транспортные расходы
min
()
∑∑
==
11
j
→⋅=
xcXQ
min
ijij
при ограничениях
m
∑
=
i
n
∑
=
j
ij
jij
1
iij
1
==
==
==≥
⎫
,,1,
njbx
⎪
⎪
⎪
⎪
,
,,1,
miax
⎬
⎪
⎪
,,1,,1,0
njmix
⎪
⎪
⎭
где
j;
перевозок
продукте в пункте j;
Если модель открытого типа
- стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт
c
ij
– планируемая величина перевозок из пункта i в пункт j (план
x
ij
– матрица размерности
a
- запасы в пункте i.
i
Предполагается, что модель закрытого типа, то есть
n
⎛
⎜
∑∑
⎜
⎝
≠
==
11
j
nm
);
m
⎞
⎟
ab
, то ее всегда можно
ij
⎟
i
⎠
- потребности в
b
j
n
∑∑
j
=
==
11
привести к закрытому типу введением фиктивного пункта
производства или фиктивного пункта потребления:
+
1
• Если
ni∀=+
1,
• Если
n
∑∑
==
11
j
0
n
∑∑
==
11
j
m
<
ab
, то
ij
i
.
ic
m
>
ab
, то
ij
i
m
+
1
∑∑
==
11
i
n
+
1
∑∑
==
11
j
n
−=
bab
, тогда
jin
j
m
−=
i
n
aba
,
ijm
∑∑
=
1
j
n
∑∑
==
11
j
m
+
1
=
ab
ij
=
1
i
и
m
=
ab
, причем
ij
i
=
0
jm
+
,1
m
ab
.
ij
i
.
jc
Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования и, естественно, ее можно решить с использованием
метода последовательного улучшения плана или метода
последовательного уточнения оценок.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
32
В этом случае основная трудность бывает связана с числом
×
переменных задачи (m
n) и числом ограничений (m+n). Поэтому
специальные алгоритмы оказываются более эффективными. К таким
алгоритмам относятся метод потенциалов и венгерский метод.
Алгоритм метода потенциалов, его называют еще
модифицированным распределительным алгоритмом, начинает
работу с некоторого опорного плана транспортной задачи
(допустимого плана перевозок). Для построения опорного плана
обычно используется один из двух методов:
метод северо-западного
угла или метод минимального элемента.
Метод северо-западного угла
Он позволяет найти некоторый допустимый план перевозок.
Составим транспортную таблицу некоторой задачи.
b
a
i
j
30 80 20 30 90
2
4
2
38
120
30
3
80
10
56
6
2
30
6
874
10
20
5
40
3
4214
10
30
60
В данном случае, имеем задачу закрытого типа, т.к.
60
4
∑∑
==
ij
1
250
5
==
ba
ji
1
.
При построении плана должны учитывать, что сумма перевозок в
столбце должна оказаться равной потребностям в данном пункте, а
сумма перевозок в строке запасу в пункте, соответствующем данной
строке.
Заполнение начинается с верхнего левого угла таблицы.
Величина перевозки устанавливается равной минимальной из
величин: величины остатка запасов в пункте i или величины
еще
неудовлетворенного спроса в пункте j.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
33
×+×+×+×
{
}
{
}
=
<
×+×+×+×
• Если ресурс в данной строке исчерпан, то переходим к перевозке в
следующей строке текущего столбца (на одну строку вниз).
• Если потребности для данного пункта (столбца) удовлетворены, то
переходим к следующей перевозке текущей строки в следующем
столбце.
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×+×+×=Q
1010604305104206106102804230 =×+
.
Естественно, что найденный план далек от оптимального.
