Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебно-методический комплекс.pdf
(
(
)
≤⋅+⋅+
≤⋅+⋅+
≤⋅+⋅+
x
⎫
⎧
a
1
i
a
il
. Если
⎬
⎭
min
=θ
1
⎨
∈
Ei
0
⎩
E
состоит из одного индекса k, то из базиса
1
выводится переменная
множество
E
и т.д.
2
x
. В противном случае составляется
k
Практически правилом надо пользоваться, если зацикливание
уже обнаружено.
Вопросы
1.Симплекс метод
2.Необходимое и достаточное условие оптимальности.
3.М-метод
Тема. Двойственность задачи линейного программирования
Рассмотрим задачу (1) максимизации линейной формы и,
одновременно, задачу (2) минимизации:
()
≥
x
Τ
→⋅=
xpxQ
≤⋅
,
bxA
0
max
⎫
⎪
⎬
)1(
⎪
⎭
Τ
)
Τ
≥
u
0
→⋅=
ubuW
≥⋅
pxA
,
min
⎫
⎪
⎬
)2(
⎪
⎭
Задача (2) называется двойственной по отношению к прямой (1) (и
наоборот!).
Пример:
Предприятие выпускает три вида продукции. Каждая
продукция требует обработки на трех различных типах установок.
Ресурс времени каждого типа установок ограничен. Известна
,, ppp
прибыль от единицы каждого вида продукции:
количество выпускаемой продукции каждого вида:
. Если
321
,, xxx
; тогда
321
прибыль определяется по формуле
max
→⋅+⋅+⋅= xpxpxpxQ
332211
при ограничениях следующего вида:
⋅
⋅
⋅
0≥
,
bxaxaxa
,
1313212111
bxaxaxa
,
2323222121
bxaxaxa
,
3333232131
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
21
j
(
)
⋅+⋅
+
x
x
где
,, bbb
– ресурсы времени установок первого, второго и третьего
321
типов. Величины
определяют количество ресурса времени
a
ij
установки
единицы продукции
-го типа, которое необходимо для выпуска одной
i
-го вида.
Двойственная к ней задача будет иметь вид:
min
→⋅+⋅+⋅= ubububuW
332211
с ограничениями:
≥
,
⋅
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
≥
.0
u
puauaua
1331221111
≥⋅+⋅+⋅
,
puauaua
2332222112
.
≥⋅+⋅+⋅
,
puauaua
3333223113
Здесь
u
- это оценка (цена), соответствующая одной единице
1
ограниченного ресурса, соответствующего первой установке. И она
равна величине, на которую могла бы увеличиться суммарная
прибыль, если бы количество этого ограниченного ресурса
увеличилось на единицу, и если это увеличение было бы
u
использовано оптимально. Иными словами,
– это количество
1
прибыли, недополученной из-за нехватки единицы ограниченного
ресурса
величин
b
. Аналогичным образом можно интерпретировать смысл
1
u
2
и
u
.
3
Преобразования при решении прямой и двойственной задач.
Пусть имеются прямая и двойственная задачи следующего вида:
Прямая задача:
()
≥
T
bxA
≤⋅
max
xpxQ
→⋅=
0
Двойственная к ней задача:
()
T
≥
u
T
≥⋅
puA
min
→⋅=
ubuW
0
Представим ограничения в
виде:
bxAy
0
≥+⋅−=
0
≥
T
0
≥−⋅=
puAv
0
≥
u
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
22
−
−
(
)
−
−
−
−
−
S
−
(
)
W
−
−
Для ограничений прямой задачи симплексная таблица имеет вид:
x−
y
=
1
a
11
…
1
…
x
Sa1
…
S
…
x
n
na1 1
1
b
… … … … … … …
a
y
=
r
1r
…
a
rS
…
a
rn
b
r
… … … … … … …
a
y
=
m
=
xQ
1m
p−
…
…
1
a
mS
p
…
…
S
a
mn
p
b
m
n
0
Пусть
a
- разрешающий элемент, сделаем шаг модифицированного
rS
жорданова исключения:
x−
y
=
1
…
1
b
11
…
y
…
r
…
Sa1
x
n
nb1
1
b
1,1 +n
… … … … … … …
a
x
=
S
1r
… 1 …
a
rn
b
r
… … … … … … …
b
y
=
m
=
xQ
1m
b
…
…
1,1+m
a
p
S
…
m
…
b
mn
b
b
nmb,1+ 1,1 ++ nm
1, +nm
Где
ещена
a
.
