Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебно-методический комплекс.pdf
(
)
∈
Продолжение таблицы
2 -z 1400 0 0 2/7 4/7
x
1
x
2
300 1 0 5/7 -4/7
200 0 1 -2/7 3/7
Справа от таблиц приведены операции со строками. Штрихом
обозначается вновь полученная строка, которая помещается в
следующую таблицу. Строка, соответствующая z-функции,
нумеруется как нулевая строка. Звездочкой обозначается элемент,
соответствующий столбцу, вводимому в базис с наибольшим по
модулю отрицательным значением нулевой строки, и строке,
соответствующей той базисной переменной, которая убывает до нуля
и выводится из базиса.
1. Если в ведущем столбце нет ни одного строго
положительного элемента, то задача не имеет оптимального решения,
а целевая функция неограниченна снизу в задаче на минимум или
неограниченна сверху в задаче на максимум.
2. Если в оптимальной таблице оценка небазисной переменной
равна нулю, то задача имеет
бесконечное множество оптимальных
решений.
3. Несовместимость системы ограничений обнаруживается при
построении начального допустимого базисного решения – оно не
существует.
4. Допустимое базисное решение, в котором одна или
несколько базисных переменных равны нулю, называется
вырожденным допустимым базисным решением. Вырожденность
может привести к зацикливанию. Для выхода из зацикливания в
критерии определения ведущей строки вместо
элементов нулевого
столбца применяют элементы 1-го столбца, если и здесь ведущая
строка неоднозначна, то применяют элементы 2-го столбца и так
далее, пока ведущая строка не будет определена однозначно.
Тема . Двойственность задач ЛП
Рассмотрим прямую задачу ЛП.
(){}
,y,bzmin =
,cAy ≥ ,0y ≥
×
nnmm
Rb,RA,Ry,c ∈∈∈
(6.1)
Двойственной задачей ЛП для прямой задачи (15) является:
(){}
T
,x,cfmax =
≤
,bxA
n
.Rx
(6.2)
Взаимно двойственные задачи обладают следующими
свойствами:
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
101
1) В одной задаче ищут максимум целевой функции, в другой –
минимум.
2) Коэффициенты при переменных в целевой функции одной
задачи являются свободными членами системы ограничений в
другой.
3) Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче
максимизации все неравенства вида ≤, а в задаче минимизации –
все неравенства вида ≥
.
4) Матрицы коэффициентов при переменных в системах
ограничений обеих задач являются транспонированными друг к
другу.
5) Число неравенств в системе ограничений одной задачи
совпадает с числом переменных в другой задаче.
Алгоритм составления двойственной задачи:
Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи
к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной
функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду
"≤", а если минимум — к виду "≥". Для этого неравенства, в которых
данное требование не выполняется, умножить на -1.
Составить расширенную матрицу системы А1, в которую
включить матрицу коэффициентов при переменных А,столбец
свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при
переменных в линейной функции.
Т
3. Найти матрицу
А
, транспонированную к матрице А1.
1
4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной
Т
матрицы
А
и условия неотрицательности переменных.
1
Пример 6.1.
Составить задачу, двойственную следующей задаче:
f= – x1 + 2x
→max
2
при ограничениях:
2х1 – x
– х1 + 4 х
х1 – x
х1 + x
х
102
≥ 0, x2≥ 0.
1
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
≥ 1,
2
≤3,
2
≥ 5,
2
≤ 24,
2
Решение: 1. Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду "≤", для чего
обе части первого и четвертого неравенства умножим на – 1. Получим
– 2х1 + x
– х1 + 4 х
х1 – x
– х1 – x
≤3,
2
2
≤ – 1,
2
≤ 24,
2
≤ – 5,
2.Составить расширенную матрицу системы
−−
112
⎛
⎜
−
⎜
А
⎜
=
1
⎜
⎜
⎜
⎝
−
−−
−
Найдем матрицу
−
А
−
⎛
⎜
Т
=
⎜
1
⎜
−
⎝
1
2
4
1
24
1
⎞
⎟
2441
⎟
⎟
311
⎟
511
⎟
⎟
f21
⎠
Т
А
, транспонированную к матрице А1:
1
−
−
1
1
1
⎞
⎟
−
−
1
3
2
1
−
5
⎟
⎟
z
⎠
Сформулируем двойственную задачу:
Z = – y1 + 24 y2 + 3 y3 – 5 y
2 y1 – y2 + y3 – y
y1 + 4 y2 – y3 – y
y
≥ 0, y2≥ 0, y3≥ 0, y4≥ 0.