Метод минимального элемента
В таблице отыскивается
соответствующая клетка:
остаток соответствующей строки, если
, и корректируем остатки запасов и неудовлетворенного спроса.
ba >
ji
и в первую очередь заполняется
cmin
ij
. Затем вычеркивается
bax ,min
jiij
, или столбца, если
ba
ji
В оставшихся клетках таблицы снова отыскивается минимальная
стоимость перевозки и заполняется соответствующая клетка и т.д.
b
a
i
j
30 80 20 30 90
2
4
2
38
120
30
3
80
56 6
10
2
30
30
6
874 5
40
3
42
1
40
4
60
20
30
10
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×+×+×=Q
830104301202405302108804230 =×+
.
Этот план лучше, но утверждать, что он оптимален, нельзя.
Определение 1. Набором называется произвольная совокупность
перевозок транспортной таблицы.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
34
=
≤
=
∀
X
X
Определение 2. Цепью называют такие наборы, когда каждая пара
соседних клеток в цепи расположены либо в одном столбце, либо в
одной строке.
Определение 3. Циклом называется цепь, крайние элементы которой
находятся либо в одной строке, либо в одном столбце.
Метод потенциалов
Метод позволяет находить оптимальный план перевозок транс-
портной таблицы. В
Теорема. Для того, чтобы некоторый план
основе лежит следующая теорема.
][
транспортной
nmijxX×
задачи был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы ему
vvvuuu ,...,,;,...,,
соответствовала такая система m+n чисел
2121
, для
nm
которой выполняются условия:
mi ,1=
, nj ,1= , (1)
. (2)
0>
x
ij
u
и
i
,
−
−
называются потенциалами соответствующих пунктов
v
j
cuv
ijij
,
cuv
ijij
отправления и пунктов назначения. Условия (1)-(2) называются
условиями потенциальности.
План
существует система
будем называть потенциальным, если для него
u
и
i
, удовлетворяющая (1)-(2). Тогда теорем
v
j
коротко формулируется следующим образом.
Теорема. Для оптимальности транспортной задачи необходимо и
достаточно, чтобы он был оптимален.
Достаточность. Пусть план
u
система
и
i
допустимого плана
min
j
njm
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
, удовлетворяющая (1)-(2). Тогда для любого
v
j
= ]'['
min
ijij
n
jj
j
min
ijj
i
nmijxX×
()
j
m
i
i
j
потенциален, так что существует
xuxvaubv
111111
njm
========
11111111
n
=−=−≥
xuxvxuvxc
''''
i
ij
i
ij
∑∑∑∑∑∑∑∑
========
11111111
j
=−=−=
xcxuvxuxv
,
ijij
n
m
ij
j
n
j
iji
m
i
njm
i
i
m
ijji
i
()
m
ijjij
i
n
i
∑∑∑∑∑∑
======
j
=−=−=
ijij
∑∑∑∑∑∑∑∑
35
X
X
X
=
j
j
j
j
+
т.е. стоимость перевозок по любому плану
'
не меньше стоимости
перевозок по потенциальному плану
. Следовательно, план
оптимален.
Необходимость. Будем рассматривать транспортную задачу, как
задачу линейного программирования с минимизацией линейной
формы
min
()
∑∑
==
11
j
→⋅=
xcXQ
min
ijij
при соответствующих ограничениях. Заполним симплексную таблицу
и рассмотрим двойственную к ней задачу, что легко получить из
таблицы. Прямую таблицу будем заполнять, повернув.
0=
–
x
11 y11=
0=
–
…0=
v
1
–
… 0=
v
j
–
v
u
1
… 0=
u
–
i
…0=
u
–
m
-1 … 0 … 0 1 … 0 … 0
Q
n
1
c
11
… … … … … … … … … … … …
x
1n y1n=
-1 … 0 … 0 0 … 0 … 1
c
1n
… … … … … … … … … … … …
x
i1 yi1=
0 … -1 … 0 1 … 0 … 0
c
i1
… … … … … … … … … … … …
x
y
=
i
i
0 … -1 … 0 0 … 1 … 0
c
… … … … … … … … … … … …
xinyin=
0 … -1 … 0 0 … 0 … 1
c
in
… … … … … … … … … … … …
x
m1
ym1=
0 … 0 … -1 1 … 0 … 0
C
m1
… … … … … … … … … … … …
xmnymn=
1 w=
0 … 0 … -1 0 … 0 … 1
a
…
1
…
a
i
a
n
b
…
1
b
…
C
mn
b
n
0
Получаем, что двойственная задача имеет вид:
n
j
m
→−=
jj
uavbw
∑∑
==
11
i
max
ii
при ограничениях
i
mi ,1=
, nj ,1= ,
т.е.