rS
и всю данную таблицу следует разделить
aaaab ⋅−⋅=
iSrjrSijij
Симплексную таблицу для двойственной задачи запишем,
o
развернув еена
90
. Получаем:
v
u
1
=
1
a
11
…
…
v
=
s
Sa1
…
…
v
=
n
na1 1
=
b
… … … … … … …
u
r
a
1r
…
a
rS
…
a
rn
b
r
… … … … … … …
Пусть
u
m
1
a
- направляющий элемент. Сделаем шаг обыкновенного
rS
a
1m
p−
…
…
1
a
mS
p
…
…
S
a
mn
p
b
m
n
0
жорданова исключения (отличие от модифицированного состоит в
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
23
W
−
S
−
−
−
(
)
−
−
W
том, что элементы в разрешающей строке меняют знаки, а в столбце
знаки сохраняются; в остальном преобразование остается тем же):
u
1
v
=
1
b
11
…
…
u
r
=
…
…
Sa1
v
=
n
nb1
=
b
1,1 +n
… … … … … … …
v
s
a
1r
… 1 …
a
rn
b
r
… … … … … … …
u
1
b
m
1m
b
…
…
1,1+m
a
p
S
…
m
…
b
mn
b
b
nmb,1+ 1,1 ++ nm
1, +nm
Где
разделить ещена
a
.
rS
и всю данную таблицу также следует
aaaab ⋅−⋅=
iSrjrSijij
Замечание: Не следует забывать при преобразованиях, что в данном
случае у нас таблица развернута.
Таким образом, нетрудно заметить, что шаг модифицированного
жорданова исключения над симплексной таблицей прямой задачи
соответствует шагу обыкновенного жорданова исключения над
симплексной таблицей двойственной задачи. Эти взаимно
двойственные задачи можно совместить в одной симплексной
таблице.
y
1u1
v
=
1
x−
=
a
11
…
1
…
v
=
s
x
Sa1
…
S
…
v
=
n
x
n
na1 1
1
b
=W
… … … … … … …
y
rur
=
a
1r
…
a
rS
…
a
rn
b
r
… … … … … … …
1
y
mum
a
=
=
xQ
1m
p−
…
…
1
a
mS
p
…
…
S
a
mn
p
b
m
n
0
Можно показать, что, решая основную задачу линейного
программирования, решаем и двойственную к ней. И наоборот.
Причем,
Q minmax =
.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
24
(
W
W
−1+−
−
=
=====
Теоремы двойственности
Основная теорема двойственности линейного программирования: Пусть рассматривается пара двойственных задач:
()
x
≥
Τ
xpxQ
→⋅=
bxA
≤⋅
0
max
⎫
⎪
⎪
(1)
⎬
⎪
⎪
⎭
Τ
u
≥
Τ
)
ubuW
→⋅=
puA
≥⋅
0
min
⎫
⎪
⎪
(2)
⎬
⎪
⎪
⎭
Если одна из этих задач обладает оптимальным решением, то и
двойственная к ней задача также имеет оптимальное решение.
Причем экстремальные значения соответствующих линейных форм
равны:
Q minmax =
.
Если же у одной из этих задач линейная форма не ограничена, то
двойственная к ней задача противоречива.
Доказательство: Пусть основная задача (1) имеет конечное
решение и получена окончательная симплексная таблица:
v
x
1
=
1
u
=
1
y−
b
….
….
1
….
1,1
u
=
s
y
s
sb,1 1,1 +s
v
=
1+s
x
s
b
….
….
….
v
=
n
x
n
nb,1
=
1
b
…. …. …. …. …. …. …. …. ….
=
b
b
….
1,s
….
1,1+s
v
x
s
u
1+s
=
s
y
1+s
b
ssb, 1, +ss
b
ssb,1+ 1,1 ++ ss
….
….
b
nsb,
b
nsb,1+
…. …. …. …. …. …. …. …. ….
u
m
1
y
Q
m
=
=
b
q
1
….
1,m
….
q
s
b
smb, 1, +sm
q
….
….
1+s
b
nmb,
q
n
q
0
1,1 +n
1, +ns
1,1 ++ ns
1, +nm
Так как данная таблица, по предположению, соответствует
оптимальному решению задачи (1), то
0,...,0
≥≥
1
qq
. При этом
n
======
11
+ nss
xxyy
0......
.
max qQ
достигается при
0
bb
Рассмотрим полученную таблицу двойственной задачи. Полагая
значения переменных слева (небазисных) равными нулю:
=
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
11
+ mss
uuvv
0......
,
и
0...,,0
≥≥
1,1,1
++ nmn
25
=
=
=
=
++⋅+⋅++⋅
=====
W
<
+⋅++⋅
+⋅++
x
0
найдем
≥= qu
, …,
11
0≥=
qu
,
ss
тельно, получено опорное решение
qv
++ ss
, …,
11
0≥
qv
. Следова-
nn
0
≥
qu =
11
, …,
qu
u
,
ss
0
, …,
1=+s
0
u
m
.