1
≥ – 1,
4
≥ 2,
4
→min
4
Следующие теоремы устанавливают взаимосвязь прямой и
двойственной задач.
Теорема 6.1. Если прямая задача ЛП имеет оптимальное
решение, то двойственная задача также имеет оптимальное решение,
при этом значения их целевых функций равны.
Теорема 6.2. Компоненты оптимального решения двойственной
задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при
соответствующих переменных целевой функции исходной задачи,
выраженной через
небазисные переменные ее оптимального решения.
Соответствие между переменными устанавливается с помощью
следующей таблицы:
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
103
j
Переменные исходной задачи
Первоначальные Дополнительные
x1
b
y
m+1
x
b
y
2
m+2
…
…
x
y
b
j
m+
…
…
x
y
b
n
m+n
x
n+1
b
y
1
x
b
y
n+2
2
…
…
x
b
y
n+i
i
…
…
Дополнительные Первоначальные
Переменные двойственной задачи
Дополнительными переменными называются переменные
необходимые для приведения задачи к каноническому виду.
Пример 6.2.
Даны две взаимно двойственные задачи:
x
b
y
n+m
m
y
→ min
4
f(x) = 2 x
+ 3 x
x
1
+ x
2 x
1
≤ 5, y
x
2
≤ 21,
3 x
1
≥ 0, x2≥ 0
x
1
+ 3 x
1
≤ 18, y
2
≤ 16, 3 y
2
→ max z(y) = 18 y
2
+ 2 y2 + 3 y
1
+ y2 + y
1
≥ 0, i = 1, 2, 3, 4.
i
+ 16 y2 +5 y3 + 21
1
≥ 2,
4
≥ 3,
3
Решение: Установим соответствие между переменными с
помощью таблицы:
x
y
1
b
5
x2
b
y
x
3
y
b
1
6
x
b
y
4
2
x
b
y
5
3
x6
b
y
4
Решив прямую задачу симплекс методом, получаем на последнем
шаге таблицу:
Базис значение
f(x) 24 0 0 4/5 3/5 0 0
x1 6 1 0 -1/5 3/5 0 0
x5
x
x
2
6
1
4
3
0
0
0
x
1
x
0
1
0
2
x
3
-2/5
2/5
3/5
x
4
1/5
-1/5
-9/5
x
x
5
1
0
0
0
0
1
6
Т. е. оптимальное решение x* = (6, 4, 0, 0, 1, 3), f(x*) = 24.
Пользуясь таблицей соответствия и Теоремой 2, можем выписать
решение двойственной задачи: y
*
=
4
⎛
,
⎜
5
5
⎝
⎞
, z(y*) = 24.
0,0,0,0,
⎟
⎠
3
104
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
×+×+×+×
+×+×
{
}
{
}
=
<
Тема. Транспортная задача ЛП
Метод северо-западного угла
Он позволяет найти некоторый допустимый план перевозок.
Составим транспортную таблицу некоторой задачи.
b
a
i
j
30 80 20 30 90
120
30
40
60
2
30
3
6
3
4
80
5
8
4
2
10
6
10
7
2
3
6
20
4
10
1
8
2
5
30
4
60
В данном случае, имеем задачу закрытого типа, т.к.
4
∑∑
==
ij
1
250
5
==
.
ba
ji
1
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×=Q
Метод минимального элемента
В таблице отыскивается
соответствующая клетка:
остаток соответствующей строки, если
cmin
и в первую очередь заполняется
ij
bax ,min
. Затем вычеркивается
jiij
ba
, или столбца, если
ji
1010604305104206106102804230 =×+
.
ba >
, и корректируем остатки запасов и неудовлетворенного спроса.
ji
В оставшихся клетках таблицы снова отыскивается минимальная
стоимость перевозки и заполняется соответствующая клетка и т.д.
b
j
30 80 20 30 90
a
i
120
30
40
60
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
2
30
3
6
3
4
80
5
8
4
2
6
7
2 20
3
6
4
1
30
8
10
2
30
5
40
4
10
105
×+×+×+×
+×+×
i
=
−
=
=
−
=
=
=
=
≤
≤=−
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
≤=−
≤
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×=Q
830104301202405302108804230 =×+
.