,
−=
,
cuv ≤−
ijij
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
mi ,1=
,
nj ,1=
0≥
cvuy
ijjiij
.
36
X
∀
X
X
X
XQX
X
∀
Пусть
= ][
– оптимальное решение транспортной задачи.
nmijxX×
Тогда на основании теоремы двойственности двойственная задача
имеет оптимальное решение
**
1
1
**
.
,...,;,...,
vvuu
nm
Убедимся, что эти числа являются потенциалами соответствующих
**
пунктов транспортной задачи. Действительно, все
,jivu как опорное
решение двойственной задачи удовлетворяют неравенствам (1).
Если
x
, то по второй теореме двойственности
0>
ij
соответствующее ограничение
***
0
≥+−=
cvuy
ijjiij
двойственной задачи обращается в строгое равенство
**
cuv =−
.
ijij
Алгоритм метода потенциалов
Алгоритм метода потенциалов состоит из предварительного
этапа и повторяющегося основного этапа.
Предварительный этап.
1. Каким-либо способом ищется допустимый план
(методом
северо-западного угла или минимального элемента).
2. Для полученного плана строится система m+nчисел
vv ,...,
, таких, что
1
n
3. Построенная система
есть план
исследуется на оптимальность). Для этого проверяется
u
и
i
,
cuv =−
ijij
x
исследуется на потенциальность (то
v
j
.
0>
ij
uu ,...,
,
1
m
,
cuv ≤−
x
ijij
ij
.
0=∀
Если система непотенциальна, то переходят к основному этапу
(т.к. план не оптимален), иначе оптимальный план найден.
Основной этап.
1. Улучшаем план, то есть от плана
Q ≥
что
2. Для плана
что
''
3. Исследуем систему
)'()(
.
'
строим новую систему
cuv =−
,
x
ijjj
ij
.
0>
''
,jivu на потенциальность. Если система
переходим к плану
''
,jivu ,
mi ,1=
,
'
такому,
, такую,
nj ,1=
непотенциальна, то переходим на п.1. Иначе найден оптимальный
план.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
37
S
t
+<+
=
−
∀
=
Определение 4. Допустимый опорный план транспортной задачи
называется невырожденным, если число заполненных клеток
транспортной таблицы, т.е. число положительных перевозок
равно
, где m – число пунктов отправления, n– число
1++ nm
0>
x
ij
пунктов назначения.
Определение 5. Если допустимый опорный план содержит менее
элементов
1++ nm
x
ij
, то он называется вырожденным, а
0>
транспортная задача называется вырожденной транспортной задачей.
Следующая теорема позволяет определить вырожденность
задачи до ее решения.
Теорема. Для невырожденной транспортной задачи необходимо и
достаточно отсутствие такой неполной группы пунктов производства,
суммарный объем производства которой точно совпадает с
суммарными потребностями некоторой группы пунктов потребления.
Другими словами, это
систем индексов
t
неравенство
k
21
≠
i
∑∑
k
условие означает, что для любых двух
iii ,...,,
,
t
S
ba
. (Доказательство не сложно, от
j
kk
==
11
jjj ,...,,
, где
21
S
, имеет место
mn
противного.)
,
Для решения транспортной задачи методом потенциалов
строится система потенциалов
,
cuv
ijij
x
ij
. Если опорное
0>
решение невырожденно, то число неизвестных на 1 больше числа
уравнений. При вырожденном опорном решении число этих
уравнений еще меньше. По аналогии симплекс-методом, в
невырожденном решении
переменные, а
x
– небазисные. Если опорное решение
0=
ij
x
представляют собой базисные
0>
ij
вырожденно, то часть базисных переменных принимает нулевые
значения.