Из последнего столбца,
=
...... qububvbvbW
mnmsnssnsn
++++++
+⋅
01,11,11,11,1
в точке
=
11
+ mss
uuvv
будет минимальным в силу того, что
Следовательно,
Q minmax =
.
0......
i∀
,
0
≥
b
1,
+ni
mi ,1=
Пусть теперь линейная форма прямой задачи неограничена, т.е.
для некоторой верхней переменной, например,
0
коэффициент
таблицы неположительны:
q
, а все коэффициенты этого столбца симплексной
s
,
b
0
,1≤s
b
,2≤s
, …,
0
y
, соответствующий
s
. Тогда из
b
0
,≤sm
таблицы для двойственной задачи:
,
0......
⋅=
++ ssmsmssssssss
,1,1,1,1
<≤
qqububvbvbu
то есть система ограничений двойственной задачи противоречива.
Так как из неотрицательности
неположительность
u
(нельзя сделать ее положительной), то есть
s
11 +
uuvv ...,,,...,,
следует
mss
система несовместна.
.
Теорема доказана.
Вторая теорема двойственности: Если хотя бы одно оптимальное
решение одной из двойственных задач обращает
этой задачи в строгое неравенство, то
-я компонента (т.е.
i
-е ограничение
i
x
или
i
u
)
i
каждого оптимального решения второй двойственной задачи равна
нулю.
Если же
-я компонента хотя бы одного оптимального решения
i
одной из двойственных задач положительна, то каждое оптимальное
решение другой двойственной задачи обращает
-е ограничение в
i
строгое равенство.
Т.е. оптимальные решения
*
и
*
u
пары двойственных задач
удовлетворяют условиям
⎡
⎢
⎣
m
∑
i
=
∗∗
1
⎤
−⋅⋅
jiijj
⎥
==
(1)
,,1,0
njpuax
⎦
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
26
x
⎡
⎢
⎣
n
∑
=
j
∗∗
1
⎤
−⋅⋅
⎥
ijiji
==
(2)
.,1,0
mibxau
⎦
Доказательство:
*
Пусть
и
u
*
– оптимальные решения пары двойственных задач.
Тогда для
n
()
()
∑
j
=
1
∑
=mi
→=
xpxQ
jj
→=
ubuW
ii
1
max
min
,
они удовлетворяют следующим ограничениям:
∗∗∗
2211
*
j
*
i
=≥
,,1,0
njx
=≥
∗∗∗
2211
.,1,0
miu
Умножим (3), соответственно, на
ininii
jmmjjj
∗
и
u
i
полученные выражения:
n
min
m
∑∑∑ ∑
=== =
111 1
j
j
i
⎫
,,1,...
mibxaxaxa
=≤⋅++⋅+⋅
⎪
⎪
. (3)
⎬
,,1,...
njpuauaua
=≥+++⋅
⎪
⎪
⎭
∗
x , и просуммируем
j
∗∗∗∗
⋅≤⋅⋅≤⋅
ubxuaxp
. (4)
iijiijjj
Из основной теоремы двойственности следует
n
∑∑
==
11
j
m
i
∗∗
⋅=⋅
ubxp
. (5)
iijj
И с учетом (4) получаем:
n
∑∑∑
===
111
j
m
∑∑∑
===
111
i
njm
min
∗∗∗
⋅⋅=⋅
xuaxp
,
jiijjj
i
∗∗∗
⋅⋅=⋅
uxaub
.
ijijii
j
Первое из этих выражений можем переписать в виде
и так как все
n
∑∑
11
==
j
∗
x и выражения в скобках неотрицательны, то опуская
j
m
⎛
⎜
⎜
i
⎝
∗∗
⎞
⎟
−⋅
puax
jiijj
⎟
,
0
=
⎠
∑, получим:
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
27
(
)
−
−
⎛
⎜
⎜
⎝
m
∑
i
=
∗∗
1
⎞
⎟
−⋅⋅
jiijj
⎟
njpuax
,1,0
==
.
⎠
Аналогично получим:
⎛
⎜
⎜
⎝
n
∑
=
j
∗∗
1
⎞
⎟
−⋅⋅
ijiji
⎟
mibxau
,1,0
==
.
⎠
Что и требовалось доказать.
Справедлива и обратная теорема.
Метод последовательного уточнения оценок
Иногда называют еще двойственным симплекс-методом. Ранее
говорилось, что одновременно с решением прямой задачи, решается и
двойственная задача. Если проследить за получающимися
u
преобразованиями двойственной таблицы и переменных
и
i
x
j
записав таблицу для двойственной задачи в обычном виде, то
получим описание нового метода: метода последовательного
уточнения оценок.
Пусть дана задача:
11
ubububuW
mmrr
,0......