Тема Проверка на оптимальность плана транспортной
задачи
Найдем методом потенциалов оптимальное решение задачи, взяв
в качестве опорного план, построенный методом северо-западного
угла (1-й шаг предварительного этапа).
v
j
u
u
1
u
2
u
3
u
4
v
1
2
30
3
6
3
v
2
4
80
5
8
4
v
3
2
10
6
10
7
2
v
4
3
– 6
20
+ 4
10
1
v
5
8
+ 2
– 5
30
4
60
2. Строим систему потенциалов:
,
2
=− uv
11
,
6
=− uv
23
,
5
=− uv
35
12
− uv
− uv
45
,
4
=− uv
,
6
24
.
4
uv
uv
,
2
13
,
4
34
Число неизвестных больше числа уравнений, поэтому можем
взять, например,
2
3
,
4
−=u
,
2
−=u
4
и найти значения остальных потенциалов,
0
=u
1
,
1
−=u
,
2
=v
1
v
,
4
2
v
,
2
3
v
,
2
4
.
3
=v
5
3. Проверяем систему на потенциальность:
,
36
21
≤=− uv
,
58
22
≤=− uv
,
74
33
44
≤=− uv
,
13
≤=− uv
=− uv
31
− uv
32
− uv
43
=− uv
15
,
64
,
86
,
23
,
83
uv
41
uv
42
uv
14
uv
25
33
32
,
45
,
27
,
,
Система непотенциальна.
Переходим к общему этапу.
1. Выбираем клетку, для которой неравенство вида
−
cuv
ijij
нарушается в наибольшей степени, то есть, находится число
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
106
{
}
{
}
θ
{
}
×+×+×+×
+×+×
=
−
=
=
−
=
0max
>−−=α=α
cuv
ji
00
,
ji
ijijij
среди тех клеток, для которых условие (1) не выполняется:
5
=α=α
ji
00
25
.
Начиная с клетки
в направлении против часовой стрелки
ji
00
строится цепь из заполненных клеток таблицы (цикл). Совершая
обход по цепи, помечаем клетки, начиная с
, попеременно
ji
00
знаками + и –. Клетки со знаками + образуют
положительнуюполуцепь, а со знаками – отрицательную
полуцепь. В клетках отрицательнойполуцепи ищем минимальную
перевозку
=θ
−
xmin .
ij
Теперь улучшаем план следующим образом: перевозки
θ
отрицательной полуцепи уменьшаем на величину
положительной полуцепи увеличиваем на
−
⎧
⎪
'
=
x
⎨
ij
⎪
⎩
В нашем примере
θ−
x
x
,
ij
+
ij
θ+
,
.
x
ij
=θ
−
xmin =20.
ij
. Новые
, а перевозки
1. Новому плану соответствует таблица
v
u
u
u
u
u
j
i
1
2
3
4
v
1
2
30
3
6
3
v
2
4
80
5
8
4
v
2
3
v
4
3
10
– 6
10
7
6
0
4
30
+ 2 1
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×=Q
2. Строим систему потенциалов
,
2
=− uv
11
,
6
=− uv
23
,
5
=− uv
35
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
12
− uv
25
− uv
45
,
4
=− uv
,
2
.
4
uv
uv
,
2
13
,
4
34
v
5
8
+ 2
20
5
10
– 4
60
910604105202304106102804230 =×+
.
107
=
=
=
=
−
=
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
=
≤−=
−
≤
−
≤=−
=
{
}
×+×+×+×
+×+×
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
≤=−
Полагаем
,
4
−=u
2
u
,
7
−=u
3
и находим значения остальных потенциалов:
0
1
,
6
−=u
4
v
,
2
1
v
,
4
2
3. Проверяем систему на потенциальность:
v
3
v
4
,
2
,
3
5
.
2
−=v
,
36
21
≤=− uv
,
58
22
≤=− uv
,
79
33
≤=− uv
,
13
44
≤=− uv
− uv
31
− uv
32
− uv
43
=− uv
15
,
69
,
811
,
28
,
82
uv
41
uv
42
uv
14
uv
24
,
38
,
410
,
33
,
61
Система непотенциальна.
1. Находим
α=α
ji
00
43
6
, строим цикл,
Улучшаем план. Новому плану соответствует таблица.
v
u
u
u
u
u
j
v
1
i
1
2
3
4
2
30
3
6
3
v
2
4
80
5
8
4
6 0
2 10
v
3
2
10
7
v
4
3
6
0
– 4
30
+ 1 – 4
v
8
2
30
+ 5
10
50
=θ
5
−
xmin =10.
ij
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×=Q
2. Строим систему потенциалов
Полагаем
,
2
=u
2
,
2
=− uv
11
,
2
=− uv
43
,
5
=− uv
35
и находим значения остальных потенциалов:
0
u
1
,
1
−=u
3
,
0
=u
4
12
− uv
25
− uv
45
=v
1
,
4
=− uv
,
2
.