Пусть первое опорное решение, найденное методом северозападного угла или методом минимального элемента, является
вырожденным. Тогда, чтобы решать задачу методом потенциалов
необходимо выбрать в качестве базисных переменных некоторые
перевозки
x
ij
условию (2) теоремы. Какие перевозки вида
и для них также составить уравнения
0=
x
базисные? Выбираются такие клетки таблицы с
включать в
0
ij
, чтобы из
0=
x
ij
cuv =−
по
ijij
базисных переменных нельзя было организовать ни одного цикла!
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
38
{
}
x
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
α
≤
j
j
−
j
При переходе к новому улучшенному плану задачи в
небазисные переменные переводится перевозка в отрицательной
полуцепи, которая находится следующим образом
=θ
−
xmin . В
ij
вырожденной задаче это значение может достигаться на нескольких
перевозках
отрицательной полуцепи. В этом случае на каждом
x
ij
шаге в небазисные переменные переводится та минимальная
перевозка отрицательнойполуцепи, которая связана с пунктом
производства, имеющим меньший номер. Это правило уменьшает
вероятность возникновения зацикливания, что само по себе
достаточно редкое явление в практических задачах.
Транспортная задача с ограничениями
на пропускные способности
Транспортная задача линейного
программирования формулируется
следующим образом. Необходимо минимизировать транспортные
расходы
min
()
∑∑
==
11
j
→⋅=
xcXQ
min
ijij
при ограничениях
m
==
xbj n
∑
ij j
i
1
=
n
xai m
∑
ij i
j
1
=
,1,,
,1,,
==
⎫
⎬
0, 1, , 1, ,
imjn
≥= =
ij
xd
ij ij
.
≤
⎭
Алгоритм состоит из двух этапов:
− определение опорного плана;
− определение оптимального плана методом потенциалов.
Метод потенциалов при определении оптимального решения.
1. Пусть у нас есть опорный
для определения потенциалов
и определяются потенциалы
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
план. Для перевозок вида
0
x
<
ij ij
,
vu
vuc
iij
,
vu
i
.
(1)
составляется система уравнений
i
=
(2)
39
−
α
β
α
=
α
=
x
x
x
x
−
x
θ
x
−
2. Для остальных клеток транспортной таблицы вычисляются
значения
()
Если для
0
x∀=
ij
cvu
ij j i
cvu
=− − ≥
ij ij j i
−
(3)
()0
, (4)
и для
то опорный план транспортной задачи оптимален.
Если нет, то среди отрицательных чисел
наименьшее. Пусть это для
xα∀=
ij ij
()0
−=− − ≤
cvu
ij ij j i
, (5)
,
β
выбираем
ij ij
,ij.
00
Возможны 2 варианта:
а) наименьшее из чисел соответствует
б) наименьшее из чисел соответствует
Начиная с перевозки
, строим замкнутый цикл из базисных
ij
00
x
ij
00
x
ij ij
00 00
0
;
.
перевозок транспортной задачи (ненулевых).
В зависимости от случаев а) или б) дальнейшие действия
отличаются.
а) В этом случае для улучшения плана мы должны ввести в
базис перевозку
поочередно знаками + и – . (
. Пометим перевозки цикла, начиная с
ij
00
→ (+)).
ij
00
,ij
00
Определим для отрицательной полу цепи
'min
θ
=
()
ij
,
для положительной полу цепи
() ()
'' m in { }
θα
=−
++
ij
ij
и возьмем
m in { ', '', }
=
θθ α
ij
00
.
Для получения более экономичного плана перевозки положительной
полу цепи увеличиваем наθ, а отрицательной – уменьшаем на θ.
После этого переходим к п.1.
б) В этом случае помечаем перевозку
()
, а остальные
ij
00
перевозки цикла помечаем последовательно + и – .
Определим для отрицательной полу цепи
40
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.