≥−⋅++⋅++⋅=
puauauav
1111111
mmrr
min......
→⋅++⋅++⋅=
......................................................................
,0......
≥−⋅++⋅++⋅=
11
puauauav
rmmsrrsss
......................................................................
,0......
≥−⋅++⋅++⋅=
,211
.0
≥
v
puauauav
nmnmrnnn
Симплексая таблица, построенная для данной задачи, будет
иметь вид:
u
v
=
1
1
a
11
….
….
u
r
ra1
….
….
u
m
ma1
1
p
1
…. …. …. …. …. …. ….
,
a
v
=
s
1s
….
a
sr
….
a
sm
p
s
…. …. …. …. …. …. ….
28
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
−
W
W
W
W
r
r
−
W
W
s
s
W
a
v
=
n
=
1n
b
1
….
….
a
nr
b
r
….
….
a
nm
b
m
p
0
n
В методе последовательного уточнения оценок сначала
избавляются от отрицательности в
-строке (получают псевдоплан),
а затем, перебирая псевдопланы, ищут оптимальный план (первый
найденный опорный).
Правило выбора разрешающего элемента для избавления от
отрицательности в
1) Если все коэффициенты
оценкой снизу для целевой функции
-строке.
W
-строки неотрицательны, то 0 является
и можно переходить к
отысканию оптимального решения. Иначе выбираем некоторый
0<
b
2) Находим в
например,
и рассматриваем r-й столбец.
r
-м столбце какой-нибудь из отрицательных элементов,
a
0<
rs
. Тогда строку с номером s, содержащую
выбираем в качестве разрешающей строки. Если все коэффициенты
-го столбца неотрицательны, то либо Wнеограничена снизу (
), либо система ограничений противоречива. (Из противоречивости
двойственной не следует неограниченность прямой задачи).
3) Находим неотрицательное отношение коэффициента
-строки к
a
,
rs
∞→
коэффициентам разрешающей (
разрешающего берем тот элемент разрешающей
-й) строки. В качестве
-й строки, для
которого это отношение положительно и минимально, т.е. выбираем
⎫
⎪
j
>= 0min
.
⎬
⎪
⎭
некоторый коэффициент
a
, для которого
sk
b
k
a
sk
⎧
⎪
⎨
j
⎪
⎩
b
b
j
a
a
sj
sj
Выбрав разрешающий элемент, делаем шаг обыкновенного
жорданова исключения. Указанная последовательность действий
выполняется до тех пор, пока все коэффициенты
-строки не станут
неотрицательными. Например, будет получена следующая таблица
v
u
=
1
1
b
11
….
….
v
s
b
1s
u
b
….
1+s
….
1,1+s
u
m
b
1m
1
q
1
…. …. …. …. …. …. …. ….
b
u
=
s
v
=
1+s
….
s
1
b
….
1,1 +s
b
ss
b
b
1, +ss
….
ssb,1+
….
1,1 ++ ss
b
ms
b
q
1, +sm
s
q
1+s
…. …. …. …. …. …. …. ….
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
29
W
=
<
s
−−=
v
n
Если все
=
=
1
….
nb,1
b
1
….
qq ...,,
- неотрицательны, то таблица соответствует
n
оптимальному решению и
nsb, nsb,1+
b
s
0
b
Wq min
, иначе,
….
….
1+s
q
b
mn
b
m
- оценка снизу дляW.
0
q
n
q
0
Правило выбора разрешающего элемента при поиске оптимального решения.
1) В качестве разрешающей строки берем строку, содержащую
отрицательный коэффициент, например,
q
, и строка с номером s
s
0
будет разрешающей.
2) В качестве разрешающего выбираем тот положительный
коэффициент
Если в строке с номером
b
строки s, для которого
ks
⎧
b
k
b
sk
b
⎪
⎨
j
b
⎪
⎩
нет положительных коэффициентов,
b
j
b
sj
sj
⎫
⎪
j
>= 0min
.
⎬
⎪
⎭
то ограничения задачи противоречивы.
После выбора разрешающего элемента делаем шаг
обыкновенного жорданова исключения.
После конечного числа шагов либо найдем оптимальное
решение, либо можно убедимся в противоречивости ограничений
задачи.
Замечание:
Если в симплекс-методе мы приближаемся к
оптимальному решению при поиске минимума сверху, передвигаясь
по опорным планам, то в методе последовательного уточнения
оценок при поиске минимума к оптимальному решению снизу,
причем промежуточные планы (псевдопланы) не являются опорными
(лежат вне многогранника решений). Первое же допустимое решение
(опорный план) будет оптимальным.
Пример. Решить следующую задачу методом последовательного
уточнения оценок:
min2)(
→
30
xxxL
21
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.