4
,
2
v
,
4
2
uv
uv
2
v
3
,
2
13
,
4
34
,
v
,
3
4
3. Проверяем систему на потенциальность:
,
30
21
≤=− uv
,
52
22
≤=− uv
,
73
≤=− uv
33
,
13
44
≤=− uv
− uv
31
− uv
32
− uv
23
=− uv
15
,
63
,
85
,
60
,
84
uv
41
uv
42
uv
14
uv
24
,
32
,
44
,
33
,
61
850504105302304102102804230 =×+
.
.
4
v
5
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
108
=
{
}
i
×+×+×+×
+×+×
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
=
≤=−
≤
≤−=
−
=
Система непотенциальна.
1. Находим
α=α
ji
00
44
2
, строим цикл,
Улучшаем план. Новому плану соответствует таблица.
v
j
v
u
1
v
2
v
3
v
4
v
5
=θ
−
xmin =30.
ij
2
u
1
u
2
u
3
u
4
30
3
6
3
4
80
5
8
4
2
10
6
7
2 10
3
6
4
0
1
30
Затраты на перевозку по построенному плану равны:
+×=Q
2. Строим систему потенциалов
Полагаем
,
2
=u
2
,
2
=− uv
11
,
2
=− uv
43
,
5
=− uv
35
и находим значения остальных потенциалов:
0
u
1
,
1
−=u
3
,
0
=u
4
12
− uv
25
− uv
45
=v
1
,
4
=− uv
,
2
.
4
,
2
v
,
4
2
uv
uv
2
v
3
,
2
13
,
1
44
,
v
,
1
4
v
3. Проверяем систему на потенциальность:
5
8
2
30
5
40
4
20
790204405302301102102804230 =×+
.
.
4
,
30
21
≤=− uv
,
52
22
≤=− uv
,
73
≤=− uv
33
,
11
≤=− uv
44
− uv
31
− uv
32
− uv
23
=− uv
15
,
63
,
85
,
60
,
84
uv
41
uv
42
uv
14
uv
24
,
32
,
44
,
31
,
61
Система потенциальна, следовательно, план оптимален и
окончательные затраты
Q
min
790.
Тема. Задачи на безусловный экстремум
Пример 9.1. Исследовать на экстремум функцию
f(x) =
4
1
1
2
2
4
2
xxx2xxx −−−+
221
Решение: Находим частные производные:
'
x
1
3
1
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
x2x2x4f
−−=
21
109
−
−
−++−+++=
λλλ
λ
λ
λ
λ
'
x
2
3
2
x2x2x4f
−−=
21
Приравниваем частные производные нулю:
3
1
3
2
0x2x2x4
=−−
21
0x2x2x4
=−−
21
Решаем систему уравнений, находим три стационарные точки:
X1 = (0;0); X2 = (1;1); X3 = (– 1; – 1).
Найдем вторые частные производные:
'
x
1
'
x
2
'
x
1
'
x
2
3
1
3
2
3
1
3
2
x2x2x4f
−−=
−−=
−−=
−−=
21
x2x2x4f
21
x2x2x4f
21
x2x2x4f
21
Вычисляем значения вторых частных производных в каждой
стационарной точке, составляем определитель и применяем
достаточные условия экстремума.
22
=0.
22
−−
В точке Х1 = (0; 0)
=Δ
Вопрос об экстремуме остается открытым. В точке X2 = (1; 1) (а
также и в точке X3 = (– 1; – 1)):
210
=Δ
Функция в этих точках имеет минимум f
−
=96.
−
102
= – 2.
min
Тема. Задачи на условный экстремум.
Пример:
Найти точку условного экстремума функции
ограничениях
⎧
xx
⎪
1
⎨
⎪
⎩
2
2
xx
=+=+2
32
Решение:
Составим функцию Лагранжа
)2()2(),,,,(
xxxxxxxxxxxL
322211322121321
xxxxZ +=
3221
при
и продифференцируем ее по переменным
0/
=+=∂∂
xxL
121
0/
xxxL
xxL
λ
λ
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
=+=∂∂
λ
223
xxL
211
xxL
322
=+++=∂∂
λλ
21312
0/
=−+=∂∂
=−+=∂∂
02/
02/
xxx
:
,,,,
21321
110